2012年上海高考数学理科试题及答案.doc

2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：= (i为虚数单位).2.若集合，，则= .3.函数的值域是 .4.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示).5.在的二项展开式中，常数项等于 .6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 . 7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 .8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .9.已知是奇函数，且.若，则 .xOMlaOMxla10.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示).12.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 .13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为 .ABCD14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ( ) (A). (B). (C).(D).16.在中，若，则的形状是 ( ) (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.17.设，. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则 ( ) (A)>. (B)=. (C)<. (D)与的大小关系与、、、的取值有关.18.设，. 在中，正数的个数是 ( ) (A)25. (B)50. (C)75. (D)100.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)ABCDPE19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)20.已知函数.(1) 若，求的取值范围；(6分)(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.(8分)xOyPA21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为.(1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22.在平面直角坐标系中，已知双曲线. (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(4分) (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OP⊥OQ；(6分) (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.(6分)23.对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P. (1)若x>2，且，求x的值；(4分) (2)若X具有性质P，求证：1ÎX，且当xn>1时，x1=1；(6分) (3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.计算：= 1－2i (i为虚数单位).[解析] .2.若集合，，则= .[解析] ，，A∩B=.3.函数的值域是 .[解析]Î.4.若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 arctan2 (结果用反三角函数值表示).[解析] 方向向量，所以，倾斜角a=arctan2.5.在的二项展开式中，常数项等于 －160 .[解析] 展开式通项，令6－2r=0，得r=3，故常数项为.6.有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1,V2,…,Vn,…，则 . [解析] 易知V1,V2,…,Vn,…是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 .7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 (－¥, 1] .[解析]令，则，由于底数，故↑ó↑， 由的图像知在区间[1,+¥)上是增函数时，a≤1.POrlhPl2pr 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为 .[解析] 如图，Þl=2，又2pr2=pl=2pÞr=1， 所以h=，故体积.9.已知是奇函数，且.若，则 －1 .xOMla [解析] 是奇函数，则，所以， 1.10.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式，则 .[解析] 的直角坐标也是(2,0)，斜率，所以其直角坐标方程为， 化为极坐标方程为：，， ，，即.(或)11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示). [解析] 设概率p=，则，求k，分三步：①选二人，让他们选择的项目相同，有种；②确定上述二人所选择的相同的项目，有种；③确定另一人所选的项目，有种. 所以，故p=.12.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别xyABCDMN是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是 [2, 5] . [解析] 如图建系，则A(0,0)，B(2,0)，D(,)，C(,). 设Î[0,1]，则，， 所以M(2+,)，N(－2t,)，故=(2+)(－2t)+×=，因为tÎ[0,1]，所以f (t)递减，()max= f (0)=5，()min= f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点：M在B(N在C)和M在C(N在D)，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!13.已知函数的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,5)，C(1,0).xyABC15图1NxyODM15P图2函数的图像与x轴围成的图形的面积为. [解析]如图1，， 所以， 易知，y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，如图2，封闭图形MND与OMP全等，面积相等，故所求面积即为矩形ODMP的面积S=.ABCDE[评注]对于曲边图形，上海现行教材中不出微积分，能用微积分求此面积的考生恐是极少的，而对于极大部分考生，等积变换是唯一的出路。

14.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .ADBEC [解析] 作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD， 由题设，B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE. 取BC中点F，连接EF，则EF⊥BC，EF=2，，四面体ABCD的体积，显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=，所以. [评注] 本题把椭圆拓展到空间，对缺少联想思维的考生打击甚大!当然，作为填空押轴题，区分度还是要的，不过，就抢分而言，胆大、灵活的考生也容易找到突破点：AB=BD(同时AC=CD)，从而致命一击，逃出生天!二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根，则 ( B ) (A). (B). (C).(D). [解析] 实系数方程虚根成对，所以也是一根，所以－b=2，c=1+2=3，选B.16.在中，若，则的形状是 ( C ) (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.[解析] 由条件结合正弦定理，得，再由余弦定理，得， 所以C是钝角，选C.17.设，. 随机变量取值、、、、的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差，则 ( A ) (A)>. (B)=. (C)<. (D)与的大小关系与、、、的取值有关.[解析]=t，++++)=t，++++] ； 记，，…，，同理得，只要比较与有大小，，所以，选A.[评注] 本题的数据范围够阴的，似乎为了与选项D匹配，若为此范围面困惑，那就中了阴招!稍加计算，考生会发现和相等，其中的智者，更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值，故比第一组更“集中”、更“稳定”，根据方差的涵义，立得>而迅即攻下此题。

18.设，. 在中，正数的个数是 ( D )xya2a12a13a…24a23a26a27a49a48a38a37a……… (A)25. (B)50. (C)75. (D)100. [解析] 对于1≤k≤25，ak≥0(唯a25=0)，所以Sk(1≤k≤25)都为正数.当26≤k≤49时，令，则，画出ka终边如右，其终边两两关于x轴对称，即有，所以++…+++0 ++…+=++…+++…+，其中k=26,27,…,49，此时，所以，又，所以，从而当k=26,27,…,49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S49>0.对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上，可选D. [评注] 本题中数列难于求和。