选修4－5 不等式选讲第一节 绝对值不等式[考纲] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图像求解．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0. ( )(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0. ( )(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.－3 [依题意，知a≠0.又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，∴－1＜ax＜5.由于|ax－2|＜3的解集为，∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.[解] 当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2， 3分解得x≥－. 6分当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，解得x≤－5. 8分综上，原不等式的解集是. 10分5．(20xx·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．图[解] (1)由题意得f(x)＝ 3分故y＝f(x)的图像如图所示． 6分(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 8分故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，f(x)＜－1的解集为.所以|f(x)|＞1的解集为. 10分[规律方法] 1.本题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1] (20xx·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.【导学号：57962488】[解] (1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．所以解得a＝1，所以＋＝1(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号.绝对值三角不等式性质的应用 对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.[解] (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值. 2分因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，|a|≥|b|时，≥2成立，也就是的最小值是2，即m＝2. 5分(2)|x－1|＋|x－2|≤2.法一：利用绝对值的意义得：≤x≤. 10分法二：①当x＜1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，解得x≥，所以x的取值范围是≤x＜1.②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，得x的取值范围是1≤x≤2. 8分③当x＞2时，原不等式为(x－1)＋(x－2)≤2,2＜x≤.综上可知，不等式的解集是. 10分[规律方法] 1.(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．[变式训练2] 对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．[解] 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，≤， 4分所以|4a－3b＋2|＝≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6， 8分则|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6，m的取值范围是[6，＋∞). 10分绝对值不等式的综合应用 (20xx·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解] (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x＜2.所以f(x)>1的解集为. 4分(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)．因此△ABC的面积S＝|AB|·(a＋1)＝(a＋1)2. 8分由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞). 10分[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号，化f(x)为分段函数；(2)数形结合求△ABC的三个顶点坐标，进而得出△ABC的面积；(3)解不等式求a的取值范围．[变式训练3] (20xx·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}. 4分(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a， 6分当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ① 8分当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞). 10分[思想与方法]1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，几何法(利用绝对值几何意义)，构造函数法．前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用．2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．[易错与防范]1．利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)的不等式，在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c≤0，则不等式解集为R.。
