中考数学教学指导：三种函数的综合问题例析.doc

三种函数的综合问题例析初中数学中涉及的函数主要有三种，即：一次函数，反比例函数以及二次函数，它们都 是初中数学的重要内容，也是中考命题的主要热点，由这三种函数构成的一些综合问题，在 近年的中考中频频出现.下面以历年中考试题为例，进行分类解析.一、一次函数与反比例函数的综合(A)l 分析图1如图1,直线y=x+2与双曲线y=-相交于点A, x（B）2 （C）3 （D）4函数关系式，即可求出k的值.解选C.利用函数图像先求出点A的坐标，再代入反比例二、一次函数与二次函数的综合题例2某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价双元）满足一次函数，其图象如图2所示.（1）每天的销售数量m（件）与每件的销售价格兀（元）的函数表达式是 图2（2） 求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售 价格兀（元）之间的函数表达式；（3） 每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销 售价格的提髙而增加？分析根据图像信息，可以知道每天的销售数量m（件）与每件的 销售价格兀（元）的函数图像是一条线段；由商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）Z间的关系可求得与x的二次函数关系式；再根据二次函数的增减性來确定每件商品的销售价格范围.解 （l）m=-x+l 00（00 W100）；⑵每件商品的利润为x—50,所以每天的利润为:y=(%-50)(-x+100).・••函数解析式为：,y=-x2+150x-5000；1502x(—1)=75.故在50

2010 - y = 2009. 5.六、两个二次函数的综合题例6如图5,把抛物线y=~A虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单 位长度，得到抛物线厶，抛物线人与抛物线厶关于y轴对称•点A、0、B分别是抛物线小 ‘2与兀轴的交点，D、C分别是抛物线厶、人的顶点，线段CD交y轴于点E.（1）分别写出抛物线厶与12的解析式；(2) 设P是抛物线厶上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点, 试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由；c E D图5(3) 在抛物线h上是否存在点M,使得Saabm=S网边形aoed，如果存在，求出M点的坐标, 如果不存在，请说明理由.分析此题涉及二次函数图象的平移、轴对称的性质、等 腰梯形及矩形的判是、图形面积的求法等知识的综合应用能力. (1)根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律即可 得到厶的解析式；由于厶、仏关于丿轴对称，那它们的顶点坐标 关于y轴对称，而开口大小、开口方向、与y轴的交点都相同，据此可求出％的解析式；(2) 根据轴对称的性质，很明显的可以看出四边形PQCD是等腰梯形；若P为厶的对称 轴与抛物线/2的交点时，PQ=CD,此时四边形PQCD是矩形；(3) 根据抛物线的解析式，可求出A、D、E的坐标，进而可求得梯形AOED的面积, 即可得到AABM的面积，由于AB是定长，那么根据AABM的面积即可求出M点纵坐标 的绝对值，将其代入抛物线厶的解析式中，即可求得M点的坐标.解(1)/|： y=—(%—1)2+1(或『=一/+2兀)：/2： $=-(卄1)2+1(或 y=—/—2x);(2) ：・点C与点D,点P与点Q关于y轴对称，・・・CD 〃PQ 〃兀轴，① 当P点是b的对称轴与h的交点时，点P、Q的坐标分别为(一1，一3)和(1, -3), 而点C、D的坐标分别为(-1, 1)和(1, 1),所以CD=PQ, CP丄CD,四边形CPQD是矩形;② 当P点不是人的对称轴与厶的交点时，根据轴对称性质，有：CP=DQ(或 CQ=DP),但 CDHPQ.・・・四边形CPQD(或四边形CQPD)是等腰梯形：(3) 设满足条件的M点坐标为(兀，y)f连接MA, MB, AD,依题意得：A(2, 0), B(-2, 0), E(0, 1),_(l + 2)xl_3、四边形 AOED = — •2 2①当y>0时，1 3SaaBM= — x4xy=—3 3 丨将r代M的解析式’解得"飞2飞・3 3 1 3•••Mi (-, -), M2 -),2 4 「24②当严0时，1 3SaaBM= — x4x (―y)=—将y=—丄代入人的解析式，解得兀=1±』7.4* 2・“，2 + " _3、“ 胛-"_3、• • M | ( 9 — ) 9 M2 ( ， — ) •2 4 〜 2 4七、一次函数、反比例函数与二次函数的综合题2例7如图6,己知：一次函数〉，=一兀+4的图像与反比例函数y =土(工＞0)的图像分别交x于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过点M分别向兀轴、y轴作垂线，垂足分別为Mi、M2，设矩形MMQM2的面积为S|：点N为反比例函数图像 上任意一点，过点N分别向兀轴、y轴作垂线，垂足分别为N2,设矩形NNQN2的面 积为S2・⑴若设点M的坐标为(兀，y),请写出S］关于兀的函数表达式，并求x取何值时，Si取从而比较其大小.得的最大值；(2)观察图形，通过确定尤的取值，试比较、、S2的大小.分析此题涉及一次函数、反比例函数和二次函数的性质及综合 应用，学会通过图象比较面枳的大小.⑴已知M点坐标，根据M点在一次函数y=~x+4的图象上， 代入把M点纵坐标用x表示出来，从而表示出矩形MM,OM2的面积 为Si；(2)观察图形.Si、S2,观察反比例函数在一次函数上方还是下方,解(1)VM的坐标为(兀，y), M点在一次函数y=—x+4的图象上，.•・)=—兀+4.=-x2 + 4x =-(x -2)2 +4,•••当x=2时，S最大值=4；2(2)设N(兀1，刃)，点N在反比例函数y=—图象上,xS2 = xl • = 2,由 Si = S2 可得- x + 4x = 2, 即 x - 4x + 2 = 0,/. x = 2 ± 匹.通过观察图象可得：当尤=2 ±^2 时，5 = S2；当 0 < x <2-^2 或兀 > 2 + 时,S| < S2 ；当 2 < x <2 +72 时，> S?.。