清华版线性代数第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 线性方程组,习题一 消元法,一、,用消元法解方程组,二、,方程组有解时 的取值，,并求方程组的解,解：,时，方程组有解,且42，有无穷解,习题二,n维向量空间,一、向量,与向量,相等吗？应怎样表达,他们之间的关系？,不相等,二、设,求向量,，使,解：,三、,满足,求,解：,习题三 向量间的线性关系,一、设,(1)当,为何值时，向量组,线性相关？,(2)当,为何值时，向量组,线性无关？,(3)当,线性相关时，,可否由,线性表示?,假设能，求其表示系数.,(1),有非零解,时，线性相关,(2),时，线性无关,(3),二、试判断向量,可否由向量组,线性表出？假设能，请试写出其一种表示法.,解:,令,三、判断向量 可否由向量组,线性表出？假设能请写出一种表达形式解：,令,四、判断以下向量组是否线性相关，假设相关，试找出,其中一个向量，使得这个向量可由其余向量线性表出，并写出它的一种表示方式：,(1),解：,方程组只有零解,向量组线性无关,(1),解：,五、证明：假设,线性相关，而,线性无关，那么：,(1),可由,线性表示；,2,不可由,线性表示.,证明：,线性无关,线性无关,线性相关,线性表示；,线性相关,存在一组不全为零的数，使得,成立,不妨设,线性表示；,(1),(2)反证：假设,可由,线性表示.,又,线性表示；,线性表示；这与,线性无关矛盾,不可由,线性表示.,六、设向量,是线性无关的一组四维向量，,那么任意一个四维向量,都可以由,线性表示.,证明：,是四维的线性无关向量组,是五个四维向量,线性相关,可由,线性表示且表示方法唯一,习题四 向量组的秩,一、向量组,的秩为,证明:该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的一个极大无关组.,证明:设,是向量组中的任意,个线性无关的向量,又,在,中任意 个向量线性相关,线性相关,线性表示.,(为 中除 的任意向量),线性表示.,该向量组中的任意,个线性无关的向量都是它的,二、证明：假设向量组,线性相关，那么向量组,也线性相关.,证明：,可由,线性表示,又,可由,线性表示,线性相关,也线性相关.,三、设,是,维列向量组,试证:,的充要条件是任何,维向量均可由,线性表示.,证明：必要性：,线性无关,个,向量，线性相关,可由 线性表示,充分性：任何,维向量均可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,可由,线性表示.,四、证明：假设向量组,可由向量组,线性表出，,线性相关，那么,也线性相关.,证明：,线性相关，那么,设,的一个极大无关组,可由向量组,线性表出，,可由向量组,线性表出，,线性相关.,习题五 矩阵的秩,一、设矩阵,假设它的秩等于3，求,的值.,解：,二、计算以下矩阵的秩,1,2,三、设向量组,求其极大无关组.,解：,四、试求向量组,的秩和一极大无关组，并将其余向量用此极大无关组表示.,解：,习题六 线性方程组解的判定,一、,取何值时，方程组,有非零解？,解：,有非零解,二、,取何值时，线性方程组,有解？无解？,解：,时，有解,时，无解,三、方程组,问：当,为何值时，方程组有解？无解？,有解时，是唯一解还是无穷解？,解：,当,时，无穷解,当,时，无解,习题七 线性方程组解的结构,一、求齐次方程组,的一个根底解系，并用此根底解系表示通解.,解：,二、求齐次线性方程组,的一个根底解系.,解：,三、求线性方程组,的全部解.,解：,四、,取何值时，线性方程组,有解，并求出全部解.,解：,当,时，有解,自测题,填空题,1.向量,那么当 时，,线性相关；,当,时，,线性无关。

解：,2.设向量,那么这三个向量,线性无关,3.设向量组,那么该向量组的一个极大无关组是,4.设 为,矩阵，以,为系数矩阵的齐次线性方程组,仅有零解的充要条件是,的列向量组线性,无关,.,解：,5.非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是其导出组,只有,零解,.,6.设,阶行列式,，那么线性方程组,无,解.,解：,线性无关,7.方程组,有唯一,解.,中,每一行元素之和均为零,，且秩为,解：,8.设矩阵,，假设,那么以,为系数矩阵的齐次线性方程组的通解为,解：,经过初等行变换此性质不变,根底解系含有,二、选择题,1.假设向量,与,线性相关，那么,的取值为,A,B,C,D,为任意数.,2.向量组,的秩为,(A)1；(B)2；,(C),3；(D)4.,3.设向量组,线性无关，那么,的值为,(A),B,C,D,解：,可由 线性表示,4.设向量组(),().()是()的局部组，,那么以下断语正确的选项是,(A)假设()线性相关，那么 也线性相关；,(B)假设()线性无关，那么 也线性无关；,(C)假设线性无关，那么()也线性无关；,(D)()的相关性与的相关性没有关系.,5.假设有一组,维向量,使得任一,维向量,都可由这个向量组线性表那么：,A,B,C,D,解：,可由 线性表示,6.设矩阵,的秩为3，那么,三者：,(A)都不为1；(B)都不为零；,(C),互不相等；(D)都相等.,7.设方程组,有非零解，那么,A,B,C,D,解：,8.假设齐次线性方程组,有非零解，那么,A,B,C,D,都有可能.,解：,有非零解,都有可能.,9.假设齐次线性方程组,有非零解，,且系数矩阵的秩为,，那么它的根底解系中含有向量的个数为：,A,B,C,D,三、计算题,1.向量,.试求,用,线性表示的表达式.,解：,2.向量组,1试求该向量组的一个极大线性无关组与秩；,2写出每个向量用极大无关组线性表示的表达式.,解：,为其一个极大无关组,3.求方程组的全部解,解：,四、证明题,1.设向量组,线性相关，且它们都不是零向量,求证：其中至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可,由其余向量线性表示.,证明：,线性相关,其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,设：,都不是零向量,中至少有一项不为零,可由其余向量表示,至少有两个向量，这两个向量中的每一个都可,由其余向量线性表示.,2.假设齐次线性方程组,中方程个数,，那么它有非零解.,证明：,所以方程组有非零解.,。