量子力学4-2.ppt

第四章第四章 态和力学量的表象§4.3 量子力学公式的矩阵表述1、平均值公式4.3-14.3-2写成矩阵形式为简写为4.3-32、本征值方程4.3-44.3-5此式是一个线性齐次代数方程组这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即4.3-6此式称为久期方程求解可得到一组解：3、薛定谔方程4.3-7式中简写为4.3-8矩阵表达式为§4.4 幺正变换讨论波函数和力学量在不同表象间变换的一般情况4.4-14.4-24.4-31、基矢变换展开系数为4.4-4由4.4-3可得I为对角矩阵的对角元都是1的单位矩阵4.4-5由4.4-4得4.4-6代入4.4-6得4.4-7可见4.4-8满足此式的矩阵称为幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变 换称为幺正变换故由一个表象到另一个表象的变换 是幺正变换幺正矩阵不是厄密矩阵 2、力学量变换4.4-9简写为即4.4-103、态矢量变换设4.4-114.4-124.4-13——态矢量变换式4、幺正变幻的性质（1）幺正变换不改变算符的本征值设A表象中则变换到B表象中有即得证这提示了求算符本征值的一种新方法：把算符由原来 表象变换到其自身表象，使其矩阵对角化解定态薛 定谔方程求定态能级就是把坐标表象中的哈密顿算符 对角化，即由坐标表象变换到能量表象。

2）幺正变换不改变矩阵F的迹 设则有问题：如何选取使算符矩阵对角化的幺正变换矩阵S？即写成矩阵为例题1 解：即（1）久期方程为例题2 在正交归一化基矢 所张的三维矢量空间中， 时的态矢 而物理 体系的能量算符 和另外两个物理量算符 与 的矩阵形式为 均为实数，求 （1）所采用的是什么表象？基矢是什么？ （2） 表象中波函数（态矢）的表示； （3） 态的能量可能值及相应概率、 、 =？ （4） 态中算符 、 的可能值及相应概率 解：（1）因为矩阵 为对角矩阵 能量表象；此表象为 的本征态，基矢在能量表象中为（2） 表象中波函数的表示为 表象 或利用 可得 故能量表象中态矢为（3）由对角矩阵可知，能量取值只能是 、 、 ，且 是两度简并的，取 和 的概率分别是故 或 （4） 是 的本征函数集，却不是 的 本征函数集。

令 在能量表象中的本征态为本征值为 ，则本征方程为解久期方程 得 当 时当 时当 时 故 故 故可见，由于能量表象不是 的自身表象，故 的矩阵形式不同于 要求 的可能值 在 态中（即 态中）的概率分 布，就要把 或 按 的本征态展开 由 表象中 及 可得 所以最后得 表象中态矢表达式 所以 取值为 的概率分别为 • 也可以利用幺正变换将能量表象中的 和 变换为 表象 （自身表象）中的对角矩阵和 ，因为 用矩阵表示即 ，本问题即为已经证明：把算符 在表象 中的 按列排成矩阵即为幺正变换矩阵 结果同上 。