向量的数量积和向量积.ppt

第三节第三节 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积一、 两向量的数量积二、 两向量的向量积一、两向量的数量积1 定义定义两个向量两个向量a a和和b b的模与它们之间夹角的余弦之积，的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量称为向量a与与b的的数量积数量积，，记作记作a·b,·b,即即数量积也称数量积也称点积点积力学意义：力学意义：一物体在力一物体在力F的作用下，的作用下，沿直线沿直线AB移动了移动了S，， F与与AB的夹角为的夹角为α,如右图，如右图，则力对物体做的功为则力对物体做的功为BSAθθF2 性质：性质： （（1）） a·a=|a|·a=|a|2 2（（2））（（3）） θθ表示两非零向量表示两非零向量a a和和b b的夹角，则有的夹角，则有3 运算律运算律（（1）交换律）交换律（（2）分配律）分配律（（3）结合律）结合律其中其中λ为常数4 数量积的计算公式数量积的计算公式设向量设向量则有则有证明：证明：则有两非零向量则有两非零向量a a和和b b的夹角的夹角θθ的的余弦坐标余弦坐标表示为表示为 此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，，b，有，有5 向量在轴上的投影向量在轴上的投影设设A为空间一点，为空间一点，u轴已知，如图。

轴已知，如图Au过点过点A作与轴垂直的平面，作与轴垂直的平面，平面与轴平面与轴的交点的交点A‘称称为为A在在轴轴上的投影上的投影A'对于已知向量对于已知向量 ，， u轴上的有向轴上的有向线段线段 的模称为向量的模称为向量 在轴在轴u 上的投影，上的投影，它是一个数量，记作它是一个数量，记作BB'那么那么θθ为向量为向量 与轴与轴u的夹角用用e表示表示u轴上的单位向量，轴上的单位向量，则则a·e·e为向量为向量a a在在e e方向方向上的投影，那么有上的投影，那么有例例1 已知已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求：求：（（1））a·b·b；； （（2））a与与b的夹角；的夹角；（（3））a在在b上的投影上的投影解：解：（（1））（（2））所以所以（（3））因为因为所以所以例例2 求证余弦定理求证余弦定理θθ为边为边CACA，，CBCB的夹角证明：证明：如图所示的如图所示的△ABC△ABC，，令令ABCθ可得可得那么那么所以所以证毕证毕二、两向量的向量积二、两向量的向量积1 定义定义设向量设向量c由两个向量由两个向量a和和b按下列规定给出：按下列规定给出：（1）|c|=|a| |b| sinθθ，， θθ为向量为向量a a和和b b的夹角；的夹角；（（2）） ，且向量，且向量a，，b ，， c的方向满的方向满足右手定则，如图；足右手定则，如图；那么向量那么向量c称为向量称为向量a和和b的的向量积向量积，， 记作记作a×b，即，即C= a×b向量积又称为向量积又称为叉积叉积。

★★向量积模的几何意义是：向量积模的几何意义是：以以a，，b为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积abcθθO为一根杠杆为一根杠杆L的支点，的支点，LOPF有一个力有一个力F作用于其上点作用于其上点P处，处，F与与 的夹角为的夹角为θθ，，θθ由力学由力学规定，规定， 力力F对支点对支点O的力矩的力矩是一个向量是一个向量M，，Q它的模它的模而而M的方向垂直于的方向垂直于 与与F所决定的平面，所决定的平面， M的指向是的指向是是按右手规则从是按右手规则从 以不超过以不超过ππ的角的转向的角的转向F F来确定，来确定，因而实际上因而实际上★★力学意义：力学意义：力矩力矩，， 如下图所示如下图所示2 两向量积的性质两向量积的性质（（1））a×a=o；；（（2））（（3）若）若a≠o，，b≠o，，a，，b的夹角为的夹角为θθ，则，则3 两向量的向量积的运算律两向量的向量积的运算律（（1）） a×b=-b×a；；（（2）（）（λa））×b=a×（（λb））=λ（（a×b（λ为常数常数）（（3）（）（a+b））×c=a×c+b×c4 两向量的向量积的坐标表示两向量的向量积的坐标表示设向量设向量则有则有此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，，b，有，有约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。

约定：若分母中有零，相应地，分子也为零例例3 设向量设向量解：解：例例4 设向量设向量问问a×b与与c是否平行？是否平行？解：解：显然显然故故a×b//c.例例5 问向量问向量是否共面？是否共面？解：解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可向量的向量及与第三个向量是否垂直即可为什么？）（为什么？）由于由于所以，所以，=4-2-2=0因而因而a，，b，，c共面 例例6 求以点求以点A（（1，，2，，3），），B（（3，，4，，5）和）和C（（-1，，-2，，7）为顶点的三角形的面积）为顶点的三角形的面积S解：解：根据向量积模的几何意义可知，根据向量积模的几何意义可知，所求三角形所求三角形的面积等于的面积等于而而故故所以所以。