大学数学解题技巧.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载高数（上册）期末复习要点第一章： 1、极限（夹逼准就）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判定间断点类型）其次章： 1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不肯定可导，可导肯定连续 2、求导法就（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章： 1、微分中值定理（肯定要熟识并敏捷运用 -- 第一节） 2、洛必达法就3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分： 1 、两类换元法（ 变 dx/ 变前面 ）2 、分部积分法 （ 留意加 C ） （最好都自己推导一遍，好记）定积分： 1、定义 2 、反常积分第六章： 定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4 、空间旋转面（柱面）高数解题技巧； （高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势● 第一句话：在题设条件中给出一个函数 f〔x〕 二阶和二阶以上可导， “不管三七二十一 ”，把 f〔x〕 在指定点展成泰勒公式再说；● 其次句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，就 “不管三七二十一 ”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说；● 第三句话：在题设条件中函数 f〔x〕 在[a,b] 上连续，在 〔a,b〕 内可导，且 f〔a〕=0 或 f〔b〕=0 或f〔a〕 ＝ f〔b〕=0 ，就 “不管三七二十一 ”先用拉格朗日中值定理处理一下再说；● 第四句话： 对定限或变限积分，如被积函数或其主要部分为复合函数，就“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简洁形式f〔u〕 再说；线性代数解题的八种思维定势 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载● 第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A* 有关，就立刻联想到用行列式按行 〔列 〕绽开定理以及 AA*=A*A=|A|E ；● 其次句话： 如涉及到 A、B 是否可交换， 即 AB＝ BA，就立刻联想到用逆矩阵的定义去分析；● 第三句话： 如题设 n 阶方阵 A 满意 f〔A〕=0 ，要证 aA+bE 可逆，就先分解因子 aA+bE 再说；● 第四句话：如要证明一组向量 α 1, α 2, 线,性α无S关，先考虑用定义再说；● 第五句话：如已知 AB＝ 0，就将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理● 第六句话：如由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说；● 第七句话：如已知 A 的特点向量 ξ0，就先用定义 Aξ0＝ λ 0 ξ处0理一下再说；● 第八句话：如要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，就用定义处理一下再说；概率解题的九种思维定势● 第一句话：假如要求的是如干大事中 “至少 ”有一个发生的概率，就立刻联想到概率加法公式；当大事组相互独立时，用对立大事的概率公式● 其次句话：如给出的试验可分解成（ 0 －1 ）的 n 重独立重复试验，就立刻联想到 Bernoulli 试验，及其概率运算公式● 第三句话：如某大事是相伴着一个完备大事组的发生而发生，就立刻联想到该大事的发生概率是用全概率公式运算；关键：查找完备大事组● 第四句话：如题设中给出随机变量 X ~ N 就立刻联想到标准化 ~ N〔0,1〕 来处理有关问题；● 第五句话：求二维随机变量（ X， Y）的边缘分布密度 的问题，应当立刻联想到先画出访 联合分布密度的区域，然后定出 X 的变化区间，再在该区间内画一条 //y 轴的直线，先与区域边界相交的为 y 的下限，后者为上限，而 的求法类似；● 第六句话：欲求二维随机变量（ X，Y）满意条件 Y≥ g〔X〕或〔Y ≤ g〔X〕的〕概率，应当立刻联想到二重积分的运算，其积分域 D 是由联合密度 的平面区域及满意 Y≥g〔X〕 或〔Y≤g〔X〕〕 的区域的公共部分；● 第七句话： 涉及 n 次试验某大事发生的次数 X 的数字特点的问题， 立刻要联想到对 X 作（0－1 ）分解；即令● 第八句话：凡求解各概率分布已知的如干个独立随机变量组成的系统满意某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，立刻联想到用中心极限定理处理；● 第九句话：如 为总体 X 的一组简洁随机样本，就凡是涉及到统计量 的分布问题，一般联想到用卡方分布， t 分布和 F 分布的定义进行争论 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载线代期末复习要点第一部分：基本要求（运算方面）四阶行列式的运算；N 阶特殊行列式的运算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情形的争论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯独、无穷多解）；争论一个向量能否用和向量组线性表示；争论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将余外向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特点值和特点向量；争论方阵能否对角化，如能，要能写出相像变换的矩阵及对角阵；通过正交相像变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性；其次部分：基本学问一、行列式 1．行列式的定义用 n^2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式；（ 1）它表示全部可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（ 2）绽开式共有 n. 项，其中符号正负各半； 2．行列式的运算一阶 | α|= α行列式，二、三阶行列式有对角线法就； 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载N 阶（ n>=3 ）行列式的运算：降阶法定理： n 阶行列式的值等于它的任意一行 （列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和； 方法：选取比较简洁的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为 0 ，利用定理展开降阶；特殊情形上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2 ）行列式值为 0 的几种情形：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为 0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式；二．矩阵1 ．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵 ――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2 ．矩阵的运算（1 ）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2 ）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满意交换律（如 AB＝BA，称 A、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满意消去律、零因式不存在；③如 A、B 为同阶方阵，就 |AB|=|A|*|B| ；④|kA|=k^n|A| 3 ．矩阵的秩（1 ）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2 ）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不转变矩阵的秩； 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数 （每行的第一个非零元所在列，从今元开头往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）；求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩；4 ．逆矩阵（ 1）定义： A、 B 为 n 阶方阵，如 AB＝ BA＝I ，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵（满意半边也成立）； 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载（ 2）性质： 〔AB〕^-1=〔B^-1〕*〔A^-1〕 ，〔A'〕^-1=〔A^-1〕' ；〔A B 的逆矩阵，你懂的 〕（留意次序）（ 3）可逆的条件：① |A| ≠0； ② r〔A〕=n; ③A->I;（4 ）逆的求解相伴矩阵法 A^-1=〔1/|A|〕A* ； 〔A* A 的相伴矩阵 ~〕②初等变换法（ A:I ） ->〔 施行初等变换 〕（ I:A^-1 ）5．用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B ，就 X= （ A^-1 ） B； XB=A ，就 X=B〔A^-1〕 ； AXB=C ，就 X=〔A^-1〕C〔B^-1〕三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：(1) r〔A,b〕 ≠ r〔A无〕 解；(2) r〔A,b〕=r〔A〕=n 有唯独解；〔3〕r〔A,b〕=r〔A〕