数学竞赛《解析几何》专题训练(答案).doc

1《解析几何》专题训练一、选择题1、 （04 福建）在平面直角坐标系中,方程 为相异正数),所表示的曲1(,2xyaba线是A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形1,D 令 ,得 ,令 得 ,由此可见 ,曲线必过四个点: ,yxayxyb()a, , ,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知()a(b)它是非正方形的菱形.2、若椭圆 上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为21360xyA, B, C, D,(,5)(3,5)(3,15)(3,15)C 设 ,又椭圆的右准线为 ,而 ,且 ,0Pxy9x2FP12F得 ,又 ,得 ,代入椭圆方程得 .24F2093e005y3、设双曲线 的离心率 e ，则双曲线的两条渐近线夹角 的取值21xyab23,范围是 ( ) CA. B． C． D．,63,62,322,34、已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 5,，则满足条件的直线L 共有 条。

C ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解: 由 ,5分别以 A，B 为圆心， 2， 5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线正确答案为 C5、双曲线 的一个焦点为 F1，顶点为 A1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别12byax以线段 PF1、A 1A2 为直径的两圆一定（B ）（A）相交 （B）相切（C）相离 （D ）以上情况均有可能26、设方程 所表示的曲线是（ ）1)9cos()19sin(207207yx（A）双曲线 （B）焦点在 x 轴上的椭圆（C）焦点在 y 轴上的椭圆 （D）以上答案都不正确 07 广西解： ))(1360(9)1360()(1032207  Nn于是， ，同理  sin9sin19sin( 19coscos207因为 ，故应选（C）0co7、过椭圆 中心的弦 AB, 是右焦点,则 的最大面积为21xyab()(0)FcAFBA, B, C, D,c a2bA (1)当 轴时, ;Bx(2)AFBSbc(2)当 AB 与 轴不垂直时 ,设 AB 的方程为 ,由 消去 得ykx21yabx.2kaby设 , ,则 , ,1()Ax2()By12kab22kaby.12 22()AFBScckcbkaba 21cbcak8、已知 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的12,21(0,)xy任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率 的取值范围是 （ ）12PF8aeA， B， C， D，(,)(,](1,3](1,3]D ，当且仅当221 2)448aaPFaaPF24aPF即 时取等号。

这时 .由 ，得 ，2 1121F6c3即 ，得 .3cea(1,]e二、填空题9、若直线 xcos＋y sin＝cos 2－sin 2（0＜ ＜ ）与圆 x2＋y 2＝ 有公共点，则41的取值范围是 ． 65,3,610、过椭圆 上任意一点 P，作椭圆的右准线的垂线 PH（H 为垂足） ，123yx并延长 PH 到 Q，使得 HQ=PH（ ≥1） ．当点 P 在椭圆上运动时，点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ． 1,3设 P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为 x=3，所以 H 点的坐标为(3, y)又∵HQ=λPH，所以 ，所以由定比分点公式，可得： ，代入椭圆方程，得PQHyxx1)(Q 点轨迹为 ，所以离心率 e= 故123)]1([2yx )1,3[2132选 C11、抛物线顶点为 ，焦点为 ， 是抛物线上的动点，则 的最大值为 OFMMOF07 江西答案： ；解：设抛物线方程为 ，则顶点及焦点坐标为 ，232ypx0,,2p若设点 坐标为 ，则M,x22224OypxFpx，22231334xpxpx4故 ． （当 或 时取等号）23MOF,,2xyp,,2Mxyp12、过直线 ： 上的一点 作一个长轴最短的椭圆，l9P使其焦点为 ，则椭圆的方程为 123,0,F.07 广西答案： ；解：设直线 上的点为 ，取24536xyl,9Pt关于直线 的对称点 ，据椭圆定义，1,0Fl9,6Q，当且仅当 共线，即222215aPPF2,QPF，也即 时，上述不等式取等号，此时 ，22FQK3tt点 坐标为 ，据 得， ，椭圆的方程为5,4,ca224,36b.214536xy三、解答题13、已知抛物线 和点 。

过点 任作直线，交抛物线于218yx(,)4A1(,)48FB,C 两点１） 求△ＡＢＣ的重心轨迹方程，并表示成 形式；()yfx（２） 若数列 ， ，满足 试证： kx1021kkxf135nk（３） 07 浙江 A 卷解：（１）设过 的直线方程为 又设 ，(,)48F()84y1(,)Bxy，联立方程组，2(,)Cxy 21()84ykx消去 ，得 从而有，y2(1)04kxyxQOPF2F15， ………… 5 分12kx212121()4kykx设△ＡＢＣ的重心坐标为 ，则,)1212438xy23168kxy消去ｋ，即得　 …………10 分23x（２）因为 ， ，所以1021()f2163x1(2)x，21 338x上式右边等号成立当且仅当 假设 ，则140kx， …………15 分212(1)3303()8kkkkxx上式右边等号成立当且仅当 由此得到 （ ） 从而有4k0kx,。

…………20 分133018585knnnkx14、椭圆 的右焦点为 ， 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的294yF124,P点，其中 是椭圆的右顶点，并且 ．若这 241P1234241PFP个点到右准线的距离的倒数和为 ，求 的值．S06 江苏14．解：椭圆中， ， ，故 ．所以 ， ．3a2b5c5,0F3e设 与 轴正向的夹角为 ， 为点 到右准线的距离．则iFPxiidiP．即 ．2cos1iiadec21cos1iieb6A BOPQxyF1F2图 3同理 ．12221coscos1i iiedbb所以 ．215ii从而 ，于是 ．2416id2180S15、如图 3，A、B 为椭圆2()xyab和双曲线 的公共顶点.P、Q 分别21xyab为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点，且满足 .()APB(,1)R设直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别是 ，2,k.34,k(I)求证： ；12340k（II）设 分别为椭圆和双曲线的右焦点；若 ，求 的值.,F21/PFQ2234kk15.（1）设 、 ，则 .1(,)Pxy2(,)Q2112axyb所以 。

①11111222yka同理可得 ②234xby设 O 为原点，则 ， APBO2AQBO而 ，得 ，于是 O、P、Q 三点共线)所以 由①、②得 12xy12340kk（2）由点 Q 在椭圆上，有 12xyab7由 ，得 OPQ12(,)(,)xy所以 ， ，从而 ③21x2121xyab又由点 P 在双曲线上，有 ④21由③、④得 ， 21xa21yb因为 ，所以 ，得 21/PFQ21OF2a2241()xayb由①得 442112()xbkayb同理可得 234另一方面， 21112yykxaxa类似地， 342b故 2 221341341234()()()208kkkk（备选题）如图，给定椭圆 和圆 ，CD 为圆的任一条直径，21xyab22(0)xyabCD 交椭圆于 P 点，在 CD 的一侧，以 P 为圆心， 为半径画弧交圆于点 A；在 CD1F的另一侧，以 P 为圆心， 为半径画弧交圆于点 B，求证： A、P、B 三点共线.2F8PF2F1DCBAOyx连结 AP 交圆于点 ，在圆中，由相交弦定理，在 中，由中线长公式，得'B12PF2' ()()PACPDOCO= =222211(abFF2 2121[()]abPFc= 。

212[4]cP又 ，有 1PA'B但以点 P 为圆心，PB 为半径的圆与已知圆在 CD 一侧的交点是唯一的（两圆的两个交点位于连心线的两侧） ，故 与 B 重合'因此，A、P 、B 三点共线。