考研数学复习高等数学第三章一元函数积分学.docx

第三章 一元函数积分学2013考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用2013考试要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分法3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值第一节 一元函数积分学之一（原函数）一、 原函数的概念及其等价描述1． 概念：设有函数和可导函数，如果对区间上的任何一点，都有，则称为在区间上的一个原函数。

构成的全体原函数，叫做的不定积分，记为：2． 原函数的性质：● ，且原函数一定是连续函数；● 验证是否为的原函数，分两步 第一步：在区间上是否连续； 第二步：验证是否成立● 当连续时，则一定有原函数，且，因为● 当存在第一类间断点时，则一定没有原函数，；当存在第二类间断点时，则可能有也可能没有原函数● 当连续时，则一定有原函数，且可以写成；当不连续时，却不一定是的原函数，但在区间内必连续● 连续奇函数的原函数为偶函数；连续偶函数的原函数为奇函数与常数之和二、 与原函数有关的题型【例 1】设为的原函数，求 解：【例 2】下列命题不正确的是解：根据原函数的定义有：，显然正确但读者要快速判断清楚其余三个错在哪里例 3】设是在区间上的原函数，则 解：由于，故，但未必有界，例如：在上的原函数是，而在上就无界故选 【例 4】设, 在区间连续，则在上 解：只有奇函数的原函数才一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是，显然和都是偶函数，故不正确，而的一个原函数为 ，而故为奇函数，所以正确例 5】设是在区间的一个原函数，则在在上 解：，故必连续，必存在原函数，故正确。

例 6】，则的原函数是：解：中在点不连续，故都不是的原函数，不满足，故也不是的原函数，因此正确例 7】，则： 解： 不正确，理由在的分析中 对本题我们有：显然，是连续的但是：故不正确例 8】则在内下列正确的是：解：可以验证为的第二类间断点，因为： ，故为的第二类振荡间断点，可能存在原函数又： 第二节 一元函数积分学之二（不定积分与变限积分的计算）一、“三基”内容：1．基本定义与概念 1）不定积分定义：对任一，可导函数的导函数为，即；那么称为的原函数全体原函数的集合称为上的不定积分，记为：连续函数一定存在原函数和具有有限个第二类间断点的非连续函数可能存在原函数，具有第一类间断点的非连续函数不可能存在原函数2）变限积分定义：在原函数存在的条件下，由不定积分定义衍生而来 由于是某一个具体函数，由莱布尼茨公式得： 可见：变限积分可以视为不定积分的某一个原函数 ● 变限积分的求导方法： 3）重要结论：●离散点不构成区间，但可以构成函数的定义域；如，它的定义域就是离散点，没有定义区间，故没有原函数 （注意：对于一范围，如果是区间，则成立，不成立；如果是定义域，则都成立。

一切初等函数在它的定义区间必连续，故必有原函数；但在其定义域内就不一定，因为定义域不一定包含区间）● 属于反常积分范畴，一般不定积分或定积分的结论不适合反常积分，因为4个一维积分：不定积分、变限积分、定积分和反常积分是四种类型的积分，不可视为同一积分的不同特殊情形●通常我们约定原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分；如，公共部分为，的公共部分为●初等函数的原函数不一定为初等函数，如初等函数的原函数不是初等函数；●原函数不唯一，它们是只差一个常数的函数族，如：；●为连续的奇函数为偶函数； 为连续的偶函数为基函数 但不能说为连续的偶函数，则为奇函数，因为，存在常数； 为连续的周期函数为周期函数的充要条件是；2．必须记住的18个基本积分公式： 评注 带不定参数的积分要考虑各参数的取值情况，分别讨论，如：陈氏积分公式： 证明如下：二、积分技巧与方法评 注 积分计算四大总纲领：① 利用上述18个积分公式及其逆向思想，把被积函数整体或其部分凑全微分；② 分部积分；③ 换元（三角换元、倒换元、指数换元、根式换元和特殊换元见【例27】）。

④ 积分技巧的本质：积分困难主要是由于被积函数存在分母和根号，如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解积分技巧的源泉，详见【例9】分析，其余例题类推1、利用加减乘除函数及原函数凑微分【例9】 设，求解：令 ，则，于是 评 注 此题解到的后续计算是关键，按照积分总纲领，去掉分母还可以写成：往下计算十分困难，不可取按照积分总纲领也可以去掉根号，即令，从而：但计算过程繁琐得多所以，快速寻找到最佳解法就需要读者多做练习多思考总结例10】 解： 【例11】 解一：解二：读者可以验证，两种结果只差一个常数例12】 解：【例13】 解： 【例14】 解：【例15】 解：注意到：【例16】 【例17】 【例18】求解：由有：【例19】设连续，且，求 解：令 2、回归法【例20】求 解：【例21】设连续，且，求 解：易知： 【例22】设，求解：设，两边同时取积分得 3、待定函数法【例23】求 解：设，两边求导得： 上式很容易看出，是它的一个特解，根据定积分的定义，故 4、相关积分法 【例24】求 解：5、换元法（注意：凑微分和换元法是计算积分的两大核心而普遍的技术） 5.1 三角换元● 三角换元 ____ 去根式 ●三角换元____万能公式 注意：三角万能代换只有在没有其他简单方法可用时才使用，实际上三角万能代换后计算量很大。

如，如用三角替换反而繁琐●三角换元____和差化积或积化和差 ●三角换元____倍角公式 评 注：不管引用何种三角替换，其本质是去掉根号和化简，从这个意义上读者根据具体题型要广义使用例25】 解：三角换元法：【例26】解：三角换元法：令 5.2 倒换元 【例27】 5.3 指数或根式换元，如： 【例28】 求 【例29】求 解：令 ，才可以同时去掉两个根式 5.4 特殊换元【例30】 解：特殊换元法：令 6、多级分部积分法 多项式的各阶导数 … 0 其他函数的各级积分 … 陈氏口诀 代换变形多项式；逐次微分直到零；其余积分零对齐；交叉相乘正负和例31】 表格： 读者参照陈氏第4技同步练习： 【例32】 表格： 7、递推法与倒推法【例33】 递推式一般首先采用分部积分法， 解： 可作为公式用。

例34】 解： 【例35】 解： 同步练习： 【例36】解：7、有理函数的积分可化为整式和如下四种类型积分①② ③，再用【例33】方法④ 评 注：上述公式不必记忆，但方法的本质是想办法消除分母的一次项，再用【例33】的结论具体问题的求解是这一思想出发的 8、抽象函数和分段函数的不定积分【例37】 已知；求 解： 【例38】求 解：此类题的定式做法是：关键是画图得出分段区间，化成分段函数后，再积分 由于分段函数的连续性知： 评 注 对于含有绝对值的函数积分，一般见于定积分题型中，方法是：先令绝对值的项等于零，画图再确定能去掉绝对值的区间，然后分区段积分，详见定积分部分例题但也可作不定积分： 如 【例39】设满足 ，且当，求的表达式 解： 【例40】设在上可导，，其反函数为，若， 求解：令第三节 一元函数积分学之三（定积分与反常积分）一、定积分“三基”内容：1． 定义：“脑中有模型，结构心理存，两个关键点，定义得分明。

两个关键点：定积分是结构性的，它是积分和式的极限，而且该极限的结果与区间的分法与各子区间中点的取法无关模型是： 积分图；结构是： 极限形式；具体来说：1）定对象：有限区间的有界函数； 2）分区间：将分为个子区间，其中规定：，子区间与分法无关，内共有个点， 中间插入个点，其中等分区间只是其中的一种分法； 3）作乘积：在内任意取一点，与取法无关，作乘积，其中：； 对等分情况： 4）求和式：； 5）取极限：； 6）作结论：极限存在，且与区间分法和子区间内点的取法无关时，才是在闭区间上的定积分定积分的定义的数学形式：（ 实际使用中比较常见 ） 重点应用公式： 下列重要结论成立：如： 2) 3) 2．重要结论：① 积分7个常用比较定理： 上连续，恒正或恒负或；且 上连续，任意子区间 上连续，，且不恒为零， 上连续，；且 。