概率统计复习辅导材料.doc

第一章 随机事件及其概率本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：（1）古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算；（2）利用事件的关系与独立性进行概率计算；（3）利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算例题分析本章的重点是事件概率的计算：1． 用古典概型，几何概型的定义计算概率例 随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名优秀生，求：（1） 每个班各有一名优秀生的概率；（2） 3名优秀生分在同一个班的概率解 将15名新生平均分配到三个班级中的总分法数为： （1） 事件={将15名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生}，完成事件可分两步，先把3名优秀生各班分1名共有种分法，再把3名新生平均分配到三个班级共有种分法，由乘法原理知中完成事件的方法数即事件包含的基本事件数2) 事件={将15名新生平均分配到三个班级中去，其中3名优秀生分在同一个班}完成事件可分两步，先把3名优秀生分在同一个班，共有3种分法，对于这每一种分法，其余12名非优秀生的分法（一个班2名，另两个班各5名）共有种分法，由乘法原理知中完成事件的方法数即事件包含的基本事件数。

故 例（852） 从共10个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相等，取后放回，先后取出7个数，试求下列各事件的概率；1º {7个数中不含1和10}； 2º {数10恰好出现2次} 解 由于是有放回地抽取，故基本事件总数为107，因此1º 2º 例 在区间（0，1）中随机地取出两个数，则事件{两数之和小于}的概率为 解 如图1.2知2．利用概率的基本性质计算事件概率例（859） 设为随机事件，，则＝ 解 因为，所以例（860） 设事件与相互独立且互不相容，则min 解 由与相互独立知，又因与互不相容，故，所以因此，min3．利用条件概率、乘法公式进行计算例（868） 某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为3／10，第二次落地打破的概率为4／10，第三次落地打破的概率为9／10，求透镜落地三次被打破的概率分析 第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地才打破的条件概率，同样，第三次落地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下，第三次落地才打破的条件概率。

解 设：“透镜第次落地被打破” A：“落地三次，透镜被打破”，依题意，且，两两互不相容，故有算法1算法2 先求所以，例（854） 从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止求：1º 摸球次数恰好为6次的概率； 2º摸球次数不少于6次的概率解 设：“直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为次”，，则事件发生必为第次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为，剩下次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复次，每次出现的概率都是，因此1º 2º 注：此题也可用古典概型计算4．利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率例（870） 有两个箱子，第一个箱子有3个白球2个红球，第二个箱子有4个白球4个红球，现从第一个箱子中随机地取出1个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取1个球，此球是白球的概率为 ，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 分析 本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式设{从第个箱子中取出的球是白球}，＝1，2，由条件知，，故由全概率公式得第二问由贝叶斯公式有解 应分别填和例 有两个箱子，第一个箱子有5个白球10个红球，第二个箱子有5个白球10个红球，现从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子里，最后从第一个箱子中任取2个球,求2个球全是红球的概率.分析 本题是考查全概率公式.解 设={从第一个箱子中任取出1个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一个箱子后第一个箱子中含有个红球}，＝4,5,6，{最后从第一个箱子中任取2个球全是红球}由条件知，=(先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出白球) =(先从第一个箱子中任取出红球, 后从第二个箱子中取出红球) +(先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出白球) =(先从第一个箱子中任取出白球, 后从第二个箱子中取出红球) ,,故由全概率公式得5．利用贝努里概型公式进行计算例 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有根火柴，求这时另一盒还的根火柴的概率。

解 假若甲盒已空而乙盒还剩根火柴，则在这之前一定已经取过次火柴，每次取甲、乙盒的概率为，在次中，恰有次取于甲盒，次取于乙盒，第次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为故求一盒空而另一盒还剩根火柴的概率为 例（877） 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格仪器不能出厂，现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：1º全部仪器能出厂的概率；2º其中恰好有两台不能出厂的概率；3º其中至少有两台不能出厂的概率分析 由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的台仪器中能出厂的仪器数服从参数为的二项分布，问题的关键是的确定解 设{仪器需要进一步调试}，{仪器能出厂}；则{仪器能直接出厂}，{仪器经调试后能出厂}由条件知记为所生产的台仪器中能出厂的台数，则分布，故 6．关于最小样本容量的简单求法例（878） 已知步枪射击命中目标的概率，问至少需要多少支步枪才能保证击中目标的概率不少于0.9？分析 此类问题首先设所需步枪数为，再根据题意写出计算有关事件的概率式子，把对概率的要求用不等式表示出来，从而解出。

解 设为支步枪中命中目标的次数，则由条件知，故最少步枪数为5支7．配对模型例 从5双不同的手套中任取4只，求至少有两只配成一双的概率解 记{4只手套中至少有两只配成一双}，有二种解法：1º利用对立事件计算2º用配对法计算记{取得了第双手套}，例 将封信从信封中取出后随机地装入，求至少有一封放进它原来信封内的概率，并计算解 此题用逆事件难以得到一般公式，故选用配对法计算，记{第封信装入第个信封中}，，则小结 本章重点是随机事件的计算，考生除应熟记有关的公式，根据题目的条件作出正确的计算外，还要熟练地掌握一些技巧（如利用逆事件等），以简化解法，提高效率第二章 随机变量及其分布1． 离散型随机变量的分布律和分布函数例（882） 设随机变量的分布律为（为参数）求（1）解 因为，所以，（1）；（2）为3的倍数）＝例（886） 假设飞机在飞行中引擎不损坏的概率为，且各引擎是否损坏相互独立，若有半以上的引擎正常运行，飞机就可以成功地飞行，问值多大时，5引擎飞机比3引擎飞机更安全解 设表示飞行中飞机引擎不损坏数，对5引擎机，可视为5重贝努利试验，对3引擎机，可视为3重贝努利试验，于是对5引擎机，的可能值为0，1，2，3，4，5，{5引擎机成功飞行}这一事件等价于，故5引擎机成功地飞行的概率为同理，3引擎机成功地飞行的概率为故5引擎机比3引擎机更安全的充分条件，化简后得故得，当，5引擎机比3引擎机飞行更安全。

例（888） 某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记试求随机变量和的联合概率分布解 （，）为二维离散型随机变量，其可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），故例 设某班车起点站上的乘客数服从参数为的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以表示中途下车的人数，求二维随机变量的分布律解例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红、绿信号灯的路口，每个信号灯为“红或绿”与其它信号灯为“红或绿”相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律解 此题是有限几何分布模型，求的分布律2．连续型随机变量的分布密度和分布函数例（892） 设随机变量的分布函数为试求：1º系数与；2º；3º的分布密度解 1º由分布函数的性质，知解方程组得：即 3º例（894） 设随机变量在[2，5]上服从均匀分布，现对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率解 由条件知的分布密度为令表示三次独立观测是中观测值大于3的次数，则服从，其中为故有 例（20021） 设随机变量服从正态分布N（），且二次方程无实根的概率为本1/2，则。

解 由二次方程无实根的条件知 故 例（896） 设随机变量的概率密度为试求1º系数；2º落在圆内的概率解：所以 2º 设注 利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错例（898） 考虑一元二次方程，其中分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率和有重根的概率解 方程有实根的充要条件是判别式或，由条件知，本枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，且B123456使的基本事件个数012466使的基本事件个数010100故使方程有实根的基本事件个数为0＋1＋2＋4＋6＋6＝19所以，使方程有重根的充要条件是，满足此条件的基本事件个数为0＋1＋0＋1＋0＋0＝2因此 例（900） 设随机变量均匀分布于以(1,0)，(0,1)，(－1,0)，(0,－1)四项点所构成的正方形中，求与的边缘密度函数解 如图2.31º当时，当时，所以2º类似1º可得例 设随机变量的绝对值不大于1；在事件出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比。

试求（1）的分布函数；（2）取负值的的概率解 （1）由条件知，当时 故在条件下，事件的条件概率为 (注意该式？）于是，对于,有 (注意该式？）==; 对于,有.从而(2) 取负值的的概率.3．随机变量函数的分布例 设随机变量，的概率分布为且，求的联合分布解 为二维离散型随机变量，由条件知故 由联合分布与边缘分布的关系立得例（910） 设随机变量在(0，)内服从均匀分布，求随机变量的分布密度。