高等数学练习题库及答案.pdf

一选择题1. 函数 y=112x是（）A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2. 设 f(sin2x)=cosx+1, 则 f(x) 为（）A 2x22 B 22x2 C 1x2 D 1x23下列数列为单调递增数列的有（）A ， ， ， B23，32，45，54Cf(n),其中 f(n)=为偶数，为奇数nnnnnn1,1 D. nn2124. 数列有界是数列收敛的（）A充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5下列命题正确的是（）A发散数列必无界 B两无界数列之和必无界C两发散数列之和必发散 D两收敛数列之和必收敛61)1sin(lim21xxx（） .0 C 27设xxxk)1(lime6则 k=( ) .2 C 68. 当 x1 时，下列与无穷小（ x-1 ）等价的无穷小是（）2 B. x3-1 C.(x-1)2 (x-1)(x) 在点 x=x0处有定义是 f(x) 在 x=x0处连续的（）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件10、当|x|2）有210210226021arcsin112111111xxdxxdxxxnn即，210)2( ,6121nxdxn3设)(xf，g(x) 区间)0(,aaa上连续， g(x) 为偶函数，且)(xf满足条件。

为常数 )()()(AAxfxf证明：aaadxxgAdxxgxf0)()()(证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxfaaaa00)()()()()()(dxxgxfduugufuxdxxgxfaaa000)()()()()()(令aaaaaadxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf0000)()()()()()()()()()(4设 n 为正整数，证明2020cos21sincosxdxxdxxnnnn证明：令 t=2x, 有0120201sin212)2(sin21sincostdtxdxxdxxnnnnnn,sinsin212201tdttdtnnn又，02202sin)(sinsinududuuuttdtnnn，所以，2202020201sin21sin21)sinsin(21sincosxdxtdttdttdtxdxxnnnnnnnnn又，20022coscos2sinxdxtdttxxdxnnn因此，2020cos21sincosxdxxdxxnnnn5 设)(t是 正 值 连 续 函 数 ，),0(,)()(aaxadtttxxfaa则 曲 线)(xfy在aa,上是凹的。

证明：xaaxdttxtdtttxxf)()()()()(xaaxxaxadttxdtttdtttdttx)()()()(xaxaxaaxdttdttdttdttxf)()()()()(0)(2)()()(xxxxf故，曲线)(xfy在aa,上是凹的6. 证明：1112211xxxdxxdx证明：?111111122221211)1(1111xxxxuxxdxududuuuxdx令7设)(xf是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a 为任意常数，则TaaTdxxfdxxf0)()(证明：aaaTxfxfTxfTuxTaTdxxfdxTxfduTufdxxf000)()()()()()()(为周期以令0)()(0TaTadxxfdxxf在等式两端各加Tdxxf0)(，于是得TaaTdxxfdxxf0)()(8若)(xf是连续函数，则xxuduufuxdudttf000)()()(证明：xuxuduuufxdttfududttf0000)(0)()(xxduuufdttfx00)()(xduufux0)()(9设)(xf，)(xg在ba,上连续，证明至少存在一个),(ba使得abdxxfgdxxgf)()()()(证明：作辅助函数xabxdttgdttfxF)()()(，由于)(xf,)(xg在ba,上连续，所以)(xF在ba,上连续，在（ a,b ）内可导，并有0)()(bFaF由洛尔定理),(, 0)(baF即?xbxxaxxxabxxgdttfdttgxfdttgdttf)()()()()()(badxxfgdxxgf)()()()(0亦即，abdxxfgdxxgf)()()()(10设)(xf在ba,上连续，证明：babadxxfabdxxf)()()(22证明：令xaxadttfaxdttfxF)()()()(22xadtxftfxF0)()()(2故)(xf是ba,上的减函数，又0)(aF，0)()(aFbF故babadxxfabdxxf)()()(2211设)(xf在ba,上可导，且Mxf)(，证明：baabMdxxf2)(2)(证明：由题设对,bax可知)(xf在ba,上满足拉氏微分中值定理，于是有xaaxfafxfxf,),)()()()(又Mxf)(，因而，)()(axMxf由定积分比较定理，有babaabMdxaxMdxxf2)(2)()(。