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人口增长模型的确定 Prepared on 22 November 2020   题目：人口增长模型的确定 摘 要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔 10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测 一、问题重述 问题背景 1790-1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表所示 表 1 人口记录表 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(106) 年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(106) 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析 3.查阅资料找出中国人口与表 1 同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析 二、问题分析 首先，我们运用 Matlab 软件绘制出 1790 到 1980 年的美国人口数据图，如图 1 图 1 1790 到 1980 年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在 1790—1980 年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想 到建立指数模型因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数 N 的变化率与生物总数成正比 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。

表 2 变量说明 符号 符号说明 N(0) 起始年人口容纳量 N(t) t 年后人口容纳量 t 年份 r 增长率 五、模型建立 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t 表示年份（起始年份 t=0），r表示人口增长率，N(t)表示 t 年后的人口数量  当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数为了利用微积分这一数学工具，将 N(t)视为连续、可微函数记初始时刻(t=0)的人口为 N(0)，人口增长率为 r，r是单位时间内 N(t)的增量与 N(t)的比例系数根据 r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)ert (5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)将以 t 年为单位，上式表明，人口以 er为公比的等比数列增长因为这时 r表示年增长率，通常 r<<1，所以可用近似关系er≈1+r可得出 N(t)=N(0)(1+r)t (5-3) (5-3)式即人口增长模型。

问题二：改进模型-阻滞增长模型（Logistic 模型） 自从英国人口学家和政治经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯 1798年发表《人口学原理》后，马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型在世界上引起了轩然大波，并在后来的人口预测中扮演着重要的角色但是随着时间的发展，由于现代社会与自然环境的改变，马尔萨斯人口指数增长模型在预测未来人口时，误差可能会比较大上述模型对较早时期的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能由于社会的快速发展，自然环境遭受严重破坏，人口的高速增长等一系列原因，人口的增长率不能按照马尔萨斯所假设为一个常数 r不改变一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大而且人口最终会饱和，趋于某一个常数 x， 我们假设人口的净增长率为 r(1-x(t)/x)，即人口的净增长率随着人口的增长而不断减小，当 t 时，净增长率趋于零。

按照这个假设，得到： 00)())(1 (xtxxtxrdtdx (5-4) 这便是荷兰数学家Verhulst于 19世纪中叶提出的阻滞增长模型（Logistic 模型） 在 MATLAB命令窗口键入 dsolve(‘Dx=r*x*(1-x/c)’,’x(1790)=’) 输出： ans=c/(1+1/39*exp(-r*t)*exp(1790*r)*(10*c-39)) 其中 c=x 因此，人口的变化规律为： rtexxx)1790(3910) 1(1 (5-5) 问题三模型建立 经调查，1790-2010 年间中国每隔 10 年的人口记录如下表所示 表 7 中国人口记录表 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 人口(106) 年份 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 人口(106) 年份 1970 1980 1990 2000 2010 人口(106) 我们分别应用马尔萨斯人口指数增长模型和 Logistic 人口阻滞增长模型来对中国人口进行预测。

 六、模型求解 问题一模型求解 在应用预测模型的过程中考虑到，若要提高预测结果的准确性，就必须增加预测方案的数量，对比各方案的预测值和误差，选取误差最低的一组预测方案特别是马尔萨斯模型中，人口增长率 r是一定时期内人口增加的综合结果，在预测中它的取值直接关系到预测结果的精度，因此在进行不同阶段的人口预测时根据实际情况对人口增长率 r加以分类和处理才能得到理想的预测结果本文根据 1790-1980 年计算美国常住人口每年的增长率，按照人口增长率 r 的大小设置了高中低三个方案，以此加强预测结果的对比，提高预测的准确度 表 3 美国每 10 年自然增长率 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 通过表 3可以确定自然增长率高，中，低三个方案通过数据分析可得，上述表格为 10年的累计增长率，而自然增长率强调一年，所以可近似除以 10 求得，高方案中自然增长率为，中方案中自然增长率为，低方案中自然增长率为 依据人口增长率的大小分为高、中、低、三个预测方案，将预测值与实际值进行拟合比较。

图 2 r=时马尔萨斯模型曲线拟合 图 3 r=马尔萨斯模型曲线拟合 图 4 r=马尔萨斯模型曲线拟合 根据上述分析，及曲线拟合可知，取中方案即 r=时，马尔萨斯模型更符合实际情况因此本文自然增长率取 r=来预测美国人口数量并与实际情况对比  由预测公式预测 1790-1980年的人口数量，由指数增长模型可得各个年份的真实值与预测值之间的差别如下表： 表 4 1790 年-1980年美国人口真实值与预测值 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 真实人口(106) 误差（106) 0 年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 真实人口(106) 误差（106) 通过调查得知 1990-2010年人口数量统计如下表 表 5 1990年-2010年美国人口真实值与预测值 时间（年） 1990 2000 2010 人口 误差（106) 939 1297 图 5 美国人口真实值与预测值曲线拟合 通过上图可以发现，1790-1870 指数增长模型确实拟合的比较好，但从 1870 年开始往后发现误差越来越大，可知指数增长模型只适合于短期的人口预测。

为了生存以及人类的发展，人们自然会采取有效措施来控制人口的过度增长，自然资源、环境资源的条件也限制了人口数量的过度增长因此为了使人口预报模型适合长期的发展趋势，更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设了，这时必将导致更适合人类发展的规律的新数学模型的产生 问题二模型求解 利用 MATLAB软件中的“curvefit”命令和式(5-5)来拟合所给的人口统计数据，从而确定出(5-5)中的待定参数 r和 x  查阅资料可得 r的初值取为小于 1的数，比如取 a=[200, ]时，得到 a =[ ]，y1 =，即(5-5)中的 r=, x=，2010年美国的人口预计为百万人这个结果还比较合理，当 t 趋于无穷时，静增长率趋于零，人口数趋于百万人，即极限人口x=百万百万拟合效果见图 5 根据该题已给数据可作如下图形： 图 6 Logistic模型拟合曲线 从图 6 可以看出，在前一段吻合得比较图，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好因此略加修改将拟合准则改为： 211212))(())(()(minniiiniiixtfwxtfaE (5-6) 其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于 1 的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。

我们要使这些误差的增减恰当，可以通过调整w和n的具体取值，比较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值 1) 先取n=17,w=,运行上述程序，得到结果a = [, ]; x1 = . 2) 再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果a=[,];x1=. 我们把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中，很容易作出比较，见图6第二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合，因此，对将来人口的预测应该更好 图 7 Logistic 模型优化拟合曲线 经过修改，得到了一个较满意的结果，人口增长率 r=,极限人口 xm=(百万)，并预测 1990 年--2010年美国人口 通过调查得知 1990-2010年人口数量统计如下表 表 6 1990年-2010年 Logistic模型美国人口真实值与预测值  时间（年） 1990 2000 2010 人口 预测值 误差 问题三模型求解 马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型求解中国人口问题 参照问题一，我们来求解中国人口问题 表 8 中国每 10年自然增长率 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 同样，取高、中、低三种自然增长率方案，高方案中自然增长率为，中方案中自然增长率为，低方案中自然增长率为。

图 8 r=时马尔萨斯模型曲线拟合 图 9 r=时马尔萨斯模型曲线拟合 图 10 r=时马尔萨斯模型曲线拟合 根据上述分析，及曲线拟合可知，取中方案即 r=时，马尔萨斯模型更符合实际情况因此本文自然增长率取 r=来预测中国人口数量并与实际情况对比 由预测公式预测 1790-1980 年的人口数量，由指数增长模型可得各个年份的真实值与预测值之间的差别如下表： 表 9 1790 年-1980年中国人口真实值与预测值 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 真实人口(106) 381 409 412 412 377 358 368 误差（106) 0 61 139 240 364 548 782 1107 1487 1925 年份 1891900 1911920 1930 1940 1950 1960 1970 1980  0 0 真实人口(106) 380 400 423 472 489 误差（106) 2471 3144 3982 5004 6391 7944 9973 12410 15439 19228 通过调查得知 1990-2010年人口数量统计如下表 表 10 1990年-2010年中国人口真实值与预测值 时间（年） 1990 2000 2010 人口 误差（106) 23987 29965 37480 图 11 中国人口真实值与预测值曲线拟合 Matlab 中 cftool()工具箱求解 应用 Matlab 中 cftool()工具箱来进行图像拟合。

图 12 cftool 工具箱拟合 经过不同模型的应用比对，我们发现应用 3 阶高斯分布可以达到较好的拟合效果，误差相对较小此时，a1 = 1002 , 1339) b1 = 1992 (1978, 2006) c1 = , a2 = , b2 = 1932 (1907, 1958) c2 = , a3 = , b3 = 1837 (1828, 1846) c3 = , 七、结果分析 综合做出假设的两种模型与原始数据所描述的图形如下：  可以看出，当世界人口总数不大时，生存空间，资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的，但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不会反映这样的现实。

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用，但是依据实际情况，根据已给数据和查资料所得数据通过图像拟和可得二次函数模型与其最为匹配 事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要，也要予以考虑 八、参考文献 [1] 张志涌，杨祖樱. MATLAB 教程[M]. 北京：北京航空航天大学出版社, 2011. [2] 李晓梅. 人口预测模型研究及应用[M] 四川：西南财经大学出版社，2011. [3] 姜启源等 《数学模型》（第三版）[M] . 高等教育出版社 P10 [4] 何春. 马尔萨斯人口模型在广州市人口预测中的应用[J]. 广东工业大学学报,2010,(03):31-34. [5] 孙鹏. 两种人口预测方法在孝感市人口预测中的应用[J]. 时代农机, 2017(2):99-101. [6] 张金明, 李骞. 基于马尔萨斯模型的北京市人口预测[J]. 特区经济, 2013(7):63-65. [7] 金鑫, 高丽娟, 金辉,等. 基于马尔萨斯模型对甘肃省人口的预测[J]. 齐齐哈尔大学学报(自然科学版), 2012, 28(5):90-92. 九、附录  程序 1 指数增长模型： function zhishuzengzhang clear all; t=1790:10:2010;r=; N=[ ].*10^6; N(1)=*10^6;Nm=3*10^7;r=; N1=N(1)*((1+r).^(t-1790)); N1/10^6 plot(t,N,'k*',t,N1,'B-') legend('原始数据','指数模型') 程序 2 Logistic模型： function f=fun3(a,t) f=a(1)./(1+(a(1)/*exp(-(t-1790)*a(2))); x=1790:10:1990; y=[ 92 ]; plot(x,y,'*',x,y); a0=[,1]; a=curvefit('fun3',a0,x,y) xi=1790:10:2020; yi=fun3(a,xi); hold on plot(xi,yi); x1=2010; y1=fun3(a,x1) hold off 。