高考数学压轴题类型点的探究与建议.doc

高考数学压轴题类型点的探究与建议高考数学压轴题是以“能力立意”为核心，以创新为目标的高考命 题指导思想的体现，强调高中数学思想方法，学生的阅读能力及数学直觉 能力，是整份试卷中区分度最强的题目，体现了高校对最优秀学生的选拔, 一般命题在选择题最后一题、填空题最后一题和解答题倒数一、二题，本 文就就近几年福建数学高考及省质检压轴题的类型进行归纳梳理1压轴题类型1.1以探索性问题为背景的压轴题例1. （2009福建质检理19）已知椭圆C的离心率［e二32］,长轴的左右端点分别为［A1-2 , 0］,［A22 , 0］o（I） 求椭圆C的方程;实测得分：3.92;难度系数：0. 78（II） 设直线［x二my+1］与椭圆C交于P、Q两点，直线［A1P］与［A2Q］ 交于点S试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写 出这条直线方程，并证明你的结论;若不是，请说明理由实测得分：0. 88 ; 难度系数：0. llo评析：木题（II）可通过由特殊到一般的思想来探究定直线，从而达 到降低问题的难度例2. （2010江西理数12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 <D： \ 123456 \ 速读？下旬 201511 \ 速读排版 11 下打包 10. 11 \ Image \image9. pdf>,则导函数<D： \ 123456 \ 速读？下旬 201511\速读 排版11 F打包10. 11 \ Image \ image 10. pdf>的图像大致为<D： \ 123456\速读？下句201511 \速读排版11下打包10. 11 \ Image \ 截图 20151009101212. png>评析：本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考 查的是対数学的探究能力和应用能力。

最初零时刻和最后终点时刻没有变 化，导数取零，排除C;总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B; 考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义，判 断此时面积改变为突变，产生中断，选择A例3.(福建2011理20)如图甲,四棱锥［P-ABCD］中,［PA丄底面ABCD］,四边形［ABCD］中，［AB 丄AD］, ［AB+AD二4］, ［CD二2］, ［ZCDA=45 ］I )求证：［平面PAB丄平面PAD］;(II)设［AB二AP］i) 若直线［PB］与平面［PCD］所成的角为［30］,求线段［AB］的长；(ii) 段［AD］上是否存在一个点［G］,使得点［G］到点［P, B, C, D］的距离都相等？说明理由1・2以类比为背景的压轴题例4. (09年福建省数学科质检第15题)对于等差数列［an］有如下命 题：“若［an］是等差数列，［al二0, s］、［t］是互不相等的正整数，则有［(s-1) at- (t-1) as=0］ ",类比此命题,给出等比数列［bn］相应的一个正确命题 是：评析：在等差数列［an］中，设公差为［d］, ［al二0,］则［肚二(sT) d］, ［at= (t~l) d］,显然冇［(s-1) at= (t-1) as］ BP ［ (sT) at- (t~l) as=0］ 成立。

在等比数列［bn］中，设公比为［q, ］ ［bl二1］,则［bs二qsT, ］ ［bt=qt-l,］ 所以［(qs~l) t~l= (qt~l) s-1,］即［(bs) t~l (bt) sT 二 1］(或写成［(bs) t-1- (bt) sT二0］)因此，给出等比数列［bn］相应的一个正确命题是：若［bn］是等比数列, ［bl二 1］, ［s］、［t］是互不相等的正整数，则冇［(bs) t-1 (bt) s-l二 1］ 本题考查学生的联想类比能力及等差、等比数列性质的比较，对学生的思 维能力有较高要求，有较强的区分度例5.(福建2009理10)函数［f (x)二ax2+bx+c (a^O)］的图象关 于直线［x=~b2a］对称据此可推测，对任意的非零实数a, b, c, m, n, p, 关于x的方程［mf (x) 2+nf (x) +p二0］的解集都不可能是A. ［1, 2］ B ［1, 4］ C ［1, 2, 3, 4］ D ［1, 4, 16, 64］评析:本题用特例法解决简洁快速,对方程［m［f (x) ］2+nf (x) +P二0］ 中［m, n, p］分别赋值求出［f (x)］代入［f (x)二0］求出检验即得D,另外 本题也可通过类比二次函数对称轴的特点求得。

例6. (2010福建理20) ( I )已知函数［f (x) =x3-x］,［其图象记为 曲线C］・(i) 求函数［f (x)］的单调区间；(ii) 证明：若对于任意非零实数［xl］,曲线C与其在点［Pl (xl, f(xl))］处的切线交于另一点［P2 (x2, f (x2))］,曲线C与英在点［P2］ 处的切线交于另一点［P3 (x3, f (x3))］,线段［P1P2, P2P3］与曲线［C］ 所围成封闭图形的面积分别记为［SI, S2,］则［S1S2］为定值;(II )对于一般的三次函数［g (x) =ax3+bx2+cx+d (dHO),］请给出 类似于(I ) (ii)的正确命题，并予以证明.评析：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概 括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合 思想、化归与转化思想、特殊与一般思想I )的(i)简单而常规，易得增区间为(［-8, -33］)和(［33, +8］),单调减区间为(［-33, 33］)ii)山于［si, s2］均为曲边形面积，必须用定积分求解，所以山C 在点［pl］的切线方程［y二(3x21-1) (x-xl) +x31-xl］,联立C的方程求得 ［p2 ( x2, f ( x2 )) ］ , ［x2二-2x1］进而［si二-2x1x1 ( x3~3x21x+2x31 ) dx=274x41］,用［x2］代替［xl］,重复上述计算过程，就得到［s2二274x42］, 所以［sls2=x41x42=116］o ( II )注意到(I ) (ii)中条件非零［xl］意指［pl (xl, f (xl))］点不能取［f (x)］的对称中心(即拐点)，故类 比时也应不能取对称中心。

令［g" (x) =6ax+2b=0］,得［xO=-b3a］,故类比命题为:若对作意不 等于［-b3a］的实数［xl］,曲线C ］与其在点［pl (xl, g (xl))］处的切 线交于另一点［p2 (x2, g (x2))］,曲线［C‘ ］与其在点P2处的切线交于 另一点［p3 (x3, g (x3))］,线段P1P2, P2P3与曲线C ］所围成封闭图 形的面积分别记为［si, s2］,则［sls2］为定值1・3以新定义为背景的压轴题例7. （2011福建理15）设［V］是全体平面向量构成的集合，若映射［f： V-R］满足：对任意向量［a二xl, yiev］, ［b=x2, y2eV］,以及任意［入c R］，均冇［f X a+1-Xb=X fa+1- X fb］则称映射［f］具有性质［P］.先给出如下映射：%1 ［门：V-*R, flm=x-y, m=x, yWV］［］;%1 ［f2： VfR, f2m二x2+y, m=x, yV］;%1 ［f3： V—R, f3m二x+y+1, m=x, yV］・其中，具有性质［P］的映射的序号为 ・（写出所有具有性质［P］的映射的序号）.评析：本题可通过运算求得，但要花费较多的时间，其实若平时在向 量这章节有研究的话，则知其为线性运算易得答案①、③。

1. 4以开放性试题为背景的压轴题例& （2009福建质检理20）已知函数［fx=ax+lnx , a^R］.（I） 求函数［fx］的极值；（II） 对于曲线上的不同两点［Plxl , yl］, ［P2x2 , y2］,如果存在曲线上的点［QxO , y0］,且［xl<x0<x2］,使得曲线在点［Q］处的切线［?］〃［P1P2］,则称［?］为弦［P1P2］的伴随切线特别地，当［x0二入 xl+ix2 0< 时，又称［?］为［P1P2］的入-伴随切线卜逋小可?线［y二f （x）］的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随 切线是唯一的；（??）是否存在曲线C,使得曲线C的任意一条眩均有［12-］伴随切线? 若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由 评析：本题体现了结论开放、解法开放、设问形式多样性同时本题 也考查了学牛对新左义的理解及综合问题的能力当然除以上之外还有以研究性学习为背景（如2011 海春季理21）、 以抽象函数为背景、以高等数学为背景等类型,在此不一一加以论述2高考压轴题的备考建议2. 1强化阅读理解，考查学习潜能如2010年福建理10o如果题目 条件的涵义搞清楚了，问题显得十分简单。

要重视合情推理及类别迁移能 力的提升2. 2.对基本函数与函数性质的复习要全面而突出重点并注重横向联 系在复习中，应该全面夯实基础，突出对二次函数，分段函数，指、对 数函数等几个基本函数的复习强化解决函数问题的相关数学思想方法的 训练2・3重视合情推理，培养学生的直觉思维2. 4妙设问题情境，培养学生的探究意识2.5设置问题的开放性、创新性试题不断推陈出新，训练学生的创 新思维;命题从形式到结构，从题设到结论形成开放，培养学生的开放性 思维。