北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习.doc
12页
精选优质文档-----倾情为你奉上【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90° ．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：① 矩形具有平行四边形的一切性质；② 利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°3． 如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO. 第4题 第5题 第6题 第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.温馨提示①若易证是平行四边形,则再证角为直角或对角线相等,即可得矩形；②四个角均相等的四边形是矩形；③有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形练习】 第1题 第2题 第5题 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝.求四边形ABCD的周长．4.下列命题错误的是( )A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A． ①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥6.如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【矩形的性质与判定的综合应用练习】1.在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝_______cm. 第1题 第2题 第4题 第5题 第6题2.如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.4.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )A．4 B．4.8 C．5.2 D．65.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.6.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．8.如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【折叠问题专项】1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E，F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点 重合，若 °，则 等于（ ）A. 110° B. 115° C. 120° D. 130° 第1题 第2题 第3题 2.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A. 6 B. 10 C. 8 D. 123.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是（ ）A. 2 B. C. 2 -2 D. 2 +24.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 5.如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点处，交AD于E。
已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积6.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC上的点F处①求EF的长;②求梯形ABCE的面积.【课后练习】1.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第1题 第2题 第3题 第4题2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.3.如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=________．4.如图，矩形ABCD中， ， ，CE是 的平分线与边AB的交点，则BE的长为________．5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，（1）求证：AE=CF； （2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积． 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．8.如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（ ）A. 4 B. 12 C. 6 D. 3 第8题 第9题 第12题 。
