第四节有理函数的积分.ppt

第四节• 基本积分法 : 直接积分法 ;换元积分法 ;分部积分法• 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分(Integration of several kinds of Functions)本节内容: 第四四章  问题的提出问题的提出(Introduction)怎么计算？怎么计算？关键是被积函数的裂项关键是被积函数的裂项？？（（2 2））很显然不能用很显然不能用凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎么办？怎么办？（（3 3））去掉根号才能计算，怎样去掉去掉根号才能计算，怎样去掉根号根号？一、一、 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除相除多项式 + 真分式分解分解若干部分分式之和两个多项式的商表示的函数.例难点难点: :将有理函数化为部分分式之和.• 有理函数积分的一般步骤有理函数积分的一般步骤 ：：（（1）用多项式除法化有理假分式为一个多项式）用多项式除法化有理假分式为一个多项式与一个真分式之和与一个真分式之和 ；；（（2）在实数范围内将真分式的分母）在实数范围内将真分式的分母 Q (x) 分解成一次分解成一次因式和二次质因式的乘积；因式和二次质因式的乘积； 例如：例如：其中，其中，（（3）化有理真分式为部分分式之和）化有理真分式为部分分式之和 ；；（（i））分母分母 Q(x) 的分解式中若有因式的分解式中若有因式有理真分式化为部分分式之和的一般规律：有理真分式化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后的部分分式中仅含一项：分解后的部分分式中仅含一项：则分解后的部分分式中应含有下列则分解后的部分分式中应含有下列 k 项之和：项之和：（（3）化有理真分式为部分分式之和）化有理真分式为部分分式之和 ；；（（ii））分母分母 Q(x) 的分解式中若有质因式的分解式中若有质因式有理真分式化为部分分式之和的一般规律：有理真分式化为部分分式之和的一般规律：则分解后的部分分式中应含有下列则分解后的部分分式中应含有下列 k 项之和：项之和：特殊地：特殊地：都是待定常数。

都是待定常数分解后的部分分式中仅含一项：分解后的部分分式中仅含一项：举例：举例：例例1. .（（4）确定部分分式中的待定系数）确定部分分式中的待定系数 ；；方法一：方法一：将分解式两端消去分母，得到一个关于将分解式两端消去分母，得到一个关于 x 的恒等式，再比较恒等式两端的恒等式，再比较恒等式两端 x 同次幂项的系数得到同次幂项的系数得到一组线性方程，解此方程组即可一组线性方程，解此方程组即可代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2. .赋值法赋值法 方法二：方法二：将分解式两端消去分母后，得到一个关于将分解式两端消去分母后，得到一个关于 x 的恒等式，再以适当的的恒等式，再以适当的 x 值代入恒等式可得到一组线值代入恒等式可得到一组线性方程，解此方程组即可性方程，解此方程组即可原式 =例3 混合法取取 例4 用拼凑法解解: （5）将分解式两端逐项求不定积分例例5. 求有理函数积分的一般步骤：有理函数积分的一般步骤：（1）用多项式除法化有理假分式为一个多项式与一个真分式之和；（2）在实数范围内将真分式的分母Q (x)分解成一次因式和二次质因式的乘积； （3）化有理真分式为部分分式之和；（4）确定部分分式中的待定系数；（5）将分解式两端逐项求不定积分。

四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 结论结论有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .例例6：：求求解：解：令令例例7. 求 注意分母中的二次多注意分母中的二次多项式已不能分解项式已不能分解解解: 原式例例8. 求求解解:说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 例例9. 求求解解: 原式二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为万能置换公式万能置换公式例例10. 求求解解: 令则例例11. 求积分求积分解解1:解解2: : 修改万能置换公式修改万能置换公式, , 令令例例11. 求积分求积分解解3: :结论结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.例例11. .求积分求积分例例12. 求求解解: 说明说明: 通常求含的积分时,往往更方便 .的有理式用代换2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令例例13. 求解解: 令则原式例例14. 求解解: 令则原式原式例例15. 求积分求积分解解: 令说明说明: :无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.例例16. 求积分解解:先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数. .例例1 1为了实用的方便，把常用积分公式汇集成的为了实用的方便，把常用积分公式汇集成的 2 2 表，这样的表称为积分表表，这样的表称为积分表. . 2 积分表是按照被积函数的类型来排列的积分表是按照被积函数的类型来排列的. .3 3求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过4 4 简单变形后，查表得所需结果简单变形后，查表得所需结果. .内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则, 故分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：解：原式 =前式令; 后式配元 高数A。