函数项级数一致收敛的几个判别法数学与应用数学专业毕业论文.doc

数学与统计学院2012届毕业论文分类号 O174.1 编 号 2012010743 毕业论文 题 目 函数项级数一致收敛的几个判别法 学 院 数学与统计学院 姓 名 郝金贵 专 业 数学与应用数学 学 号 281010743 研究类型 基础研究 指导教师 贾凤玲 提交日期 2012年5月22日 1 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：函数项级数一致收敛的判别法的讨论郝金贵(天水师范学院 数学与统计学院 ,甘肃,天水,741000)摘要：本文着重介绍函数项级数一致收敛的几种判别法,首先通过问题引入探讨函数项级数一致收敛的概念,然后进一步研究了几种判别方法,即对数判别法；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法等,并对每种新方法给予严格证明.关键字：函数项级数；一致收敛性；积分判别法；有效充要判别法；加逼收敛判别法；比较判别法.The Discussion on Some Method for Uniform Convergence of Function Series HaoJinguiAbstract: the paper gives several discriminant method on uniform convergence of Function Series,firstly, discusses a series of function uniform convergence concepts by introducing a problem,and then further researches on several identifying method, such that logarithm discriminant method,integral discriminant method,effective sufficient discriminant method,and forced convergence test, etc,and new methods of each given strict proof.Keywords: function Series;uniform convergence;integral discriminant method;effective sufficient discriminant method;and forced convergence test;more discriminant method目录引言 11.函数项级数一致收敛的定义 11.1函数项级数一致收敛概念引入 12.函数项级数一致收敛的判别方法 22.1比式判别法 22.2根式判别法 22.3对数判别法 32.4积分判别法 32.4.1正项级数判别法的回顾 32.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法 42.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 52.6有效充要判别法 82.7夹逼收敛判别法 102.8比较判别法 113.正项函数项级数一致收敛的几个新的判别法及证明 12参考文献 16函数项级数一致收敛的几个判别法的讨论引言 众所周知,函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多及其相似的地方,对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现他们在判别方法上极其相似,特别是在判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法,Abel判别法,Dirichlete判别法等,这里就是根据数项级数判别法探讨几个函数项级数一致收敛的判别法.1 函数项级数一致收敛的定义1.1函数项级数一致收敛概念引入 我们先来看一下下面这样一个例子： 例1 设u1(x) = x, un(x) = x n－x n-1( n=2,3,……),x[0,1]由上知,Sn(x)=k(x) = x n, S(x) = ,当x(0,1) 时,| Sn(x)－S(x) | = x n . | Sn(x)－ S(x) | = x n N,成立,则函数项级数在D上一致收敛.定理1有极限形式： 定理2.2 设为定义在数集D上正的函数列,记,若 0≤q<1,且在D上一致有界,则函数项级数在D上一致收敛.2.2根式判别法 定理2.3 设un(x)为定义在数集D上的函数列,若存在正整数N,使得,对成立,则函数项级数在D上一致收敛. 注：当定理3条件成立时,级数在D上还绝对收敛. 定理2.4 设为定义在数集D上的函数列,若对成立,则函数项级数在D上一致收敛.2.3对数判别法 定理2.5 设为定义在数集D上正的函数列,若=p(x)存在,那么： ⑴若对,则函数项级数在D上一致收敛； ⑵若对, 则函数项级数在D上不一致收敛. 证明 由定理条件知,对,有,即,则当成立时,有,而p级数当p大于1时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛；而当对成立时,有当p<1时发散,从而函数项级数在D上不一致收敛. 例3 设 为定义在D=[0,1]上的函数列,由于： ,0≤≤2, 由定理2知函数项级数在[0,1]上一致收敛. 例4 函数项级数在上一致收敛(其中r为大于1的实常数).因为,由定理4知结论成立.2.4积分判别法2.4.1正项级数判别法的回顾 定理2.6 设f为[1,+)上的非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散. 例5 讨论级数的敛散性. 解 首先研究反常积分的敛散性,由=,当p>1时收敛,p≤1发散.根据定理1知级数在p>1时收敛,在p≤1时发散.2.4.2函数项级数一致收敛的积分判别法 定理2.7 （函数项级数一致收敛的柯西准则） 函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一正整数N,使得当n>N时对一切x和一切正整数p,都有. 定理2.8 （含参变量反常积分一致收敛的柯西准则）含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任意给定的正数,总存在某一实数M>c,使得当>M时,对一切x[a,b]都有. 定理2.9 设f(x,y)为区域R={(x,y)|a≤x≤b,}上的非负函数,如果f(x,y)在区间[1,)上关于y为单调减函数,那么函数项级数与含参变量反常积分在区间[a,b]上具有相同的一致收敛性.证明 由假设为区域R =上的非负函数,并且关于y为上的减函数,对区间[a,b]上任意固定的x以及任意n≥2的自然数,我们有 ⑴①若含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛,则由定理3可得,对任意给定的正数,总存在某一实数M>1,使得当n>M+1时,对一切x[a,b]和一切正整数p,都有.由⑴式,对一切x[a,b]有 .由定理2可知：函数项级数在区间[a,b]上一致收敛.⑵若函数项级数在区间[a,b]上一致连续,由定理3可得：对任意给定的正数,总尊在某一正数N,使得当n>N时,对一切x和一切正整数p,都有.而对任意的,令（这样的正整数和p总是存在的）,由⑴式,对一切有.由定理4可知：含参变量反常积分在[a,b]上一致收敛. 例6 设,证明含参变量积分在[0,1]上一致收敛. 证明 令,易见,对每个n,为[0,1]上的增函数,故有 ,n=1,2...又当t≥1时,有不等式,所以 以收敛级数为优级数,推得在[0,1]上一致收敛.另外,对任意的有,并且对任意固定即是区间[1,+)上的减函数,因此由定理2知,含参变量积分在[0,1]上一致收敛. 由此可见,以定理2为依据,我们既可以利用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分的性质,也可以利用积分的便利条件判断某些函数级数的一致收敛性.2.5利用确界条件把函数项级数转化为相应的数项级数进行判别 定理2.10 函数数列在数集D上一致收敛于对任意给定的,使得当n>N时,对一切和任意的,都有. 定理2.11 函数项级数在数集D上一致收敛对任意的,使得当n>N时,对一切和任意的,都有. 由定理1和定理2容易看出,函数项级数一致收敛同他的部分和序列的一致收敛是等价的.虽然都是充要条件,但在实际应用上,要用这一原理判断一致收敛仍是困难的,因为函数的片段也是较难求和.从以上的定理可推出更为简单的M判别法如下： 定理2.12 设有函数项级数,且的每一项满足,则函数项级数在D上一致收敛. 由上可知,M判别法也只是充分判别法,一般的函数项级数很难满足此充分条件,即使在满足的条件下,在寻求其相应的控制级数（或优级数）时也具有相当的难度. 定理2.13 设级数为函数项级数,若,使n>N时有,其中,且在I上有界,则在I上绝对收敛. 证明 不妨设n=1时就有,则可推的 n=2,3… M = 而收敛根据M判别法在I上一致收敛. 推论 设级数 为函数项级数,,且（n=1,2...）于I上有界,则在I上绝对一致收敛. 证明 由且,,当n>N有,即当n>N有其中而收敛.根据M判别法,于I绝对一致收敛. 定理2.14 设级数为函数项级数,使n>N时有,且,则在I上绝对一致收敛. 证明 据条件,n>N时有由r<1,收敛,据M判别法,于I绝对一致收敛. 推论 设为函数项级数,,则级数于I绝对一致收敛. 证明 由可见有即当n>N有收敛.据M判别法,于I绝对一致收敛. 定理2.15 设,都定义。