高中数学 2.3.1平面向量基本定理课件 新人教A版必修4.ppt

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理 一、平面向量基本定理一、平面向量基本定理 定理定理条件条件e1 1, ,e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个______________向量向量结论结论对于这一平面内的对于这一平面内的__________向量向量a,_____________,_____________实数实数λλ1 1,λ,λ2 2, ,使使a=__________=__________基底基底______________的向量的向量e1 1, ,e2 2叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内__________向量向量的一组基底的一组基底不共线不共线任意任意有且只有一对有且只有一对λλ1 1e1 1+λ+λ2 2e2 2不共线不共线所有所有判断判断:(:(正确正确的打的打““√√””, ,错误的打错误的打““×”×”) )(1)(1)平面向量的一组基底平面向量的一组基底e1 1, ,e2 2一定都是非零向量一定都是非零向量.(.(　　　　) )(2)(2)在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中, ,若若a= =0, ,则则λλ1 1=λ=λ2 2=0.(=0.(　　　　) )(3)(3)在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中, ,若若a∥∥e1 1, ,则则λλ2 2=0;=0;若若a∥∥e2 2, ,则则λλ1 1=0.(=0.(　　　　) )(4)(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.(.(　　　　) )提示：提示：(1)(1)正确正确. .平面向量基本定理的前提条件是平面向量基本定理的前提条件是e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,若若e1 1, ,e2 2中有零向量中有零向量, ,而零向量和任意向量共线而零向量和任意向量共线, ,这与定理的前这与定理的前提矛盾提矛盾, ,故故e1 1, ,e2 2中不可能有零向量中不可能有零向量. .(2)(2)正确正确. .当当a= =0即即λλ1 1e1 1+λ+λ2 2e2 2=0=0时时, ,因为因为0 0·e1 1+0+0·e2 2= =0, ,所以根所以根据实数据实数λλ1 1,λ,λ2 2相对于基底相对于基底e1 1, ,e2 2唯一性知唯一性知λλ1 1=λ=λ2 2=0.=0.(3)(3)正确正确. .当当a∥∥e1 1时时, ,a=λ=λe1 1=λ=λ1 1e1 1+λ+λ2 2e2 2, ,所以根据实数所以根据实数λλ1 1,λ,λ2 2相对于基底相对于基底e1 1, ,e2 2唯一性知唯一性知λλ1 1=λ,λ=λ,λ2 2=0.=0.同理可知当同理可知当a∥∥e2 2时时λλ1 1=0.=0.(4)(4)错误错误. .同一平面的基底可以不同同一平面的基底可以不同, ,只要它们不共线只要它们不共线, ,是不唯是不唯一的一的. .答案答案: :(1)√(1)√　　(2)√(2)√　　(3)√(3)√　　(4)(4)××二、两向量的夹角与垂直二、两向量的夹角与垂直 条件条件两个两个__________向量向量a和和b产生产生过程过程作向量作向量则则__________________叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角. .范围范围______________________________特殊特殊情况情况θ=0θ=0°°a与与b__________θ=90θ=90°°a与与b_____,_____,记作记作__________θ=180θ=180°°a与与b__________非零非零∠∠AOB=θAOB=θ0 0°°≤θ≤180≤θ≤180°°垂直垂直a⊥⊥b反向反向同向同向思考：思考：等边三角形等边三角形ABCABC中，向量中，向量 与与 的夹角是的夹角是6060°°吗？吗？提示：提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形同，所以等边三角形ABCABC中，向量中，向量 与与 的夹角是的夹角是120120°°而而不是不是6060°°. .【知识点拨【知识点拨】】1.1.对平面向量基本定理的三点说明对平面向量基本定理的三点说明(1)(1)实质实质平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式. .(2)(2)唯一性唯一性平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的是唯一的. .(3)(3)体现的数学思想体现的数学思想这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基题时，我们可以选择恰当的基底，将问题中涉及的向量用基底化归，使问题得以解决底化归，使问题得以解决. . 2.2.正确理解向量的夹角正确理解向量的夹角(1)(1)向量夹角的几何表示向量夹角的几何表示. .依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角. .如图如图①①，，②②，，③③，，④④，，⑤⑤，已知两向量，已知两向量a，，b，作，作 则则∠AOB∠AOB为为a与与b的夹角的夹角. . (2)(2)注意事项注意事项. .①①向量的夹角是针对非零向量定义的；向量的夹角是针对非零向量定义的；②②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是［［0,π0,π］和］和类型类型 一一 平面向量基本定理的理解和应用平面向量基本定理的理解和应用 【典型例题【典型例题】】1.1.已知平行四边形已知平行四边形ABCDABCD，下列各组向量中，是该平面内所有，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是向量基底的是( )( )2.2.如图，在如图，在△ABC△ABC中，点中，点D D，，E E分别在边分别在边ABAB，，ACAC上，上，DE∥BCDE∥BC，，AD=2BDAD=2BD，已知，已知(1)(1)用向量用向量a，，b分别表示向量分别表示向量(2)(2)作出向量作出向量 分别在分别在a, ,b方向上的方向上的分向量分向量( (写出结论，不要求写作法写出结论，不要求写作法) )．．【解题探究【解题探究】】1.1.两个向量可以作为基底的条件是什么？两个向量可以作为基底的条件是什么？2.(1)2.(1)如何确定点如何确定点E E在在ACAC上的位置？用已知向量表示其他向量上的位置？用已知向量表示其他向量常用哪些知识？常用哪些知识？(2)(2)作出一个向量分别在作出一个向量分别在a,ba,b方向上的分向量的基本步骤是什方向上的分向量的基本步骤是什么？么？探究提示：探究提示：1.1.两个向量可以作为基底的条件是不共线两个向量可以作为基底的条件是不共线. .2.(1)2.(1)根据根据DE∥BCDE∥BC和和AD=2BDAD=2BD，利用相似三角形的性质确定点，利用相似三角形的性质确定点E E在在ACAC上的位置上的位置. .用已知向量表示其他向量常用到向量加法、减用已知向量表示其他向量常用到向量加法、减法和数乘向量的几何意义法和数乘向量的几何意义. .(2)(2)基本步骤：基本步骤：①①平移使向量共起点平移使向量共起点; ;②②作平行线构造平行四边形作平行线构造平行四边形. .【解析【解析】】1.1.选选D.D.由于由于 不共线，则是一组基底．不共线，则是一组基底．2.(1)2.(1)因为因为DE∥BCDE∥BC，所以，所以∠AED=∠ACB∠AED=∠ACB，，∠ADE=∠ABC∠ADE=∠ABC，，所以所以△△ADE∽△ABC.ADE∽△ABC.又因为又因为AD=2BDAD=2BD，所以，所以所以所以 因为因为所以所以(2)(2)如图所示，向量如图所示，向量 在在a，，b方向上的分向量分别是方向上的分向量分别是【拓展提升【拓展提升】】1.1.平面向量基本定理中基底的理解平面向量基本定理中基底的理解(1)(1)两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为不共线．两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为不共线．(2)(2)基底不唯一，不共线就能构成基底．基底不唯一，不共线就能构成基底．2.2.平面向量基本定理的作用平面向量基本定理的作用(1)(1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点据，是一个承前启后的重要知识点. .(2)(2)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量量. .用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算边形法则，进行向量的加减法运算. .要注意适当选择向量所在要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量. .【变式训练【变式训练】】如图，已知点如图，已知点D D为为△ABC△ABC中中ACAC边上一点，边上一点，且且 设设(1)(1)在图中画出向量在图中画出向量 分别在分别在a，，b方向上的分向量方向上的分向量. .(2)(2)试用试用a，，b表示向量表示向量【解析【解析】】(1)(1)如图，过点如图，过点D D作作DE∥BCDE∥BC，，交交ABAB于于E E，作，作DF∥ABDF∥AB，交，交BCBC于于F F，，向量向量 在在a方向上的分向量是方向上的分向量是向量向量 在在b方向上的分向量是方向上的分向量是(2)(2)因为因为 所以所以 所以所以所以所以类型类型 二二 向量的夹角问题向量的夹角问题 【典型例题【典型例题】】1.1.若若a≠≠0，且，且b≠≠0，且，且| |a|=||=|b|=||=|a- -b| |，则，则a与与a+ +b的夹角的夹角是是___________.___________.2.2.已知两非零向量已知两非零向量a与与b的夹角为的夹角为8080°°，试求下列向量的夹角：，试求下列向量的夹角：(1)(1)a与－与－b. (2)2. (2)2a与与3 3b. .【解题探究【解题探究】】1.1.根据向量加法和减法的几何意义，向量根据向量加法和减法的几何意义，向量a，，b，，a－－b，，a＋＋b是否可以出现在同一个平行四边形中？是否可以出现在同一个平行四边形中？2.2.依据向量夹角的定义可知，求两个向量的夹角关键是什么？依据向量夹角的定义可知，求两个向量的夹角关键是什么？探究提示：探究提示：1.1.首先平移向量首先平移向量a，，b使两个向量共起点，然后以两个向量为使两个向量共起点，然后以两个向量为邻边作平行四边形，则邻边作平行四边形，则a－－b，，a＋＋b恰好是此平行四边形的对恰好是此平行四边形的对角线所表示的向量角线所表示的向量. .2.2.求两个向量的夹角关键是让两个向量共起点求两个向量的夹角关键是让两个向量共起点. .【解析【解析】】1.1.如图所示，作如图所示，作以以OA,OBOA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACB,OACB,则则所以所以∠AOC∠AOC是是a与与a+ +b的夹角的夹角, ,因为因为| |a|=||=|b|=||=|a- -b| |，，所以所以△OAB△OAB是等边三角形，平行四边形是等边三角形，平行四边形OACBOACB是菱形是菱形, ,所以所以答案：答案：3030°°2.(1)2.(1)由向量夹角的定义，如图由向量夹角的定义，如图①①，向量，向量a与－与－b的夹角为的夹角为100100°°. .(2)(2)如图如图②②，向量，向量2 2a与与3 3b的夹角为的夹角为8080°°. .【互动探究【互动探究】】题题1 1中，若中，若| |a|=||=|b|=||=|a+ +b| |，求，求a与与a+ +b的夹角的夹角. .【解析【解析】】如图所示，作如图所示，作以以OA,OBOA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACB,OACB,则则所以所以∠AOC∠AOC是是a与与a+ +b的夹角的夹角. .因为因为| |a|=||=|b|=||=|a+ +b| |，，所以所以△OAC△OAC是等边三角形，平行四边形是等边三角形，平行四边形OACBOACB是菱形是菱形, ,所以所以∠∠AOC=60AOC=60°°. .【拓展提升【拓展提升】】两向量夹角的实质和求解两向量夹角的实质和求解(1)(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决. .(2)(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照重合，作出两个向量的夹角，按照““一作二证三算一作二证三算””的步骤的步骤求出求出. .类型类型 三三 任意一向量基底表示的唯一性的应用任意一向量基底表示的唯一性的应用 【典型例题【典型例题】】1.(20131.(2013··遵义高一检测遵义高一检测) )在在△ABC△ABC中，已知中，已知D D是是ABAB边上一点，边上一点，若若 则则λ=( )λ=( )2.2.如图所示，在如图所示，在△OAB△OAB中，中， 点点M M是是ABAB的靠近的靠近B B的一个三等分点，点的一个三等分点，点N N是是OAOA的靠近的靠近A A的一个四等分点的一个四等分点. .若若OMOM与与BNBN相交于点相交于点P P，求，求【解题探究【解题探究】】1.1.题题1 1中，向量中，向量 与与 是否可以作为表示这一是否可以作为表示这一平面内所有向量的一组基底？基底给定时，向量分解形式唯平面内所有向量的一组基底？基底给定时，向量分解形式唯一吗？一吗？2.2.题题2 2中，与点中，与点P P有关的共线向量有哪些？有关的共线向量有哪些？探究提示：探究提示：1.1.由题意知由题意知 不共线，故可以作为一平面内所有向量的不共线，故可以作为一平面内所有向量的基底基底. .基底给定时，向量分解形式唯一基底给定时，向量分解形式唯一. .2.2.题题2 2中，与点中，与点P P有关的共线向量有有关的共线向量有 与与 共线，共线， 与与共线共线. .【解析【解析】】1.1.选选D.D.因为因为所以所以所以所以又因为又因为 且且 与与 不共线，不共线，所以所以2.2.因为因为 与与 共线，故可设共线，故可设又又 与与 共线，可设共线，可设所以所以 解得解得 所以所以【拓展提升【拓展提升】】1.1.任意一向量基底表示的唯一性的理解任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一条件一平面内任一向量平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量和同一平面内两个不共线向量e1 1, ,e2 2条件二条件二a=λ=λ1 1e1 1+μ+μ1 1e2 2且且a=λ=λ2 2e1 1+μ+μ2 2e2 2结论结论2.2.任意一向量基底表示的唯一性的应用任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量平面内两个不共线向量e1 1, ,e2 2的线性组合的线性组合λλ1 1e1 1+λ+λ2 2e2 2. .在具体求在具体求λλ1 1,λ,λ2 2时有两种方法时有两种方法: :(1)(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理. .(2)(2)利用待定系数法利用待定系数法, ,即利用定理中即利用定理中λλ1 1,λ,λ2 2的唯一性列方程组的唯一性列方程组求解求解. .【变式训练【变式训练】】如图所示，在如图所示，在△ABC△ABC中，点中，点M M是是ABAB的中点，的中点，且且 BNBN与与CMCM相交于相交于E E，设，设 试用基底试用基底a，，b表示向量表示向量【解析【解析】】易得易得由由N N，，E E，，B B三点共线，设存在实数三点共线，设存在实数m m，，满足满足由由C C，，E E，，M M三点共线，设存在实数三点共线，设存在实数n n满足：满足：所以所以 由于由于a，，b为基底，为基底，所以所以 解之得解之得 所以所以【易错误区【易错误区】】平面向量基本定理理解不准确致误平面向量基本定理理解不准确致误【典例【典例】】(2013(2013··遵义高一检测遵义高一检测) )如图如图, ,在平面内有三个向量在平面内有三个向量 满足满足 与与 的夹角为的夹角为120120°°，， 与与 的夹角为的夹角为3030°°，，设设 则则m+nm+n等于等于( )( )A. B.6 C.10 D.15A. B.6 C.10 D.15【解析【解析】】选选D.D.如图，如图，过过C C作作CA′∥OBCA′∥OB，交，交OAOA的延的延长线于点长线于点A′A′，过，过C C作作CB′∥OACB′∥OA，，交交OBOB的延长线于点的延长线于点B′B′，，①①因为因为∠AOB∠AOB＝＝120120°°，，∠AOC∠AOC＝＝3030°°，，所以所以∠BOC∠BOC＝＝∠AOB∠AOB－－∠AOC∠AOC＝＝9090°°，，在在Rt△B′OCRt△B′OC中，中，∠B′CO=∠AOC∠B′CO=∠AOC＝＝3030°°，，OC=OC=因为四边形因为四边形OA′CB′OA′CB′是平行四边形，是平行四边形，所以所以因为因为 与与 共线，共线， 与与 共线共线, ,所以所以所以所以由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知m=10m=10，，n=5n=5，，②②故故m+nm+n=15.=15.【误区警示【误区警示】】【防范措施【防范措施】】 1.1.重视向量线性运算几何意义重视向量线性运算几何意义向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及向量减法和数向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及向量减法和数乘向量的几何意义是向量运算的基础，解题时要重视这些基乘向量的几何意义是向量运算的基础，解题时要重视这些基础知识的应用础知识的应用. .例如，本例中表示向量例如，本例中表示向量 的有向线段为平行的有向线段为平行四边形的对角线，表示向量四边形的对角线，表示向量 和和 的有向线段为邻边，作的有向线段为邻边，作出平行四边形才可以用向量出平行四边形才可以用向量 和和 表示向量表示向量2.2.理解任意一向量基底表示的唯一性理解任意一向量基底表示的唯一性利用任意一向量基底表示的唯一性，即利用任意一向量基底表示的唯一性，即a＝＝λλ1 1e1 1＋＋μμ1 1e2 2且且a＝＝λλ2 2e1 1＋＋μμ2 2e2 2，则，则 可以构建方程组，使得问题可以构建方程组，使得问题获解．如本例中，由获解．如本例中，由 及及 与与 不共不共线可知线可知m=10m=10，，n=5.n=5.【类题试解】【类题试解】如图所示，两射线如图所示，两射线OAOA与与OBOB交于交于O O，，给出向量：给出向量：这些向量中以这些向量中以O O为起点，终点在阴影区域内的为起点，终点在阴影区域内的是是___________(___________(写出所有符合要求向量的序号写出所有符合要求向量的序号) )．．【解析】【解析】假设线段假设线段OAOA的三个四等分点分别为的三个四等分点分别为E E，，F F，，G G，线段，线段OBOB的中点为的中点为P P，，ABAB的中点为的中点为Q Q，由向，由向量加法的平行四边形法则知，量加法的平行四边形法则知，①①满足题意；满足题意；由向量加法的平行四边形法则知，终点在阴影区域内，由向量加法的平行四边形法则知，终点在阴影区域内，②②符符合题意；合题意； 由向量减由向量减法的几何意义知，终点不在阴影区域内，法的几何意义知，终点不在阴影区域内，③③不合题意；不合题意； ④④不合题意不合题意. .答案：答案：①②①②1.1.下面三种说法：下面三种说法：①①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；量的基底；②②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；的基底；③③零向量不可作为基底中的向量零向量不可作为基底中的向量. .其中正确的说法是其中正确的说法是( )( )A.①② B.②③ C.①③ D.①②③A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【解析】【解析】选选B.B.平面内向量的基底不唯一，在同一平面内，任平面内向量的基底不唯一，在同一平面内，任意一对不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量意一对不共线的向量都可以作为基底；而零向量与任何向量共线，故不可作为基底中的向量，故共线，故不可作为基底中的向量，故②③②③正确，选正确，选B B．．2.2.已知向量已知向量e1 1与与e2 2不共线，实数不共线，实数x x，，y y满足满足(3x(3x－－4y)4y)e1 1＋＋(2x(2x－－3y)3y)e2 2＝＝6 6e1 1＋＋3 3e2 2，则，则x x－－y y等于等于( )( )A.3 B.-3 C.0 D.2A.3 B.-3 C.0 D.2【解析】【解析】选选A.A.因为因为(3x(3x－－4y)4y)e1 1＋＋(2x(2x－－3y)3y)e2 2＝＝6 6e1 1＋＋3 3e2 2，，所以所以(3x(3x－－4y4y－－6)6)e1 1＋＋(2x(2x－－3y3y－－3)3)e2 2＝＝0，，所以所以由由①①－－②②得得x x－－y y－－3 3＝＝0 0，即，即x x－－y y＝＝3.3.3.3.若向量若向量a与与b的夹角为的夹角为6060°°，则向量－，则向量－a与－与－b的夹角是的夹角是( )( )A.60A.60°° B.120 B.120°° C.30 C.30°° D.150 D.150°°【解析】【解析】选选A.A.将向量将向量a，，b移至共同起点移至共同起点O O，如图所示，则由对，如图所示，则由对顶角相等可得向量－顶角相等可得向量－a与－与－b的夹角也是的夹角也是6060°°. .4.△ABC4.△ABC中，若中，若D D，，E E，，F F依次是依次是 的四等分点，的四等分点，则以则以 为基底时，为基底时，CF=_________.CF=_________.【解析】【解析】因为因为D D，，E E，，F F依次是依次是 的四等分点的四等分点, ,所以所以所以所以答案：答案：5.5.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M M，， 在在DBDB延长线上取点延长线上取点H H，使，使BH=MBBH=MB，若，若则则λλ1 1=__________=__________，，λλ2 2=_______________.=_______________.【解析】【解析】因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，对角线对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点M,M,所以所以DM=MBDM=MB，，又又BH=MBBH=MB且且D D，，M M，，B B，，H H共线共线, ,所以所以又因为又因为 且且a与与b不共线不共线, ,所以所以答案：答案：6.6.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中， H H，，M M是是ADAD，，DCDC的的中点，中点，BFBF＝＝ BCBC，以，以a，，b为基底表示向量为基底表示向量 与与【解析】【解析】由由H H，，M M，，F F所在位置有：所在位置有：。