初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系.doc

初中数学培优专题之—：一元二次方程与二次函数的关系（作者：顾厚春，江苏省兴化市板桥初级中学，邮编：225700，：646002269，：13961060966）方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接 透彻理解数学概念，提升你的数学内涵 ！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：基础知识要牢记1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为：AB==（公式①）.（3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲 参与数学解题过程，品味数学内在魅力 ！例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0 分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系． 例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．答案：B．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为 .分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x2＋3x＋y－3＝0得，x＋y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，所以当x＝－1时，x＋y最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x＋y）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x的二次方程，也是关于y的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x的一元二次方程的参数的取值范围问题来解决，有异曲同工之效． 例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 .分析：由于已知了抛物线与x轴的一交点为A（3，0），且与对称轴x＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x＜3时，抛物线在x轴下方，所以不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是－1＜x＜3答案:－1＜x＜3.技巧提升：不等式ax2＋bx＋c＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y＝ax2+bx+c的图象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x的取值范围，因此不等式ax2＋bx＋c＞ 0 （或＜ 0 ）的解集与抛物线与x轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x轴的交点坐标．例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得，．∴，， ∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴．由（1）得．∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线，所以，所以，故抛物线与x轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6 （2010年杭州市中考题）定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ③ 当m<0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；④ 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④分析：把m＝－3代入[2m，1–m , –1–m]，得a＝－6，b＝4，c＝2，函数解析式为y＝－6x2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m、b=1-m、c=-1-m时，△=b2－4ac＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x轴所得的线段长度为=，当m＞0时，=＞，故②正确；∵m＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y随x的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y随x的增大而减小.在∵<,所以当x >时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx2+(1-m)x-1-m时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．答案：B. 技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视. 例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a的取值范围是 ．数形结合是重要数学思想分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图10-4，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－ C．－2＜x＜ D．x＜－2或x＞分析：当y1＜y2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x的取值范围应该是－2＜x＜．答案：C．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B、D，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y轴）可排除答案A．例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 ．分析：要注意抛物线与线段AB恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线 与x轴只有一个交点，这个交点恰好段AB上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线 与x轴有两个交点，其中只有一个段AB上．设抛物线与x轴的两个交点为C（）、D（），则．若只有点D段AB上，则，，显然，不合题意；若只有点C段AB上，则，．当点D与点A、B都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x轴上方，横坐标为2的点在x轴下方，所以，解得．当当点D与点A重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D与点B都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者．技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．分析：函数图象与x轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有 ①（1）若，则方程为，它有两个整数根和． （2）若，则.因为为整数，如果中至少有一。