高考广东卷理科数学试题及答案word版解析版.doc

绝密★启用前 试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高．线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值．是正整数，则．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足，其中为虚数单位，则A． B． C． D．1．（B）．2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A．0 B．1 C．2 D．32．（C）．的元素个数等价于圆与直线的交点个数，显然有2个交点3．若向量满足∥且，则A．4 B．3 C．2 D．03．（D）．依题意得，，则4．设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是奇函数4．（A）．由是偶函数、是奇函数，得和都是偶函数，所以与都是偶函数，与的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定．若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A． B． C．4 D．35．（C）．，即，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线经过点时，取得最大值，6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．　　　　 B．　　　　　　　C．　　　　　 D．6．（D）．乙获得冠军的概率为，则甲队获得冠军的概率为32正视图图13侧视图图2211211俯视图图37．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A． B． C． D．7．（B）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，易求得平行四边形的高为，则8．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的．若是的两个不相交的非空子集，，且，有；，有，则下列结论恒成立的是A．中至少有一个关于乘法是封闭的 B．中至多有一个关于乘法是封闭的C．中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．中每一个关于乘法都是封闭的8．（A）．若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除B、C若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式≥0的解集是 ．9．．≥0 ≥≥≥110．的展开式中，的系数是 （用数字作答）10．84．的通项，由得，则11．等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则 ．11．10．方法1：由得，求得，则，解得方法2：由得，即，，即，即12．函数在 处取得极小值．12．2．，令得或，显然当时；当时；当时，函数在处取得极小值13．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm．13．185．设父亲的身高为cm，儿子的身高为cm，则根据上述数据可得到如下表格：173170176182170176182？上表中的最后一组是预测数据，，线性回归方程，所以当时，，即他孙子的预测身高为185 cm．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和 ，它们的交点坐标为___________．14．．表示椭圆，表示抛物线或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为图415．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，，则___________．15．．由弦切角定理得，又，则△∽△，则，，即三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求的值；（2）设，，，求的值．16．解：（1）（2），即，即∵，∴，∴17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451691781661751807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2 ∴的分布列为：012∴图518．（本小题满分13分）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（1）证明：取的中点，连接∵，∴∵在边长为1的菱形中，∴△是等边三角形∴，∴平面∴∵分别是的中点∴∥，∥∴，，∴平面（2）解：由（1）知，∴是二面角的平面角易求得∴∴二面角的余弦值为19．（本小题满分14分）设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切．（1）求的圆心轨迹的方程；（2）已知点，，且为上动点，求的最大值及此时点的坐标．19．解：（1）设，圆的半径为，则∴的圆心轨迹是以为焦点的双曲线，，，∴的圆心轨迹的方程为（2）∴的最大值为2，此时在的延长线上，如图所示，必在的右支上，且，直线的斜率∵，∴， ∴的最大值为2，此时为20．（本小题满分14分）设，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．20．（1）解：∵∴∴① 当时，，则是以为首项，为公差的等差数列∴，即② 当且时，当时，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴∴综上所述（2）方法一：证明：① 当时，；② 当且时，∴对于一切正整数，．方法二：证明：① 当时，；② 当且时，要证，只需证，即证即证即证即证∵，∴原不等式成立∴对于一切正整数，．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系上，给定抛物线：．实数满足≥，是方程的两根，记．（1）过点作的切线交轴于点．证明：对线段上的任一点，有；（2）设是定点，其中满足，．过作的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于．线段上异于两端点的点集记为．证明：；（3）设≤，≥．当点取遍时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）21．解：（1）是抛物线上的点，，则切线的斜率过点的抛物线的切线方程为：，即∵段上，∴，∴≥不妨设方程的两根为，则，① 当时，，，∵，∴，∴② 当时，，，∵，∴，∴综上所述，对线段上的任一点，有（2）由（1）知抛物线在处的切线方程为，即∵切线恒过点，则，∴① 当时，，② 当时，，综合①②可得∵由（1）可知，若，点段上，有∴ ③由（1）可知，方程的两根或，或若，即则、 、 ∴∴ ④综合③④可得综上所述； （3）由，求得两个交点则，过点作抛物线的切线，设切点为，切线与轴的交点为由（2）知，解得，① 若，则点段上由，得，∴，∴．由，得∴，∴令，则，∴∴② 若，则点段的延长线上方程的两根为， 即或 ∵∴，同理可得综上所述，。