高考数学 7.2 空间几何体的表面积与体积课件.ppt

第二节空间几何体的表面积与体积【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识 教材回扣　填一填教材回扣　填一填(1)(1)空空间几何体的几何体的侧面面积和表面和表面积①①多面体的表面多面体的表面积: :因因为多面体的各面都是平面多面体的各面都是平面, ,所以多面体的表面所以多面体的表面积就是各个面的就是各个面的_______________,_____,即展开即展开图的面的面积, ,侧面面积就是就是侧面展开面展开图的面的面积. .面面积之和之和②②旋旋转体的体的侧面展开面展开图及其表面及其表面积与与侧面面积: :名称名称侧面展开面展开图表面表面积侧面面积圆柱柱矩形矩形S=___________S=___________=_________=_________S S侧=_____=_____圆锥扇形扇形S=πrS=πr2 2+πr+πrl=πr(r+=πr(r+l) )S S侧=____=____2πr2πr2 2+2πr+2πrl2πr(r+2πr(r+l) )2πr2πrlπrπrl名称名称侧面展开面展开图表面表面积侧面面积圆台台扇扇环S=__________S=____________________________S S侧= =____________________球球S=_____S=_____(r(r为半径半径) )π(r′π(r′2 2+r+r2 2+r′+r′l+r+rl) )π(r+r′)π(r+r′)l4πr4πr2 2(2)(2)几何体的体几何体的体积①①柱体柱体:V=___(S:V=___(S为底面面底面面积,h,h为高高),),特特别地地,V,V圆柱柱=_____(r=_____(r为底面半径底面半径,h,h为高高););②②锥体体:V=___(S:V=___(S为底面底面积,h,h为高高),),特特别地地,V,V圆锥=_____(r=_____(r为底面半径底面半径,h,h为高高););ShShπrπr2 2h h③③台体台体:V=_____________(S,S′:V=_____________(S,S′分分别为上、下底面面上、下底面面积,h,h为高高),),特特别地地,V,V圆台台=______________;=______________;④④球球:V=______(R:V=______(R为半径半径).).2.2.必必备结论 教材提教材提炼　　记一一记(1)(1)长方体的外接球方体的外接球①①球心球心: :体体对角角线的交点的交点;②;②半径半径:r= (a,b,c:r= (a,b,c为长方体的方体的长、、宽、高、高).).(2)(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球①①外接球外接球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= (ar= (a为正方体的棱正方体的棱长););②②内切球内切球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= (ar= (a为正方体的棱正方体的棱长););③③与各条棱都相切的球与各条棱都相切的球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正方体的正方体的棱棱长).).(3)(3)正四面体的外接球与内切球正四面体的外接球与内切球( (正四面体可以看作是正方体的一部分正四面体可以看作是正方体的一部分) )①①外接球外接球: :球心是正四面体的中心球心是正四面体的中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正四面体的棱正四面体的棱长););②②内切球内切球: :球心是正四面体的中心球心是正四面体的中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正四面体的棱正四面体的棱长).).3.3.必用技法必用技法 核心核心总结　看一看　看一看(1)(1)常用方法常用方法: :割割补法与等体法与等体积转化法化法. .(2)(2)数学思想数学思想: :转化与化化与化归、函数与方程、函数与方程. .(3)(3)记忆口口诀: :台体体台体体积公式公式记忆口口诀: :上底面、下底面上底面、下底面, ,两底两底积根加号根加号连, ,乘高除三体乘高除三体积见. .【小【小题快快练】】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考　判一判静心思考　判一判(1)(1)多面体的表面多面体的表面积等于各个面的面等于各个面的面积之和之和.(.(　　　　) )(2)(2)锥体的体体的体积等于底面等于底面积与高之与高之积.(.(　　　　) )(3)(3)球的体球的体积之比等于半径比的平方之比等于半径比的平方.(.(　　　　) )(4)(4)简单组合体的体合体的体积等于等于组成它的成它的简单几何体体几何体体积的和或差的和或差.(.(　　　　) )(5)(5)长方体既有外接球又有内切球方体既有外接球又有内切球.(.(　　　　) )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .多面体的表面积等于侧面积与底面积之和多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. .(2)(2)错误错误. .锥体的体积等于底面积与高之积的锥体的体积等于底面积与高之积的 . .(3)(3)错误错误. .球的体积之比等于半径比的立方球的体积之比等于半径比的立方. .(4)(4)正确正确. .简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成简单组合体是由简单几何体拼接或截去或挖去一部分组成. .(5)(5)错误错误. .长方体只有外接球长方体只有外接球, ,没有内切球没有内切球. .答案答案: :(1)√(1)√　　(2)×(2)×　　(3)×(3)×　　(4)√(4)√　　(5)×(5)×2.2.教材改教材改编 链接教材　接教材　练一一练(1)((1)(必修必修2P282P28习题1.3A1.3A组T3T3改改编) )如如图, ,将一个将一个长方体用方体用过相相邻三条棱三条棱的中点的平面截出一个棱的中点的平面截出一个棱锥, ,则该棱棱锥的体的体积与剩下的几何体体与剩下的几何体体积的的比比为　　　　　　　　. .【解析】【解析】设长方体的相邻三条棱长分别为设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,a,b,c,它截出棱锥的体积为它截出棱锥的体积为V V1 1= = 剩下的几何体的体积剩下的几何体的体积V V2 2= =所以所以V V1 1∶V∶V2 2=1∶47.=1∶47.答案答案: :1∶471∶47(2)((2)(必修必修2P36T102P36T10改改编) )一直角三角形的三一直角三角形的三边长分分别为6cm,8cm,10cm,6cm,8cm,10cm,绕斜斜边旋旋转一周所得几何体的表面一周所得几何体的表面积为　　　　　　　　. .【解析】【解析】旋转一周所得几何体为以旋转一周所得几何体为以 cm cm为半径的两个同底面的圆锥为半径的两个同底面的圆锥, ,其其表面积为表面积为S= S= 答案答案: : πcmπcm2 23.3.真真题小小试 感悟考感悟考题　　试一一试(1)(2014·(1)(2014·四川高考四川高考) )某三棱某三棱锥的的侧视图、俯、俯视图如如图所示所示, ,则该三棱三棱锥的体的体积是是( (　　　　) )( (锥体体体体积公式公式:V= Sh,:V= Sh,其中其中S S为底面面底面面积,h,h为高高) )A.3A.3　　　　　　　　B.2B.2　　　　　　　　C.C.　　　　　　　　 D.1 D.1【解析】【解析】选选D.D.根据所给的侧视图和俯视图根据所给的侧视图和俯视图, ,该三棱锥的直观图如图所该三棱锥的直观图如图所示示. .从俯视图可知从俯视图可知, ,三棱锥的顶点三棱锥的顶点A A在底面内的投影在底面内的投影O O为边为边BDBD的中点的中点, ,所所以以AOAO即为三棱锥的高即为三棱锥的高, ,其体积为其体积为(2)(2013·(2)(2013·天津高考天津高考) )已知一个正方体的所有已知一个正方体的所有顶点在一个球面上点在一个球面上. .若若球的体球的体积为 , ,则正方体的棱正方体的棱长为　　　　　　　　　　. .【解析】【解析】设球半径为设球半径为R,R,因为球的体积为因为球的体积为 所以所以R= ,R= ,又由球又由球的直径与其内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为的直径与其内接正方体的体对角线相等知正方体的体对角线长为3,3,故其棱长为故其棱长为 . .答案答案: :(3)(2014·(3)(2014·山山东高考高考) )一个六棱一个六棱锥的体的体积为2 ,2 ,其底面是其底面是边长为2 2的的正六正六边形形, ,侧棱棱长都相等都相等, ,则该六棱六棱锥的的侧面面积为　　　　　　　　. .【解析】【解析】设六棱锥的高为设六棱锥的高为h,h,斜高为斜高为h′,h′,则由体积则由体积V= V= 得得:h=1,h′= :h=1,h′= 所以侧面积为所以侧面积为 ×2×h′×6=12. ×2×h′×6=12.答案答案: :1212考点考点1 1 几何体的几何体的侧面面积及表面及表面积【典例【典例1 1】】(1)(2014·(1)(2014·安徽高考安徽高考) )一个多面体的三一个多面体的三视图如如图所示所示, ,则该多面体的表面多面体的表面积为( (　　　　) )A.21+A.21+　　　　　　B.18+B.18+　　　　　　C.21C.21　　　　　　D.18D.18(2)(2015·(2)(2015·石家庄模石家庄模拟) )一个几何体的三一个几何体的三视图如如图所示所示, ,则该几何体的几何体的表面表面积为　　　　　　　　. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)将三视图还原为原几何体将三视图还原为原几何体, ,求各个面面积的和求各个面面积的和. .(2)(2)将三视图还原为原几何体将三视图还原为原几何体, ,可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩可得该几何体是长方体内挖去圆柱后剩下的部分下的部分. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.由三视图可知原几何体是一个正方由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥体截去两个全等的小正三棱锥. .正方体的表面积为正方体的表面积为S=24,S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点, ,侧面是侧面是三个全等的直角边长为三个全等的直角边长为1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形, ,其侧面面积的和为其侧面面积的和为3,3,三棱三棱锥的底面是边长为锥的底面是边长为 的正三角形的正三角形, ,其表面积的和为其表面积的和为 , ,故所求几何体故所求几何体的表面积为的表面积为24-3+ =21+ .24-3+ =21+ .(2)(2)由三视图可知由三视图可知, ,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体, ,如图所示如图所示. .长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为4,3,1,4,3,1,表面积为表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为圆柱的底面圆直径为2,2,母线长为母线长为1,1,侧面积为侧面积为2π×1×1=2π,2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为圆柱的两个底面面积和为2×π×12×π×12 2=2π.=2π.故该几何体的表面积为故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.38+2π-2π=38.答案答案: :3838【易【易错警示】警示】解答本例解答本例题(1)(1)有两点易出有两点易出错: :(1)(1)由三由三视图将将对应的几何体的的几何体的结构特征构特征还原原错, ,而而误选. .(2)(2)还原几何体正确原几何体正确, ,但忽但忽视截去三棱截去三棱锥后截面是一个后截面是一个边长为 的正的正三角形三角形, ,其面其面积和和为 , ,而而误选C.C.【互【互动探究】探究】把本例把本例题(2)(2)中的三中的三视图改改为如下如下图形形, ,求求该几何体的表几何体的表面面积. .【解析】【解析】由三视图知由三视图知, ,这是一个底面是矩形的四棱锥这是一个底面是矩形的四棱锥, ,矩形的长和宽分别是矩形的长和宽分别是6,2,6,2,四棱锥的高是四棱锥的高是4,4,所以四棱锥的表面积是所以四棱锥的表面积是2×6+2× ×2×5+6×4× + ×6×22×6+2× ×2×5+6×4× + ×6×2=34+6 .=34+6 .【【规律方法】律方法】几何体表面几何体表面积的求法的求法(1)(1)多面体多面体: :其表面其表面积是各个面的面是各个面的面积之和之和. .(2)(2)旋旋转体体: :其表面其表面积等于等于侧面面面面积与底面面与底面面积的和的和. .计算旋算旋转体的体的侧面面积时, ,一般采用一般采用转化的方法来化的方法来进行行, ,即将即将侧面展开化面展开化为平面平面图形来解决形来解决. .(3)(3)简单组合体合体: :应搞清各构成部分搞清各构成部分, ,并注意重合部分的并注意重合部分的处理理. .(4)(4)若以三若以三视图的形式的形式给出出, ,解解题的关的关键是是对给出的三出的三视图进行分析行分析, ,从中从中发现几何体中各元素几何体中各元素间的位置关系及数量关系的位置关系及数量关系, ,得到几何体的直得到几何体的直观图, ,然后根据条件求解然后根据条件求解. .【【变式式训练】】(2015·(2015·合肥模合肥模拟) )如如图所示所示, ,某几何体的正某几何体的正视图和俯和俯视图都是矩形都是矩形, ,侧视图是平行四是平行四边形形, ,则该几何体的表面几何体的表面积为( (　　　　) )【解析】【解析】选选C.C.图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱, ,该四棱该四棱柱四个侧面都是矩形柱四个侧面都是矩形, ,上、下两个底面是平行四边形上、下两个底面是平行四边形, ,其表面积为其表面积为2×3×3+2×3×2+2×3× =30+6 .2×3×3+2×3×2+2×3× =30+6 .【加固【加固训练】】1.(2015·1.(2015·武武汉模模拟) )已知一个几何体的三已知一个几何体的三视图如如图所示所示, ,则该几何体的表面几何体的表面积为( (　　　　) )A.10π+96A.10π+96B.9π+96B.9π+96C.8π+96C.8π+96D.9π+80D.9π+80【解析】【解析】选选C.C.图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方图中所示的三视图对应的是一个由一个圆柱和一个正方体构成的简单组合体体构成的简单组合体, ,其表面积为其表面积为S=6×4×4+2π×1×4=96+8π.S=6×4×4+2π×1×4=96+8π.2.2.某几何体的三某几何体的三视图如如图所示所示, ,该几何体的表面几何体的表面积是是　　　　　　　　　　　　. .【解析】【解析】由几何体的三视图可知由几何体的三视图可知, ,该几何体是底面为直角梯形的直四该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱棱柱( (如图所示如图所示).).在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,作作DE⊥AB,DE⊥AB,垂足为垂足为E,E,则则DE=4,AE=3,DE=4,AE=3,则则AD=5.AD=5.所以其表所以其表面积为面积为2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.答案答案: :9292考点考点2 2 几何体的体几何体的体积知知··考情考情　　空　　空间几何体的体几何体的体积计算是近几年高考考算是近几年高考考查空空间几何体的一个重要几何体的一个重要考向考向, ,常与空常与空间几何体的三几何体的三视图、空、空间的平行、垂直关系等知的平行、垂直关系等知识综合合, ,主要以主要以选择、填空、填空题的形式出的形式出现. .明明··角度角度命命题角度角度1:1:根据几何体的直根据几何体的直观图计算体算体积【典例【典例2 2】】(2014·(2014·山山东高考高考) )三棱三棱锥P-ABCP-ABC中中,D,E,D,E分分别为PB,PCPB,PC的中点的中点, ,记三棱三棱锥D-ABED-ABE的体的体积为V V1 1,P-ABC,P-ABC的体的体积为V V2 2, ,则 = =　　　　　　　　. .【解题提示】【解题提示】本题考查了空间几何体的体积本题考查了空间几何体的体积, ,可以由底面积和高的比可以由底面积和高的比值求出体积的比值值求出体积的比值. .【规范解答】【规范解答】分别过分别过E,CE,C向平面向平面PABPAB作高作高h h1 1,h,h2 2, ,由由E E为为PCPC的中点得的中点得 由由D D为为PBPB的中点得的中点得S S△ABD△ABD= S= S△ABP△ABP, ,所以所以V V1 1∶V∶V2 2= = 答案答案: :命命题角度角度2:2:根据几何体的三根据几何体的三视图计算体算体积【典例【典例3 3】】(2014·(2014·重重庆高考高考) )某几何体的三某几何体的三视图如如图所示所示, ,则该几何体几何体的体的体积为( (　　　　) )( (本本题源于教材必修源于教材必修2P29B2P29B组T1)T1)A.12A.12B.18B.18C.24C.24D.30D.30【解题提示】【解题提示】直接根据三视图还原为几何体直接根据三视图还原为几何体, ,然后求出该几何体的体然后求出该几何体的体积积. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.由三视图可知由三视图可知, ,该几何体为如图所示该几何体为如图所示的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的的一个三棱柱上面截去一个三棱锥得到的. .三棱柱的体三棱柱的体积为积为 ×3×4×5=30, ×3×4×5=30,截去的三棱锥的体积为截去的三棱锥的体积为 × × × ×3×3×4=6,3×3×4=6,所以该几何体的体积为所以该几何体的体积为24.24.悟悟··技法技法　　计算几何体体算几何体体积的常的常见类型及解型及解题策略策略常常见类型型解　解　题　策　略　策　略球的体球的体积问题直接利用球的体直接利用球的体积公式求解公式求解, ,在在实际问题中要中要根据根据题意作出意作出图形形, ,构造直角三角形确定球的构造直角三角形确定球的半径半径锥体、柱体的体、柱体的体体积问题根据根据题设条件求出所条件求出所给几何体的底面几何体的底面积和高和高, ,直接套用公式求解直接套用公式求解常常见类型型解　解　题　策　略　策　略以三以三视图为载体的几何体体的几何体体体积问题将三将三视图还原原为几何体几何体, ,利用空利用空间几何体的体几何体的体积公式求解公式求解不不规则几何几何体的体体的体积问题常用分割或常用分割或补形的思想形的思想, ,若几何体的底不若几何体的底不规则, ,也需采用同也需采用同样的方法的方法, ,将不将不规则的几何体或的几何体或平面平面图形形转化化为规则的几何体或平面的几何体或平面图形形, ,易易于求解于求解通通··一一类1.(2014·1.(2014·浙江高考浙江高考) )某几何体的三某几何体的三视图( (单位位:cm):cm)如如图所示所示, ,则该几何几何体的体体的体积是是( (　　　　) )A.72cmA.72cm3 3 B.90cm B.90cm3 3 C.108cmC.108cm3 3 D.138cm D.138cm3 3【解析】【解析】选选B.B.由三视图可知由三视图可知, ,原几何体是一个长方体和一个三棱柱的原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体组合体, ,如图所示如图所示: :所以其体积为所以其体积为V=3×4×6+ ×3×4×3=90.V=3×4×6+ ×3×4×3=90.2.(2014·2.(2014·新新课标全国卷全国卷Ⅱ)Ⅱ)正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面的底面边长为2,2,侧棱棱长为 ,D ,D为BCBC中点中点, ,则三棱三棱锥A-BA-B1 1DCDC1 1的体的体积为( (　　　　) ) 【解析】【解析】选选C.C.因为因为B B1 1C C1 1∥BD,∥BD,所以所以BD∥BD∥面面ABAB1 1C C1 1, ,点点B B和和D D到面到面ABAB1 1C C1 1的距离的距离相等相等, ,所以所以 3.(2015·3.(2015·北京模北京模拟) )某几何体的三某几何体的三视图如如图所示所示, ,当当a+ba+b取最大取最大值时, ,这个几何体的体个几何体的体积为( (　　　　) )【解析】【解析】选选D.D.由题意知由题意知, ,该几何体的直观图如图所示该几何体的直观图如图所示, ,且且AC= ,BD=1,BC=b,AB=a.AC= ,BD=1,BC=b,AB=a.设设CD=x,AD=y,CD=x,AD=y,则则x x2 2+y+y2 2=6,x=6,x2 2+1=b+1=b2 2, ,y y2 2+1=a+1=a2 2, ,消去消去x x2 2,y,y2 2得得a a2 2+b+b2 2=8≥ =8≥ 所以所以a+b≤4,a+b≤4,当且仅当当且仅当a=b=2a=b=2时等号成立时等号成立, ,此时此时x= ,y= ,x= ,y= ,所以所以4.(2015·4.(2015·大大连模模拟) )某一几何体的三某一几何体的三视图如如图所示所示, ,则该几何体的体几何体的体积为　　　　　　　　. .【解析】【解析】依题意依题意, ,可知题中的几何体是从一个棱长为可知题中的几何体是从一个棱长为2 2的正方体中挖去的正方体中挖去一个圆锥一个圆锥, ,其中该圆锥的底面半径是其中该圆锥的底面半径是1,1,高是高是2,2,因此该几何体的体积等因此该几何体的体积等于于2 23 3- π×1- π×12 2×2=8- .×2=8- .答案答案: :8-8-考点考点3 3 空空间几何体的外接球、内切球几何体的外接球、内切球问题【典例【典例4 4】】(1)(2014·(1)(2014·湖南高考湖南高考) )一一块石材表示的几何体的三石材表示的几何体的三视图如如图所示所示, ,将将该石材切削、打磨石材切削、打磨, ,加工成球加工成球, ,则能得到的最大球的半径等于能得到的最大球的半径等于( (　　　　) )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4(2)(2015·(2)(2015·西安模西安模拟) )四面体四面体ABCDABCD的四个的四个顶点都在球点都在球O O的球面上的球面上,AB,AB⊥⊥平面平面BCD,△BCDBCD,△BCD是是边长为3 3的等的等边三角形三角形. .若若AB=2,AB=2,则球球O O的表面的表面积为( (　　　　) )A. B.12π C.16π D.32πA. B.12π C.16π D.32π【解题提示】【解题提示】(1)(1)先由三视图画出直观图先由三视图画出直观图, ,判断这个几何体是底面是边判断这个几何体是底面是边长为长为6,8,106,8,10的直角三角形的直角三角形, ,高为高为1212的水平放置的直三棱柱的水平放置的直三棱柱, ,底面的内切底面的内切圆的半径就是得到的最大球的半径圆的半径就是得到的最大球的半径. .(2)(2)将四面体将四面体ABCDABCD补形成正三棱柱补形成正三棱柱, ,转化为正三棱柱的外接球问题求解转化为正三棱柱的外接球问题求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.由三视图画出直观图如图由三视图画出直观图如图, ,判断判断这个几何体是底面是边长为这个几何体是底面是边长为6,8,106,8,10的直角三角形的直角三角形, ,高高为为1212的水平放置的直三棱柱的水平放置的直三棱柱, ,直角三角形的内切圆的直角三角形的内切圆的半径为半径为r= =2,r= =2,这就是得到的最大球的半径这就是得到的最大球的半径. .(2)(2)选选C.C.将四面体将四面体ABCDABCD补形成正三棱柱补形成正三棱柱, ,则其外接球的球心为上、下则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点底面的中心连线的中点, ,底面底面△BCD△BCD的外接圆半径为的外接圆半径为 , ,所以外接球所以外接球的半径的半径R= =2,R= =2,球球O O的表面积的表面积S=4πRS=4πR2 2=16π.=16π.【【规律方法】律方法】空空间几何体与球接、切几何体与球接、切问题的求解方法的求解方法(1)(1)求解球与棱柱、棱求解球与棱柱、棱锥的接、切的接、切问题时, ,一般一般过球心及接、切点作截球心及接、切点作截面面, ,把空把空间问题转化化为平面平面图形与形与圆的接、切的接、切问题, ,再利用平面几何知再利用平面几何知识寻找几何中元素找几何中元素间的关系求解的关系求解. .(2)(2)若球面上四点若球面上四点P,A,B,CP,A,B,C构成的三条构成的三条线段段PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,且且PA=a,PB=b,PC=c,PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素一般把有关元素““补形形””成成为一个球内接一个球内接长方体方体, ,利利用用4R4R2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2求解求解. .【【变式式训练】】(2015·(2015·郑州模州模拟) )已知三棱已知三棱锥P-ABCP-ABC的四个的四个顶点均在半点均在半径径为3 3的球面上的球面上, ,且且PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,则三棱三棱锥P-ABCP-ABC的的侧面面积的的最大最大值为　　　　　　　　. .【解析】【解析】如图所示如图所示, ,因为因为PA,PB,PCPA,PB,PC两两互相垂直两两互相垂直, ,所以三棱锥所以三棱锥P-ABCP-ABC的的外接球就是以外接球就是以PA,PB,PCPA,PB,PC为棱长的长方体的外接球为棱长的长方体的外接球. .设设PA=a,PB=b,PC=c,PA=a,PB=b,PC=c,则有则有a a2 2+b+b2 2+c+c2 2=4×3=4×32 2=36,=36,而三棱锥而三棱锥P-ABCP-ABC的侧面积为的侧面积为S= ab+ bc+ ac.S= ab+ bc+ ac.又又 ( (当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号),), ( (当且仅当当且仅当b=cb=c时取等号时取等号),), ( (当且仅当当且仅当a=ca=c时取等号时取等号),),所以所以S≤ (S≤ (当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号).).答案答案: :1818【加固【加固训练】】1.(2015·1.(2015·吉林模吉林模拟) )已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的的6 6个个顶点都在球点都在球O O的球面上的球面上, ,若若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AAAB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1 1=12,=12,则球球O O的半径的半径为 ( (　　　　) )【解析】【解析】选选C.C.由题意知由题意知, ,三棱柱的底面三角形三棱柱的底面三角形ABCABC为直角三角形为直角三角形, ,其外其外接圆的圆心接圆的圆心O′O′为其斜边为其斜边BCBC的中点的中点, ,连接连接OA,OO′,O′A,OA,OO′,O′A,由勾股定理得由勾股定理得,OA,OA2 2=O′O=O′O2 2+O′A+O′A2 2. .其中其中OA=R,OO′= AAOA=R,OO′= AA1 1=6,O′A= BC= ,=6,O′A= BC= ,所以球所以球O O的半径为的半径为2.(2015·2.(2015·西安模西安模拟) )如如图, ,已知球已知球O O是棱是棱长为1 1的的正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的内切球的内切球, ,则平面平面ACDACD1 1截球截球O O的截面面的截面面积为( (　　　　) )【解析】【解析】选选C.C.平面平面ACDACD1 1截球截球O O的截面为的截面为△ACD△ACD1 1的内切圆的内切圆. .因为正方体的棱长为因为正方体的棱长为1,1,所以所以AC=CDAC=CD1 1=AD=AD1 1= ,= ,所以内切圆的半径所以内切圆的半径r= ,r= ,所以所以S=πrS=πr2 2= = 巧思妙解巧思妙解8 8 巧用巧用补形法解决立体几何形法解决立体几何问题【典例】【典例】(2015·(2015·唐山模唐山模拟) )如如图:△ABC:△ABC中中,AB=8,BC=10,,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥AC=6,DB⊥平面平面ABC,ABC,且且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.则此几何体的体此几何体的体积为　　　　　　　　. .【常规解法】【常规解法】如图如图, ,取取CM=AN=BD,CM=AN=BD,连接连接DM,MN,DN,DM,MN,DN,用用““分割法分割法””把原几把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥. .所以所以V V几何体几何体=V=V三棱柱三棱柱+V+V四棱锥四棱锥. .由题知三棱柱由题知三棱柱ABC-NDMABC-NDM的体积为的体积为V V1 1= ×8×6×3=72.= ×8×6×3=72.四棱锥四棱锥D-MNEFD-MNEF的体积为的体积为: : 则几何体的体积为则几何体的体积为:V=V:V=V1 1+V+V2 2=72+24=96.=72+24=96.答案答案: :9696【巧妙解法】【巧妙解法】用用““补形法补形法””把原几何体补成一个直三把原几何体补成一个直三棱柱棱柱, ,使使AA′=BB′=CC′=8,AA′=BB′=CC′=8,所以所以V V几何体几何体= V= V三棱柱三棱柱= ×S= ×S△ABC△ABC·AA′= ×24×8=96.·AA′= ×24×8=96.答案答案: :9696【方法指【方法指导】】(1)(1)补形法的形法的应用思路用思路:“:“补形法形法””是立体几何中一种常是立体几何中一种常见的重要方法的重要方法, ,在解在解题时, ,把几何体通把几何体通过““补形形””补成一个完整的几何成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中体或置于一个更熟悉的几何体中, ,巧妙地破解空巧妙地破解空间几何体的体几何体的体积等等问题, ,常常见的的补形法有形法有对称称补形、形、联系系补形与形与还原原补形形, ,对于于还原原补形形, ,主要涉及台体中主要涉及台体中““还台台为锥”.”.(2)(2)补形法的形法的应用条件用条件: :当某些空当某些空间几何体是某一个几何体的一部分几何体是某一个几何体的一部分, ,且求解的且求解的问题直接求解直接求解较难入手入手时, ,常用常用该法法. .【【类题试解】解】如如图所示所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为ABAB的中点的中点, ,将将△ADE△ADE与与△BEC△BEC分分别沿沿ED,ECED,EC向上折起向上折起, ,使使A,BA,B重合重合, ,则形形成的三棱成的三棱锥的外接球的表面的外接球的表面积为　　　　　　　　　　　　. .【常规解法】【常规解法】由已知条件知由已知条件知, ,平面图形中平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折折叠后得到一个正四面体叠后得到一个正四面体. .作作AF⊥AF⊥平面平面DEC,DEC,垂足为垂足为F,FF,F即为即为△DEC△DEC的中心的中心. .取取ECEC的中点的中点G,G,连接连接DG,AG,DG,AG,过球心过球心O O作作OH⊥OH⊥平面平面AEC,AEC,则垂足则垂足H H为为△AEC△AEC的的中心中心. .所以外接球半径可利用所以外接球半径可利用△OHA∽△GFA△OHA∽△GFA求得求得. .因为因为AG= ,AF=AG= ,AF= AH= , AH= ,在在△AFG△AFG和和△AHO△AHO中中, ,根据三角形相似可知根据三角形相似可知 外接球的表面积外接球的表面积S S球球= = 答案答案: : 【巧妙解法】【巧妙解法】由已知条件知由已知条件知, ,平面图形中平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体折叠后得到一个正四面体. .如图所示如图所示, ,把正四面体放在把正四面体放在正方体中正方体中, ,显然显然, ,正四面体的外接球就是正方体的外接正四面体的外接球就是正方体的外接球球. .因为正四面体的棱长为因为正四面体的棱长为1,1,所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为 , ,所以外接球直径所以外接球直径2R= 2R= 所以所以R= ,R= ,所以外接球的表面积所以外接球的表面积S S球球= = 答案答案: : 。