2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-方程与不等式（学生版）.pdf

专题0 4方程与不等式【知识点梳理】知识点1：二元二次方程组的解法方程/+2xy+/+无+y+6=0是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2 的整式方程，这样的方程叫做二元二次方 程.其中犬，2xy,V 叫做这个方程的二次项，-叫做一次项，6 叫做常数项.我们看下面的两个方程组：JX2-4/+X+3J-1=0 Jx2+/=20?.x-y-=0 x2-5xy+6y2=0第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.知识点2：一元二次不等式的解法为了方便起见，我们先来研究二次项系数0 时的一元二次不等式的解.我们知道，对于一元二次方程成：2+bx+c=o（a 设.=片一4或，它的解的情形按照0,=0,匕 =加+云+0）与兀轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点（如图2.3-2 所示），因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式无 2 +bx+c 0（0）与 江+bx+c0）的解.图 2.3-2 当 （3时，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）与x 轴有两个公共点（尤“O）和（x2,。

方程办6x+c=0 有两个不相等的实数根玉和（西 0 的解为x%；不等式改2 +/7%+c v 0 的解为苔 x 0)与无轴有且仅有一个公共点，方程双2+法+0 有两个相等的实数根玉=-2，由图2.3 2 可知勺 2 2ah不等式 苏+bx+c 0的解为无力：2a不等式ax2+6 尤+c 0 无解.(3)如果0)与工轴没有公共点，方程办2+b x +c =0 没有实数根，由图2.3-2 可知不等式o r?+&t +c 0 的解为一切实数；不等式o r?+&t +c 0 无解.今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以-1,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式.【题型归纳目录】题型一：一元二次不等式的解法题型二：二元二次方程组的解法【典例例题】题型一：一元二次不等式的解法例 1.解不等式：-2 尤 2+x +l c O例 2.解不等式：X2-x-6 0 ;例 3.求下列不等式的解集.(l)x2 5x+6 0;(4)/+x +l 0.变 式 1.求不等式的解集:(l)-x2+4x+5 0;(2)2X2-5X+2 0；题型二：二元二次方程组的解法例 4.（2023 上海静安八年级上海市回民中学校考期中）解方程组:x2-2xy+y2=1(尤+2y)-3(x+2y)=10例 5.（2023上海杨浦统考三模）解方程组:x-2 y =5x2+2xy-3/=0 例 6.（2023上海青浦 统考二模）解方程组：%2-9/=0 X2-2xy+y2=4变式2.（2023 上海虹口 校联考二模）解方程组:X2+6xy+9y2=x-3 y =8变式3.（2023 上海崇明 统考二模）解方程组:2 x-y =6 X2-x y-2y2二0 变式4.（2023上海宝山 统考二模懈方程组:4x2-y2=152 x-y =5变 式 5.（2023上海金山 统考二模）解方程组:变式6.（2023上海松江 统考二模）解方程组:x+2y=5x2-2xy+y2=4x 2yl=0 x2+2xy+V=4【过关测试】一、单选题f 3x+y=01.（2023 八年级单元测试）方 程 组 2 2的解是（）x+y=10|玉=1J玉=3 fx2=-3.b l=3 1%=-3.1 石=3（x2=-3 1 石=1 J%2=1*b i=1*1%=-3%=3x+y=22.（2023 上海八年级期中）方 程 组.2 。

解的情况是（）-x+y =3A.有两组不同的实数解 B.有两组相同的实数解C.没有实数解 D.不能确定3.（2023浙江九年级自主招生）若实数x,y满足z+z+孙=贝1J无的+的值是（）x+y xy=3A.22022+1 B.22022-l C.-22022+l D.-22022-14.（2023福建泉州九年级泉州五中校考开学考试）已知x,y 为实数，且满足f 孙+4丁=4,记 =+孙+4）?的最大值为加，最小值为M，则M+根=（）.A,竺3D 6 415136c Ec 31D.55.（2023江苏镇江 统考二模）已 知 点 在 经 过 原 点 的 一 条 直 线/上，且0,y 0 且-3,那么（x+y）一的值为（）y2+xy=lA.2 B.3 C.4 D.57.（2023全国九年级竞赛）方程Y+2孙+3必=34的整数解（尤,y）的组数为（）A.3 B.4 C.5 D.68.（2023 上海 九年级专题练习）二 元 二 次 方 程 组/?*?一=的 解 的 个 数 是（）x2+4y=-2.A.1 B.2 C.3 D.4f JI2 v?=7 7 79.（2023上海 九年级专题练习）方 程 组 2 八有四组不同的实数解，则 m 的取值范围是（）y-x =01 1 1 1A.m C.Q D.m,且机4 4 4 4x2+2xy+y2=910.（2023 上海 九年级专题练习）下列各对未知数的值中，是方程组/、2/、的解的是（）（x-j）-3（x-j）+2=05 1fx=2 X=2 x=-l X=2A.B.C.D.V =1 y I I 2 I 2二、填空题11.（2023上海徐汇 统考二模）方程组1-3?+2 y =的解是_ _ _ _ _.元+y=312.（2023全国九年级专题练习）写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组x=3（x=3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，使它的解是 和y=4 y=-413.（2023 上海九年级上外附中校考阶段练习）已知关于x,y 的方程组，苫?二“有两组不同的实数解，x-y -4=0则 n 的范围为AX2 _ 9V2=1514.（2023 全国九年级专题练习）方程组.；的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.（2x-3y=j15.（2023 全国九年级专题练习）把 二 次 方 程 6x+9-丁=。

转化成两个一次方程，那么这两个一次方程是 和.三、解答题fx2 2y2 y=1016.（2023 上海黄浦 统考二模）解方程组：:有I 尤 _y=l17.（2023 全国九年级专题练习）解方程组:X2-4 孙+4/=2x+y=318.（2023 全国九年级专题练习）解方程组:X2+2xy+2=4x-y+2=019.（2023江苏南京九年级统考期中）解新类型的方程（组）时，可以通过去分母、换元等方法转化求解.（1）请按要求填写下表.原方程X 2-1Xx4 x2-2=0转化f _ x-2=0设炉=/,则一求解%2,兀 2=-1t=_x2+2xy+y2=16(2)解方程组：.；I =3检验-1,2 都是原方程的解结论%2,兀？=-1-20.(2023全国九年级专题练习)阅读材料：小强同学在解方程组42川x+5y=时3,采 用 了 一 种“整体代换”解法:将方程变形：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5，把方程代入得：2x3+y=5即y=-1,把y=T 代入方程，得X=4,所以方程组的解为x=4y=-i请你解决以下问题(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166%+lly=35(2)已知x,y 满足方程组2x2-xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51求孙的值；(ii)求出这个方程组的所有整数解.21.(2023 上海浦东新九年级上海市进才实验中学校考期中)解方程组:X2+5xy-6_y2=0 x+3y=322.(2023 上海九年级上海市西南模范中学校考期中)解方程组x2-xy=04%2-4xy+y 2=123.(2023 全国九年级专题练习XD解方程组：%2+/-1 1 =00 尤-4 y+10=0(x+3)(y-2)=(x-3)(y+10)(x-l)(y+3)=(x+2)(y+12)。