基于数学原型的发生学习.ppt

基于原型的发生学习任敏龙任敏龙杭州市上城区教育学院杭州市上城区教育学院•数学原型的含义与教育价值•数学原型的获得与教学实施基于原型的发生学习1 数学原型的含义•数学原型的概念•数学原型的特征•数学原型的分类1.1 数学原型的概念什么叫“原型”？•文学中的文学中的““原型原型””–例：《林海雪原》杨子荣、少剑波–鲁迅：作家取人为模特，有两法一是专用一个人，……；二是杂取种种人，合成一个–文学形象——基于原型，高于原型——成为一个时代一类人的代表什么叫“原型”？•心理学中的心理学中的““原型原型””–“原型”是概念的概括化表象，是它所属的那一类事物的最好代表• 数学数学的知识、原理、方法和理论体系是否也存在一个““原型原型””？–数学的发生发展也受到原型的启发，基于原型、高于原型《三角形的认识》——高•看书自学•指导画高•质疑问难[生（指AC边上高）：“这其实不是高，为什么它也是高呢？”ABCDE他在说什么？•日常生活中所谓的高矮，是指同一水平面上两个物体在竖直方向上的最大跨度•水平为底、竖直为高英女王的卫兵[高的生活原型哪个比较高？ABCEFG•从哪儿到哪儿？•底•高•底•高•如果以AB为底，哪个比较高？•顶点•顶点ABCEFG•想一想，高度与什么有关？•比一比，谁的三角形比较高？说说它们的底和高。

•底•高•高•底不转动你能找出EG边上的高吗？关键一步！ABCEFG•底•高摆脱原型束缚，实现从原型到模型的飞跃，进入数学的自由王国！ 把数学的概念、原理、方法和理论体系都看作数学模型 把模型所源于其中，并对模型的发生发展起结构性支持作用的原始事实材料及相关活动经验叫做这个模型的原型什么叫模型？原型？1.2 数学原型的特征数学原型的特征•典型性–问题的典型性–经验的典型性–结构的典型性•长效性数学原型的特征——典型性•问题的典型性：相对于数学模型而言，原型是典型的数学问题，问题的解决将直接导致模型的建立 l典型问题：哪个三角形比较高？数学原型的特征——典型性•经验的典型性：原型是有丰富的相关活动经验作支撑的数学事实或现实材料，便于学生能自然地从头脑中产生数学问题，顺利完成从原型到模型的认识过程，沟通经验世界与数学世界的联系l典型经验：水平为底、竖直为高数学原型的特征——典型性•结构的典型性：是指原型为模型的建立提供了结构性支持，这种结构性支持来自于构成原型、模型中的各要素之间存在的一一对应关系数学原型数学模型竖直方向最高点顶点桌面（对边）底边顶点到水平桌面的竖直跨度从三角形顶点到对边的垂直线段结构的典型性：一一对应数学原型的特征——长效性•所谓的长效性，是指原型提供了对数学模型的反复认识、深化理解的机会，并使之具有潜在的可迁移性。

•认识各种三角形的高，掌握其画法哪个比较高？•高多少？• 直角三角形有多高？怎么画？•钝角三角形有多高？怎么画？数学原型的特征——长效性•有效促进邻近和相关知识学习•即使从最坏的情况看——学生忘记了高的意义和画法，只要还有原型存留脑中，还有从原型到模型——这种对数学发生发展规律的认识和学习方法存留脑中，就有可能借助原型重新发现这些遗忘的知识1.3 数学原型的分类数学原型的分类结构图概念的概念的原理的原理的方法的方法的理论体理论体系的系的生活的数学的拟真的教例：直线、射线与角•先直线后线段：直线找不到原型，纯粹的想象线段是直线上两点间一段•先线段后直线：线段有原型，可抽象借想象认识直线拟真原型：金箍棒这是他的哪两大宝贝？•直的线•曲的线线段..端点端点长，长，长，长，长，……永远不停地长下去....直线线段射线...拟真的数学原型•原型必须是客观世界的真实存在吗？•原型必须是真实的，真实的关键不在于客观世界，而在于学生的经验世界•想一想：哪些是学生拟真世界中的事物？是否可能成为数学原型？ 画出点经过的路线，说说画出的是不是直线、射线或线段？. .... . . 画出点经过的路线，说说画出的是否直线、射线或线段？. . .. 画出点经过的路线，说说画出的是否直线、射线或线段？. ... 画出点经过的路线，说说画出的是否直线、射线或线段？. . 画出点经过的路线，说说画出的是否直线、射线或线段？. . 画出点经过的路线，说说画出的是否直线、射线或线段？..... 用铅笔尖点两个点，想一想，经过这两个点可以画几条直线？画一画。

想一想：人类如何创造小数？•小数是十进分数的特殊形式•想一想：自然数和分数，谁更像小数的母亲？（原型）•小数的数位创造以自然数为原型用了完全相同的原理：向左数位满十进一（向右数位分一作十）自然数的局限在于向左数位可以无限发生，向右不行•十进分数关键在十进而不是分数想一想：如何创设教学情境？•量一根金丝的长度，量得15米还多一些，需要精确数据，怎么办？•十等分1米（1分米）再量•还有多，怎么办？•……•数据的表示包含大量的长度单位，会非常麻烦，能不能统一用米来表示？小数认识的情境创设与教学•这就需要在原来个、十、百、……计数单位的基础上创造比“个”更小的新单位，如何创造呢？•观察整数的计数单位：向左变大，向右变小，所以新创造的单位要放在个位的右侧，因为比“个”小•继续观察：向左满十进一，向右分一作十，用分一作十来创造新单位小数认识的情境创设与教学•分一次，就是把1十等分，计数单位是1/10，新数位叫十分位•分两次，就是把新单位再十等分，就是把1百等分，计数单位1/100，新数位叫百分位•……•反过来1/10，“1”分一次是一位小数；1/100，“1”分两次是两位小数；……小数认识的情境创设与教学•我们把原有的那些数位叫做一个数的整数部分，新的数位叫做小数部分，既有整数部分又有小数部分的数叫做小数，中间用小数点隔开。

•整数部分的数位按满十进一可以产生无数个，能表示无限大的数；小数部分的数位按分一作十也可以产生无数个，多小的都能表示出来原创智慧：运算的拓展•自然数意义→自然数四则运算→自然数四则混合运算•想一想小数引入以后我们做了什么？•分数引入后呢？我们以谁为原型？•负数引入后我们又将做些什么呢？以谁为原型？•字母（代数式）引入后呢？数学到底学什么？•学数学的根本要义在于学习数学原创活动中的人类智慧——人类如何思考、如何实践以解决数学问题•智慧在哪里？智慧在发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的活动过程中，在活动积淀的经验里•在此基础上，顺便学点知识技能关于数学怎么学？•关键问题并不完全在于发现还是接受，而在于是否清晰的呈现了知识的原创过程，让学生感悟到蕴含其中的人类智慧2 数学原型的获得•数学原型的追索•数学原型的选择•数学原型的加工2.1 数学原型的追索 既然基于原型的教学是数学原创过程在教学中的体现，这就需要我们对数学的发生发展进行某种历史的追索，分析其动力特征，从而发现原型，重建从原型到模型的原创过程，为课堂的情境创设与教学实施提供有力的支持教例：角的初步认识 •教学目标：–知道角有一个顶点、两条直的边；–知道角的大小与两边张开度有关；–能辨认直角、锐角和钝角。

 数学中的角是为研究或解决什么问题引入的？• 由果索因：分析角的概念会不会对我们有启发？追索策略：动力分析让我们一起想一想•什么叫做角？•一点引出两条射线所形成的图形叫做角•生活中，你经常见到两边是射线的角吗？•数学为什么要借射线来定义角？让我们一起想一想•射线不必比长短•那么，人类引入角为研究什么呢？•研究两边的张开度让我们再一起想一想•我们如何画角？•为什么要画短弧？•定义里为什么没有要求“画短弧”？1•我们让学生摆弄活动角，问“角的大小有什么变化？”得到“角的大小与两边的张开度有关•如果学生问：什么叫做“角的大小”？我们如何回答？•就是指角两边的张开程度•这个过程有没有循环的嫌疑？回忆我们的教学动力分析的结果 可以以对两个角的张开度作比较的问题情境为原型• 数学中引入角的概念是为了研究角的大小——刻画两边张开的程度可能与教材先有角的概念，再研究角的大小的顺序恰恰相反——先有研究“角的大小”的问题，再有角的概念谁的嘴巴张得开？•能画两条线表示吗？•做个手势表示它们嘴巴张开的大小•角研究两边的张开度，与长短无关哪里比较尖？边边顶点下面的图形中，哪些是角？哪些不是？①②③④⑤⑥⑨⑦⑧角有一个顶点和两条直的边。

哪个下滑速度快？快慢（1）（2）哪个下滑速度快？快慢（1）（2）哪个转的幅度大？哪个转的幅度大？转动能得到这样的角吗？转动能得到这样的角吗？哪盏灯扫过的范围比较大？BA画你能画出刚才的两个角吗？摆一样大的角比它大的角比它小的角火眼金睛摆一样大的角比它大的角比它小的角火眼金睛摆一样大的角比它大的角比它小的角火眼金睛火眼金睛锐角钝角斧子想一想：如何追索原型？•动力分析：问题是数学的心脏，在解决什么问题中产生？•多样理解：数学知识是抽象概括的结果，同样的知识可以有多样的理解视角，数学的原型具有多样性•收集分类：收集具体问题并分类2.2 数学原型的选择教例：乘法分配律•进行简便计算•12×4，乘法运算的算理•3x-5y+6x，合并同类项• ;a=8i+7,b=-3i+4,求a+b;……l是数与代数运算的基石之一第一类：运算原型•如：• 计算并说说你的发现•（63＋37）×92 63×92＋37×92 • ……• 原型解释： 63个92+37个92=（63＋37）个92第二类：生活原型•如：• 用两种方法解答下列问题。

•（1）球衣每件25元，球裤每条15元，买5套需要多少元？•（2）在3元店里买了5个喇叭和8条彩带，一共用去多少元？• ……第二类：生活原型•原型解释：•（1）生活：5套球衣裤的价格＝5件球衣的价格＋5条球裤的价格；• 运算：5个（25+15）=5个25+5个15•（2）生活：5个喇叭的价格+8条彩带的价格=13件3元货的价格；• 运算：5个3+8个3=13个3• ……第三类：几何原型abc（a＋b）×c ＝a×c＋b×cabc（a－b）×c ＝a×c－b×c 在正整数范围内，这些原型都能很好地解释乘法分配律何以成立，当数系扩展到正有理数时，前两种原型就难以给出较自然的解释（很难找到两个分数相乘的生活实例，等等），而第三种原型却能持续给出自然的解释（直至实数和代数式），这就是说，这种原型的长效性更好，应该在教学中置于某种优先考虑的地位基于几何原型的教学•教学中面积图、点子图、生活实例、乘加（减）意义、等式特征并举，让学生形成个人化的表征方式•通过不同表征方式的相互转换形成解释结构，适当突出面积图的作用，在后续学习和应用中进一步强化全国机器人大赛在国际会展中心举行会展中心为迎接比赛扩建了场地大赛举行了别开生面的机器人入场式 会展中心扩建了比赛场地。

入场式上的两个机器人方阵90米60米20米864用两种方法解答： 1.扩建后的比赛场地面积有多大？ 2.两个方阵一共有多少个机器人？90米60米20米864(60(60＋＋20)20)××9090＝＝6060××9090＋＋2020××9090(6(6＋＋4)4)××8 8＝＝6 6××8 8＋＋4 4××8 8 结合面积图和点子图，说说下面两个等式的“＝”两边为什么相等？两个长方形有什么共同点？等式两边呢？说说等号两边的算式有什么关系？（60＋20）×90＝60×90＋20×90（6＋4）×8＝6×8＋4×8活动要求•写出三个这样的等式•计算等号两边算式的值，看看结果是否相等•选一个等式，用画面积图或点子图等方法解释它的意思•小组交流，说说你的发现用两种方法解答，说明乘法分配律15×5＋20×5＝（15＋20）×5数量20155单价5×3＋8×3＝（5＋8）×3单价385数量对“原型”教学的启示•发现：从数学、生活、拟真世界中发掘的原型，具有多样性和层次性•选择：根据数学发展的趋势和学生实际，考虑原型的典型性与长效性•教学：注意理解视角的丰富性，促进知识的多元表征及其相互转化。

2.3 数学原型的加工原型的加工•数学的原型有时候直接用于教学效果不佳，需要进行教学法的加工以满足不同学生的学习特点和需求3004×43004×4的口语报告的口语报告•基础：会计算如3334×4学力倾向分类3004×4的口语报告工具型学力：把握事物的具体面貌 从左往右依次计算，把积写入相应数位（根据以前计算的经验）推理型学力：把握本质及关系 4个一×4=16个一，个位写6，向十位进一，……（根据位值推理计算）洞察型学力：整体把握事物、富于创见 积应是一个五位数，被乘数首位×4=12，末位×4=16，在12与16间写0得12016原型加工：以小数÷小数为例•明确教学任务：小数÷小数•任务具体化：1.5÷0.3•列出模型的元素： 1.5 =15个0.1 0.3=3个0.1 15÷3=5 商不变性质•任务真实化（收集备择原型） （1）有1.5千克糖，0.3千克一包，可装多少包？ （2）1.5米长绳子，0.3米一段，可截成几段？ （3）一个本子0.3元，1.5元可买几个本子？ ……•建立对应，选择原型： （2）、（3）有对应（分米、角）•加工“原型” ： （2）倾向差异：为学习材料配图。

（3）水平差异：改：一个本子0.3元，1元5角可买几个本子？01米基于原型的发生学习 强调通过运用与数学发生发展历史进程中充当原型的例子相类似的现代例子，使学生有机会理解引入一个新概念、原理、方法或理论体系背后的动机，从而将数学自身发生发展的动力转化为学生面对问题的学习动力，通过让学生经历数学知识的创生过程，帮助他们理解知识的来龙去脉，从而以更深刻的方式抓住它们的本质简要的回顾•数学原型的含义与教育价值•数学原型的获得与教学实施基于原型的发生学习 数学原型的含义•模型：把数学的概念、原理、方法和理论体系都看作数学模型•原型：把对数学模型的发生和发展起结构性支撑的原始生活经验和数学活动经验叫做这个模型的原型 数学原型的特征•典型性：–问题典型：典型数学问题；–经验典型：丰富活动经验；–结构典型：元素一一对应•长效性：反复认识、深化理解，可迁移原型教学的关键事件•发现原型•选择原型•加工原型原型教学的关键事件•发现原型：追问“从哪里来？到哪里去？”•选择原型：典型性和长效性•加工原型：适应不同学生的学习特点和需求。

我的数学教育哲学•核心：社会文化史观•教学是人类文明的智慧复演过程是一个被截弯取直的过程•我的主流观念并尊重、借鉴其他的教育哲学观念谢谢：谢谢： 您的支持和无私您的支持和无私批评是我进步的动力批评是我进步的动力和源泉。