三点共线线共点.doc

第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用1•点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等 n（ n》4）点共线可转化为三点 共线例1如图，设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边 形AECD BFCG又作平行四边形 CFHDCGKE求证：H, C, K三点共线＜B四边形AKGD是 样可证AKHB 其对角线AB, KH 线段KH过C点，证连AK DG HB由题意，AD EC KG知 平行四边形，于是AKiDG同 四边形AHBK是平行四边形， 互相平分而C是AB中点， 故K，C, H三点共线EC0DMC CF CFMA CA CD例2 如图所示，菱形ABCD中, Z A=120°, °0 ABC外接圆，M 为其上一点，连接 MC交AB于E, AM交CB延长线于F求证：D, E, F 三点共线F如图，连 AC, DF, DE,因为M在°0上,则Z AMC600 =Z ABC=Z ACB 有厶AMSAACF得又因为Z AMCBAC所以△ AMSA EAC得MC AC ADMA AE AECF AD 所以 C- ——,又Z BAD=Z BC[=120o,知厶 CFD^CD AE△ ADE 所以Z ADE=Z DFB 因为 AD// BC,所以Z ADF=Z DFB=Z ADE 于是 F , E , D三点共线。

例3四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P, AD 与BC的延长线交于点Q由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E, F求证：P，E，F三点共线证 如图连接PQ并在PQ上取一点M使得B，c, M P四点共圆，连CM PF设 一交点为E'，并作QG丄PF，垂足为G易QE=QM QP=QC・ QB ①/ PMCZ AB（=Z PDQ从而C, D, Q M四点共圆，于是PM・PQPC・PD ②由①，②得PM- PM POPC- PDfQC- QB 即 pQ=qc・ QBPC・ PDPF与圆的另 如易知 PD- POPE' - PF, 又 QF2=QC- QB 有PE - PF+QF二PD・ PC+QC- AB=PQ, 即 PE - PF=PQ- qF又从而 PE 二PG- GF=PG- GE 所以P, E, F三点共线PF- (PG- GF ,,即GF=GE，故E'与E重合pQ— qF二pG— gF=(pggf - (PG-gf/ EFD=/ FEB例4以圆0外一点P,引圆的两条切线PA PB, A, B为切点割线 PCD交圆0于C, D又由B作CD的平行线交圆0于E若F为CD中点，求证：A, F, E三点共线。

证 如图，连AF, EF, 0AOF延长FC交BE于Go易如0A丄AP, 0B丄BP,OF丄 CP 所以 P , A, F , 0, B 五点共圆，有/ AFP=Z A0=Z P0=/ PFB又因CD// BE,所以有/ PFB=Z FBE而F0G为BE的垂直平分线，故 EF=FB,Z FEB=Z EBF 所以/ AFP=Z EFD A, F , E三点共线2. 线共点的证明证明线共点可用有关定理（如三角形的3条高线交于一点），或证明第3条直 线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明例5 以厶ABC的两边AB, AC向外作正方形ABDE ACFG△ ABC的高为AH求证: AH, BF, CD交于一点证 如图延长 HA使 AM=BQ 连 CM BM 设CM与 BF交于点K在厶 ACMfy BCF中,AC=CF, AIM=BC,/ MAC/ HA(=180°, / HAC■/ HC=90°, 并且/ BCf=90° +/HCA 因此/ BCf+/HA(=180°/ MAC/ BCF从而△ MAC2A BCF / ACM/CFB所以/ MK=/KCF■/ KFO/ KCF■/ MCE90° , 即BF丄MC同理 CD丄 MB AH BF , MBC的 3 条高线,故 AH, BF, CD三线父于一点。

E分别是△ APB及厶APC的内心证明:AP, BD, CE交于一点例 6 设 PABC内一点,/ APB-/ ACB：/APC-/ ABC 又设 D,#垂足分别为CE交AP于NoR；PBC证如图，过P向三边作垂线, R, S , T连 RS ST, RT,设 BD交 AP于 M 易知 P , R, A, S; P, T, B,P, S , C, T分别四点共圆,贝U/ APB- / ACB：/ PA(+ /=/PRS■/PRT=/ SRT同理,/ APC- / ABC/ RST由条件知/ SRE/ RST所以RT=STo 又 RT=PBsinB, ST=PCsinC, 所以 PBsinB二PCsinC,那么PB PCoAB AC由角平分线定理知AN AC AB AMoNP PC PB MP故M, N重合,即AP BD CE交于一点例7 ①O与◎ Q外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q, R分别为© O ,①Q上的切点,过Q且垂直于QO的直线与过R且垂直于RO的 直线交于点I , IN垂直于OQ,垂足为N, IN与QF交于点M证明：PMRQ, QO二条直线交于一点 证 如图，设RQ与交于点Q 连 MQ PQ因为/ M/QNM=90°,所以点共圆，有/ QM= / 2。

而/ I=90° =Z R 所以/ IQM=Z Q, 故厶QIM^AO,得所以OlOORO1Q O1 PRO2 PO2同理可证R°2RMOMO因此QMQO1①MRro2因为QO// RO,所以有O1OQO1②ORro2QOiQMO1O2MI由①，②得MO/ QO 又由于OP=OQ PQ=RO,ARS AMCBPSAMBRBS BMCPCSjAMC以上三式相乘，得BPPCCAAR 1RB即 OP// RO从而 MO/ QO// RO// OP 故 M, O, P三点共线，所以 PM RO, QO 三条直线相交于同一点3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理1 (塞瓦(Ceva)定理):设P, Q R分别是△ ABC的BC CA AB边上的点若AP, BQ CR相交点M则BP CQ AR1PC QA RB证 如图，由三角形面积的性质，有定理2 （定理1的逆定理）:设P, Q, R分别是△ ABC的BC, CA AB上的点若竺 C2 竺.1，则AP, PC QA RBBQ CR交于一点证如图,设AP与BQ交于M连CM交AB于R'定理3 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）:一条不经过△ ABC任 一顶点的直线和三角形三边 线）分别交于P, Q R,BC, CA AB；或它们的延长BP CQPC QAAR 1RB证如图,由三角形面积的性质，有ARRBS ARP BPS BRP PCS BRPS CPRCQ S CRPQA S ARP将以上三式相乘,得 PCCQ ARQA RB1.由定理1有BP CQ AR'BP1 .而CQ AR 1 ,所以PC QA R' BPCQA RBAR'ARR'BRB .于是R'与R重合,故AP,BQ CR交于一点。

CAAB或它们延长线上的3点若定理4 （定理3的逆定理）: 设P, Q R分别是△ ABC的三边BC,聖S 1,PC QA RB则P, Q R三点共线定理4与定理2的证明方法类似塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目 中有着广泛的应用例8如图，在四边形ABCD中 ,对角线AC平分/ BAD在CD上取一 点E , BE与AC相交于F ,延长DF交BC于G 求证：/ GA（=Z EAC证 如图，连接BD交AC于H,过点C作AB的平行线交AG的延长线于I ,过点C作AD的平行线交AE的 延长线于J对厶BCD用塞瓦定理,可得CG BH DEGB HD EC 因为AH是/BAD勺角平分线， 由角平分线定理知 聖 些HD AD 代入①式得CG AB DE ’②AD CCJ1.1 GB AD EC 因为 CI // AB, CJ// AD 则些-CI ,匹GB AB EC 代入②式得AB AD CJCI AB AD从而CI=CJ又由于/ ACI=180°-Z BA(=180°-Z DA(=Z ACJ, 所以△ ACI^A ACJ,故/ IAC=Z JAC,即/ GA(=Z EAC例9 ABCD是一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CD上的一点。

AF交ED于 G EC交FB于H连接线段GH并延长交AD于L,交BC于MC 求证：DL=BM证 如图，设直线LM与BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于点I在厶ECDWA FAB中分别使用 梅涅劳斯定理，得EG DI CH 1I ?GD IC HEAG FH BJ 1.GF HB JA 因为AB// CD所以EGGD从而虫里，即CD CIIC JA CIAG CH FH GF ， HE HBAB AJAJ,故 CI=AJ.而1#BM BJ D£ DL MC CI AJ LA 且 BM+M(=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL例10在直线I的一侧画一个半圆T, C, D是T上的两点,T上过 C和D的切线分别交I于B和A,半圆的圆心段BA上,E是线段AC 和BD的交点，F是I上的点，EF垂直I求证：EF平分/ CFD证 如图，设AD与 BC相交于点P,用0表示半圆T的圆心过P作PH丄I于H,连OD OC OR由题意知 Rt △ OAD^ Rt △ PAH 于是有AH HPAD DO类似地，Rt △ OCBo Rt △ PHB则有BH HPBC CO .AH BH AH BC PD由CQDO有 ，从而 1.AD BC HB CP DA由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC, BD, PH相交于一点，即E在PH上, 点H与F重合。

因/ODPZ OCP90°,所以O,D,C,P四点共圆，直径为OP又/ PFC=90° 从而推得点F也在这个圆上，因此/ DFF=Z DOPZ COP/ CFPECDA:RF内接于圆， 延长线交于 分别交圆于T.AD , BiE1, GF1所以EF平分/ CFD例11如图，四边形ABCDAB, DC延长线交于 E, AD BCF, P为圆上任意一点，PE PFR,S若对角线AC与BD相交于 求证：R, T, S三点共线引理1:A1B1CDE1F1为圆内接六边。