高等数学应用题(上).doc

高等数学应用题（上）1、 一个星级旅馆有 150 个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：若每间客房定价为 160 元，住房率为 55%；每间客房定价为 140 元，住房率为 65%；每间客房定价为 120 元，住房率为 75%；每间客房定价为100 元，住房率为 85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？问题分析易于看出，定价每降低 20 元，住房率便增加 10%，呈线性增长趋势；1. 160 元的定价是否为最高价应给予确定；2. 是否所有客房定价相同需要确定.模型假设3. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为 160 元；4. 所有客房定价相同.模型建立根据假设 1.，如果设 代表旅馆一天的总收入，而 表示与 160 元相比降低的房价，yx则可得每降低 1 钱元的房价，住房率增加为 10%/20=0.005.由此便可以得到（1）)05..)(1605x注意到 又得到 于是得到所求的数学模型为：,0.5.x,9，ma)..)(1xy .模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到 为唯一驻点，]90,[25x问题又确实存在最大值，故 （元）即为价格降低幅度，也即 160-25=135（元）应为25x最大收入所对应的房价.模型分析1. 将房价定在 135 元时，相应的住房率为 最大收入为%,5.6720.5.（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达751368%5.7130maxy到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成.2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验知我们的结果是正确的.3. 为了便于管理，将价格定在 140 元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收入仅差 18.75 元.4. 假如定价是 180 元，住房率应为 45%，其相应的收入只有 12150 元，由此可知，我们的假设 1.是正确的.2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张正方形椅子放稳。

答：(一) 假设：地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形如图建立坐标系：其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚,以正方形 ABCD 的中心为坐标系原点记 H 为脚 A,C 与地面距离之和，G 为脚 B,D 与地面距离之和， 　　θ 为 AC 连线与 X 轴的夹角，不妨设 H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?) 　 令 　　 f(θ) = H(θ) - G(θ) 　　 则 f 是 θ 的连续函数,且 f(0)=H(0)>0 将方凳旋转 90°,则由对称性知 H(π/2)=0, G(π/2)=H(0) 从而 f(π/2)= -H(0) 0） ，已知汽锤击打桩三次后，可将桩打进地下 a 米根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r ( 0

（1）求汽锤第一次击打将桩打进地下的深度；（2）若击打次数不限，问汽锤至多能将桩打进地下多深?设打桩 i 次后可将桩打进地下 米，则 由题可知， （3 分）ix03,xa（5 分）1200()axkhdrkhd故 类似地， （10 分）12xr（15 分）1120 0()nx xnkhdrrkhd可得，（18 分）1nnxxr所以， （20 分）3*lim1naxr全微分9、将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离解 设砖块是均质的，长度与重量均为 1，其重心在中点 1/2 砖长处，现用归纳法推导现设已用 n+1 块砖叠成可能达到的最远平衡状态，并考察自上而下的第 n 块砖，压在其上的 n-1 块砖的重心显然在它的右边缘处，而上面 n 块砖的重心则位于第 n+1 块砖的右边缘处，设两者水平距离为 Zn由力学知识可知第 n 块砖受到的两个力的力矩相等，即有：1/2-Zn=(n－1)Zn故 Zn =1/2n，从而上面 n 块砖向右推出的总距离为 ，令 n 趋于无穷112nnkkS大，因调和级数是发散的，故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。