期末考试安排问题分析—数学建模论文.docx

期末考试安排问题分析由于考试分为上午、下午、晚上三个时间段，考试课程的考试时间又分为 60 分钟、 90 分钟、120 分钟三种情况，所以首先应该确定在各个时间段的考试课程的分配情况，合理的考试时间方案应满足除考试时间剩余时间不能超过某门课程的考试时间，且对于一个教室前后 2 门课程的考试时间间隔不能少于 20 分钟，应用枚举法列出所有的合理考试时间方案是为了考试时间最短，选择以下十八种合理的方案，如下表一所示：（A 代表 60 分钟、B 代表 90 分钟、C代表 120 分钟）时 间 段 上 午 中 午 晚 上方 案 1 AAA AB B2 AAA AB A3 AAA C B4 AAA C A5 AAA AA B6 AAA AA A7 CA AB B8 CA AB A9 CA C B10 CA C A11 CA AA B12 CA AA A13 BB AB B14 BB AB A15 BB C B16 BB C A17 BB AA B18 BB AA A19 A C A20 A C B21 A B A22 A B B23 A AB A假设未对有特殊限制的监考教师分配监考任务，因为没有特殊限制的监考教师有 60 人，每个考场需要两位监考教师，所以同一个时间段最多有 30 个考场进行考试，为了保证参加考试的人数尽可能的多，这 30 个考场我们取容量大的教室优先作为考场，考场的选择方案分别有：D1-D15 可容纳三十人的教室、D21-D40 可容纳四十五人的教室和 D41-D50 可容纳六十人的教室，由于我们要在最短时间内考完所有课程，所以我们选择后两种教师作为考场，即每场考试最多可同时容纳 1500 人进行考试，分别根据 60 分钟、90 分钟、120 分钟总人数不能超过考场容纳人数的限制，可得如下线性规划模型： 在这十八种合理的方案中考 60 分钟的总人数要小于等于该课程为 60 分钟的总人数。

需要考 60 分钟的总人数：3014501654071580372需要考 90 分钟的总人数：221634需要考 120 分钟的总人数： 5304506540507250问题一：球不和考情况下期末考试的最短时间模型建立考试时间按排：根据题目要求，设采用考试时间区间组合方案i 的天数为 ，可得考试总天数 ,其中1,2340i ixnxf 18,z0ixn 为考试时间区间组合方案总数，由上表可得 n=18规划目标是采用某些较合理考试时间区间组合方案使考试总天数最少，目标函数为： 有以下约束函数：18,minz0ix⑴采取某些合理考试模式下，考试时间为 60min 的考试总人数不应超过其所用考场总容量： 12345678910117850{23}5xxxx⑵采取某些合理考试模式下，考试时间为 90min 的考试总人数不应超过其所用考场总容量： 12345678910341571850{2}40xxxx⑶采取某些合理考试模式下，考试时间为 120min 的考试总人数不应超过其所用考场总容量： 347891012516150{2}20xxxx考试考场安排：考场安排的目标是使考场利用率最大。

要求有两个：每门课程都有考场；参加考试的考生数不得超过安排的考场容量这里我们需要引进 0-1 变量 ybd 表示第 b 门课程能否在第 c 个考场考试，取 1 表示是，取 0 表示否，下一式表示在 t 时间段内 b 课程能在 c 考场正常考试：① 0,,,1,230,12,350tbtbBTc②0,,,,,,,,tbt bc 由于目标是使在 t 时间段考场的利用率尽可能的高，也即所有考场的余量尽可能的少，所以目标函数为:051minbtctdtctTyvzP有题目要求需要满足的约束条件如下： 50100,1,1,25,btBtbcctbccztytctcyRPYztT监考教师的安排：监考老师的安排属于随机分配问题第 a 位教师在 t 时间段是否监考第 D 个考场，要引进 0-1 变量用 表示，取 1 为表示监考，tdE取 0 表示否目标是要保证各种情况下的教师监考场数尽量平均，也就是监考次数最多的教师与监考次数最少的教室的差值最小，即 005511minaxminTTatcatct tE要满足的约束条件为：i 在 t 段时间内，第 a 位教师至多在一个考场监考，即500,112,380atcETii 每个考场的监考教师为 2 人，每个考场的容量为 ，在 t 段dR时间内，第 D 个考场的安排的监考教师为： 80012,1,2350atcdERtTciii 情况 1 监考老师需要满足条件监考场数不超过 2 场，即0512,,310TatctEiv 情况 2 的监考教师需满足条件监考场数不超过 3 场，即0513,1230Tatct， ， ，综上所述，我们建立监考教师的模型如下： 005511minaxminTTatcatct tE.st500,12,380atc8001,1,5atcdERtTc 0512,,3Tatct051,120TatctE ， ， ，0,,,38,1,35atc c问题二：载运和考的情况下，在问题一的基础之上求出期末考试的最短时间。

1. 模型的建立由于受监考教师的人数的限制，在同一个时间段最多可以有40 个考场考试，因此在允许和考的情况下应充分利用考场D16-D50，使考场容量尽可能的大因此在问题一的基础之上加上以下条件即可： 0F,1,2.5tcTda 在问题一的基础之上，为充分利用监考教师资源，将有特殊情况的教师安排监考由于考试时间为 90 分钟的课程所占人数最多，因而将监考教师 A1-A20 安排与课程 B21-B80,从而增加每场考试的考试容量，以缩短考试时间，即有以下约束条件： 12345678910341571850{2}40xxxx综上所述， ；以 函数的模型为基础建立以下优,1minzi化模型： 18,i0ix.st12345678910117850{23}5xxx， i12345678910341571850{2}40xxxx， i，347891012516150{2}20xxxxix18,minz0ib 考场安排在 函数的基础上建立以下整数规051minbtctdtctTyBvzP划模型： 5001 00,,,1,235,0,1,,1,23512350btBtbcctbccztytct ttbRPtTYtTtbBczc，F0,12,.5tcd0tTc 监考教师安排在 函数的基础之上我们建005511minaxminTTatcatct tE立教考教师安排的模型如下： 005511inaxinTTatcatct tE500,12,380atc80012,1,5atcdERtTc 051,,3Tatct051,120TatctE ， ， ，0,,,38,12,350atc cF0,12,.5tcd问题三，为了便于学生的期末复习，学校规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考 2 场，2 场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并作出期末考试的考场安排表。

I 考试时间安排模型建立设 为第 c 个专业第 b 门课程的考试时间，其中cbt,,1,2,501,20cIAb目标是期末考试时间按排尽可能均衡，以有利益学生复习和水平的发挥，也就是对于一个专业，不同考试课程最小的时间间隔尽可能大，建立目标函数， ,2, 21maxin1,cbctbIcI其约束条件为：1 每个专业一天至多考一门，即：21212,,,cbtbcIbI2 对于相同课程不同专业的考试时间相同即：1212, 1,I,Icbtcc，综上所述，建立如下模型：,2, 21maxin,cbctbIcI.st2212,,,cbt II11,cbc，II 考场安排模型的建立 051minbtctdtctTyBvzP.s5001 00,,,1,235,0,1,,1,23512350btBtbcctbccztytct tTtbBRPtTYtTtbBczcIII 监考教师安排模型的建立005511minaxminTTatcatct tE.st 500,12,380atc8001,1,5atcdERtTc 0512,,3Tatct051,120TatctE ， ， ，、0,,,38,1,350atc c附录 附录一min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18;1500*(4*x1+3*(x2+x3)+2*(x4+x5)+x6+5*(x8+x9)+4*(x10+x11)+3*(x12+x13)+2*(x14+x15)+x17)>=3725;1500*(x2+x3+2*x4+x6+x8+x9+2*x10+x12+2*x13+3*(x14+x15)+4*x16+2*x17+3*x18)>=8400;1500*(x1+x2+x3+x4+2*(x5+x6)+x11+x12+x17+x18)>=2050;0=3725;1500*(x2+x3+2*x4+x6+x8+x9+2*x10+x12+2*x13+3*(x14+x15)+4*x16+2*x17+3*x18)+975>=8400;1500*(x1+x2+x3+x4+2*(x5+x6)+x11+x12+x17+x18)>=2050;0