考研数学之高等数学讲义第二章(考点知识点+概念定理总结).pdf

24 第二章一元函数微分学§ 2.1 导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数)( xfy在点0x的某领域内有定义，自变量x 在0x处有增量x，相应地函数增量)()(00xfxxfy如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称此极限值为函数)(xf在0x处的导数（也称微商），记作0()fx，或0xxy，0xxdxdy， 0)(xxdxxdf等，并称函数)(xfy在点0x处可导如果上面的极限不存在，则称函数)( xfy在点0x处不可导导数定义的另一 等价形式，令xxx0，0xxx，则00 00()()()lim xxfxfxfx xx我们也引进单侧导数概念右导数：0000 00 0()()()()()limlim xxxfxfxfxxfxfx xxx左导数：0000 00 0()()()()()limlim xxxfxfxfxxfxfx xxx则有)(xf在点0x处可导)( xf在点0x处左、右导数皆存在且相等2．导数的几何意义与物理意义如果函数)( xfy在点0x处导数0()fx存在，则在几何上0()fx表示曲线)( xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()yfxfxxx25 法线方程：00001 ()()(()0) ()yfxxxfx fx设物体作直线运动时路程S与时间 t的函数关系为)(tfS， 如果0()ft存在，则0()ft表示物体在时刻0t时的瞬时速度3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(xfy在点0x处可导，则)( xf在点0x处一定连续，反之不然，即函数)(xfy在点0x处连续， 却不一定在点0x处可导 例如，||)(xxfy，在00x处连续，却不可导4．微分的定义设函数)( xfy在点0x处有增量x时， 如果函数的增量)()(00xfxxfy有下面的表达式0()()yA xxox（0x）其中)(0xA为x为无关，()ox 是0x时比x高阶的无穷小， 则称)( xf在0x处可微，并把y中的主要线性部分xxA)(0称为)( xf在0x处的微分，记以 0xxdy或 0)(xxxdf我们定义自变量的微分dx就是x5．微分的几何意义)()(00xfxxfy是曲线)(xfy在点0x处相应于自变量增量x的纵坐标)(0xf的增量，微分 0xxdy是曲线)(xfy在点))(,(000xfxM处切线的纵坐标相应的增量（见图） 。

6．可微与可导的关系)(xf在0x处可微)(xf在0x处可导且 000()()xxdyA xxfxdx一般地，)( xfy则()dyfx dx26 所以导数()dyfx dx也称为微商，就是微分之商的含义7．高阶导数的概念如果函数)( xfy的导数()yfx在点0x处仍是可导的， 则把()yfx在点0x处的导数称为)( xfy在点0x处的二阶导数，记以 0xxy，或0()fx，或022xx dxyd等，也称)(xf在点0x处二阶可导如果)( xfy的1n阶导数的导数存在，称为)(xfy的 n 阶导数，记以)( ny，)()(xyn，nndxyd等，这时也称)( xfy是 n 阶可导二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式§ 2.2 微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）[注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理] 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。

甲）内容要点一、罗尔定理设函数)( xf满足（1）在闭区间 [ba,]上连续；27 （2）在开区间（ba ,）内可导；（3）)()(bfaf则存在),(ba，使得()0f几何意义：条件（1）说明曲线)( xfy在))(,(afaA和))(,(bfbB之间是连续曲线；[包括点 A 和点 B]条件（ 2）说明曲线)( xfy在BA,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x 轴的切线 [不包括点A和点B]条件（ 3）说明曲线)( xfy在端点A和B处纵坐标相等结论说明曲线)(xfy在点A和点B之间 [不包括点A和点B]至少有一点， 它的切线平行于 x 轴二、拉格朗日中值定理设函数)( xf满足（1）在闭区间 [ba,]上连续；（2）在开区间（ba ,）内可导则存在),(ba，使得()()()fbfaf ba或写成()()()()()fbfafbaab有时也写成000()()()(01)fxxfxfxxx这里0x相当 a 或b都可以，x可正可负几何意义： 条件（1） 说明曲线)(xfy在点))(,(afaA和点))(,(bfbB之间 [包括点A和点B]是连续曲线：条件（ 2）说明曲线)( xfy[不包括点A和点B]是光滑曲线。

28 结论说明：曲线)(xfy在A，B之间 [不包括点A和点B]，至少有点，它的切线与割线AB是平行的推论 1 若()fx在(,)a b内可导，且()0fx，则()fx在(,)a b内为常数推 论2 若)( xf和)( xg在 （ba ,） 内 可 导 ， 且'()()fxgx， 则 在],[ba内Cxgxf)()(，其中C为一个常数注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当)()(bfaf特殊情形，就是罗尔定理）三、柯西中值定理设函数)( xf和)( xg满足：（ 1）在闭区间 [ a ，b]上皆连续；（ 2）在开区间（a ，b）内皆可导；且()0gx，则存在),(ba使得( )()()() ( )()()f bfafab g bg ag（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形xxg)(时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线的参数方程],[ )()( bat tfytgx点))(),((afagA，点))(),((bfbgB曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线____ AB . 值得注意： 在数学理论上，拉格朗日 中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。

罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广， 但用得不太多在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次 是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理 1（带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设)(xf在0x处有 n 阶导数，则有公式)()( !)( )( !2)( )( !1)( )()(00)(200' '00'0xRxx nxf xxxf xxxf xfxfnnn（0xx）29 其中00()[() ]()nnRxoxxxx称为皮亚诺余项0 )()( lim00nnxxxxxR）前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ，所以对常用的初等函数如)1ln(,cos,sin,xxxex和ax )1(（为实常数） 等的 n 阶泰勒公式都要熟记定理 2 （带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式）设()fx在包含0x的区间(,)a b内有1n阶导数，在[,]a b上有 n 阶连续导数，则对],[bax，有公式)()( !)()( !2)()( !1)()()(00)( 200' '00'0xRxx nxfxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()( )!1()()(nnnxx nfxR， （在0x与 x 之间）称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以0x为中心的 n 阶泰勒公式00x时，也称为麦克劳林公式如果0)(limxRn n，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论§ 2.3 导数的应用（甲）内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值1、定义设函数baxf,在内有定义，0x是ba,内的某一点，则如果点0x存在一个邻域， 使得对此邻域内的任一点0xxx， 总有0xfxf，则称0xf为函数xf的一个极大值，称0x为函数xf的一个极大值点；如果点0x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点0xxx，总有0xfxf，则称0xf为函数xf的一个极小值，称0x为函数xf的一个极小值点函数的极大值与极小值统称极值极大值点与极小值点统称极值点2、必要条件（可导情形）设函数xf在0x处可导，且0x为xf的一个极值点，则00fx30 我们称满足00fx的0x为xf的驻点， 可导函数的极值点一定是驻点，反之不然极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断3、第一充分条件设xf在0x处连续，在0<0xx内可导，0fx不存在，或0fx＝ 0 01如果在00, xx内的任一点x 处，有0fx，而在00, xx内的任一点x处，有0fx，则0xf为极大值，0x为极大值点；02如果在00, xx内的任一点x 处，有0fx，而在00, xx内的任一点x处，有0fx，则0xf为极小值，0x为极小值点；03如果在00, xx内与00, xx内的任一点x 处，fx的符号相同，那么0xf不是极值，0x不是极值点4、第二充分条件设函数xf在0x处有二阶导数，且00xf，00fx，则当00fx，0xf为极大值，0x为极大值点当00fx，0xf为极小值，0x为极小值点三、函数的最大值和最小值1．求函数)( xf在],[ba上的最大值和最小值的方法。

首先，求出)( xf在),(ba内所有驻点，和不可导点kxx...,,1其次计算)(),(),(...,),(1bfafxfxfk最后，比较)(),(),(...,),(1bfafxfxfk，其中最大者就是)( xf在],[ba上的最大值M；其中最小者就是)(xf在],[ba上的最小值m 2．最大（小）值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值四、凹凸性与拐点1．凹凸的定义31 设)(xf在 区 间 Ⅰ 上 连 续 ， 若 对 任 意 不 同 的 两 点21, xx， 恒 有)]()([ 21) 2(2121xfxfxxf（)]()([ 21) 2(2121xfxfxxf） ，则称)( xf在Ⅰ上是凸（凹）的2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率。