勾股定理知识归纳（2022年整理）.pdf

1 第十八章、勾股定理 第一节、知识梳理 勾股定理勾股定理 学习目标 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2. 能运用勾股定理解决实际问题 重点难点 重点： 了解勾股定理，并能正确合理的运用. 难点： 勾股定理的证明. 知识概要 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c，那么 abc，即直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方 2. 勾股定理的应用. 勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 3. 勾股定理的证法. 知识链接 1. 勾股定理的历史背景. 我国是最早了解勾股定理的国家之一， 商朝数学家商高提出了“勾三、 股四、 弦五”， 被记载于 周髀算经 中 在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理. 2. 与直角三角形有关的问题. （1） 直角三角形的定义. （2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于 30 ，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等. 中考视点 勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用： （）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边 （）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式 （）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 学习目标 . 掌握勾股定理的逆定理，并会用它判定一个三角形是不是直角三角形. . 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法. 重点难点 重点：勾股定理的逆定理及其应用. 难点：勾股定理的逆定理的证明及应用. 知识概要 勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形 1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 . 如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题 . 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理 . 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组 知识链接 （1）勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题. （2）勾股数：满足条件 a2b2c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数组有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；20，21，29；9，40， 41；这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组. 中考考点 勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状 第二节、教材解读 一、勾股定理的内容 勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是 a、b，斜边是 c，那么 a2+b2c2. 因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长. 二、正确判定一个三角形是否是直角三角形 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形. 这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反， 即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形. 要判断一个三角形是不是直角三角形， 一是确定最大边， 即斜边c； 二是验证c2与 a2+b2是否相等.若c2a2+b2，则ABC 是直角三角形，且C90 ；若 c2a2+b2，则ABC 不是直角三角形. 三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用 勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段 2 等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为的线段，如下左图所示 用同样的方法我们可以在数轴上画出表示的点，如下右图所示. 四、勾股定理逆定理的推导 勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 abc，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为 a、b、c，边长之间满足关系abc，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？ 下面是组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形， （）a，b，c； （）a，b，c； （）a，b，c 我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系 abc，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测： 如果一个三角形的三边长 a、b、c 满足 abc，那么这个三角形是直角三角形 我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确， 我们必须要在一般情况中对其加以证明 【例题】 已知的三边a、b、c 且满足条件 abc，试判断是否为直角三角形 【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以 a、b 为直角边，那么它的斜边 c 必满足 ca+b，那么这个直角三角形的三边就与的三边分别对应相等，所以说如果是直角三角形，那么它必与以 a、b 为直角边的直角三角形全等 解：我们作t， ，b，a 根据勾股定理：ab 又 的三边 a、b、c 满足条件 a+bc， c 又在中a、b、c， t（） 是直角三角形， 【小结】 探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明. 第三节、错解剖析 一、勾股定理只能在直角三角形中运用 【例 1】 在ABC 中，AC=3，BC=4，则 AB 的长为（ ）. A. 5 B. 10 C. 4 D. 大于 1 且小于 7 常见错误： A. 错误分析： 题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出 AB 的范围. 正确答案： D. 二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边 【例 2】 在tABC 中，AC=9，BC=12，则 AB2= . 常见错误： 在tABC 中，利用勾股定理，得 AB2AC2BC2=225. 错误分析： 没有区分要求的 AB 是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果 AB 是斜边，则利用勾股定理，得 AB2AC2BC2=225；如果 AB 是直角边，因为 BCAC，所以 BC 为斜边，则利用勾股定理，得 AB2BC2AC263. 3 AB2为 225 或 63. 正确答案： 225 或 63. 三、给定三角形要分形状运用勾股定理 【例 3】 在中，=13，=15，高=12，求的周长 常见错误：根据勾股定理， 22-2 22 ， 22-2 22 ， ， 此时，的周长为 错误分析： 可能是锐角三角形， 也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况. 正确答案：应该分情况讨论，当是锐角三角形时，解法如上. 当是钝角三角形时，其图如下， 根据勾股定理， 22-2 22 ， 22-222， ，. 此时，的周长为： 故的周长为 42 或 32. 四、不能正确区分直角边和斜边 【例 4】 已知一个三角形的三边长 a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？ 错解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2b2194，c2144. a2b2c2，故此三角形不是直角三角形. 错解分析：本题中虽然 a2b2c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即 b 为斜边，b2169，a2c225144169，即 a2c2b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路. 正确答案： 是. 【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边. 五、考虑不全面造成漏解 【例 5】已知 a、b、c 为ABC 的三边，且满足 a2c2b2c2a4b4，试判断ABC 的形状. 错解： a2c2b2c2a4b4 （1） c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2） （2） c2a2b2 （3） ABC 是直角三角形. 错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到 a2b20 的情况就直接在等式两边除以一个可能为 0 的数，从而导致了错误 正解： a2c2b2c2a4b4 c2（ a2b2）（ a2b2） （a2b2） （1）当 a2b20 时，化简后得 c2a2b2 ABC 是直角三角形. （2）当 a2b20 时，ab ABC 是等腰三角形. 【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质 2：在等式两边不能同时除以一个可能为 0 的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意. 六、不能仅凭模糊记忆 【例 6】在ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（ab） （ab）c2，则（ ） A.A 为直角 B.C 为直角 C.B 为直角 D.不是直角三角形 错解：选 B 4 错解分析： 在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边 c 的对角C 一定表示直角.该题中的条件应转化为 a2b2c2，即 a2b2c2，应根据这一关系进行判断. 正解：a2b2c2，a2b2c2. a 边所对的角为直角. 故选 A. 【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论. 七、考虑不全造成漏解 【例 7】已知直角三角形的两边长分别为 3、4，求第三边长. 错解：第三边长为 错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为 3 和 4 时，斜边长为 5.但这一理解的前提是 3、4 为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边. 正解： （1）当两直角边为 3 和 4 时，第三边长为 （2）当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长为. 八、理解流于形式，造成思维定势 【例 8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？ 错解： a2，b2，c21，而 a2b2c2， 该三角形不是直角三角形. 错解剖析：虽然 a2b2c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有 a2c2b2，所以这个三角形是直角三角形. 正解：这个三角形是直角三角形 九、混淆勾股定理与逆定理 【例 9】 在 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东0 方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 错解:甲船航行的距离为 BM=8 216（海里） ，乙船航行的距离为 BP=15 230（海里）. 34 （海里）且 MP=34（海里） MBP 为直角三角形 MBP90 . 乙船是沿着南偏东 30 方向航行. 错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误. 正解：甲船航行的距离为 BM=8 216（海里） ，乙船航行的距离为 BP=15 230（海里）. 1623021156，3421156， BM。