5等腰三角形的性质ppt课件.ppt

第第15章章 轴对称称图形与等腰三角形形与等腰三角形第第3节 等腰三角形等腰三角形第第1课时 等腰三角形的性等腰三角形的性质课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u等腰三角形的等腰三角形的轴对称性、三称性、三线合一合一u等腰三角形的等腰三角形的边角性角性质：等：等边对等角等角u等等边三角形的性三角形的性质：每个角都等于：每个角都等于60°逐点逐点导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业 等腰三角形是一等腰三角形是一类特殊的三角形特殊的三角形. .等腰三角形等腰三角形除具有普通三角形的性除具有普通三角形的性质外，外，还具有什么具有什么样的特殊的特殊性性质呢？呢？1知识点知识点等腰三角形的轴对称性、三线合一等腰三角形的轴对称性、三线合一知知1 1－讲－讲等腰三角形的等腰三角形的轴对称性：称性：“三三线合一〞合一〞定理定理1：等腰三角形：等腰三角形顶角的平分角的平分线垂直平分底垂直平分底边．．结论：等腰三角形：等腰三角形顶角的平分角的平分线、底、底边上的中上的中线、底、底边上的高相上的高相 互重合互重合(简称称“三三线合一〞合一〞)．．知知1 1－讲－讲要点精析：要点精析：(1)含含义：：这是等腰三角形所特有的性是等腰三角形所特有的性质，它，它实践是一践是一组定理，运用定理，运用过程中，在三角形是等腰三角程中，在三角形是等腰三角形前提下，形前提下，“顶角的平分角的平分线、底、底边上的中上的中线、、底底边上的高〞只需知道其中上的高〞只需知道其中“一一线〞，就可〞，就可以以阐明是其他明是其他“两两线〞．〞．知知1 1－讲－讲(3)对称性：等腰三角形是称性：等腰三角形是轴对称称图形，形，顶角平分角平分线(或底或底边上的高、底上的高、底边上的中上的中线)所在的所在的直直线是它的是它的对称称轴．．(2)作用：是作用：是证明明线段相等、角相等、垂直等关系的段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，运用广泛．重要方法，运用广泛．知知1 1－讲－讲(4)运用格式：如运用格式：如图，在，在△△ABC中，中，①∵①∵AB＝＝AC，，AD⊥⊥BC，，∴∴AD平分平分∠∠BAC(或或BD＝＝CD)；；②∵②∵AB＝＝AC，，BD＝＝DC，，∴∴AD⊥⊥BC(或或AD平分平分∠∠BAC)；；③∵③∵AB＝＝AC，，AD平分平分∠∠BAC，，∴∴BD＝＝DC(或或AD⊥⊥BC)．．〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知1 1－讲－讲例例1 如如图，在，在△△ABC中，中，AB＝＝AC，，AD是是BC边上的上的中中线，，∠∠ABC的平分的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于于点点E，，EF⊥⊥AB，垂足，垂足为F.(1)假假设∠∠BAD＝＝25°，求，求∠∠C的度数；的度数；(2)求求证：：EF＝＝ED.知知1 1－讲－讲解：解： (1) ∵∵AB＝＝AC，，AD是是BC边上的中上的中线，， ∴∠∴∠BAD＝＝∠∠CAD，， ∴∠∴∠BAC＝＝2∠∠BAD＝＝50°. ∵∵AB＝＝AC，， ∴∴ ∠∠C＝＝∠∠ABC＝＝知知1 1－讲－讲证明：明： (2) ∵∵AB＝＝AC，，AD是是BC边上的中上的中线，， ∴∴AD⊥⊥BC，，∴∠∴∠BDE＝＝90°. ∵∵EF⊥⊥AB，， ∴∠∴∠BFE＝＝90°，，∴∠∴∠BFE＝＝∠∠BDE. 又又∵∵BG平分平分∠∠ABC，，∴∠∴∠FBE＝＝∠∠DBE. ∵∵BE为公共公共边，， ∴△∴△BDE≌△≌△BFE，，∴∴EF＝＝ED.〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知1 1－讲－讲总总 结结等腰三角形等腰三角形““三三线合一〞的性合一〞的性质是是证明角相等、明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；由于便的方法；由于标题的的证明或明或计算所求算所求结果大多都是果大多都是单一的，所以一的，所以““三三线合一合一〞的性〞的性质的运用也是的运用也是单一的，普通得出一个一的，普通得出一个结论，因此，因此运用要灵敏．在等腰三角形中，作运用要灵敏．在等腰三角形中，作““三三线〞中〞中““一一线〞，〞，利用利用““三三线合一〞是等腰三角形中常用的方法．合一〞是等腰三角形中常用的方法． 〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知1 1－讲－讲例例2 如下如下图，，AB＝＝AE，，BC＝＝DE，，∠∠B＝＝∠∠E，， AM⊥⊥CD，垂足，垂足为M.求求证：：CM＝＝MD.导引：由知引：由知AM⊥⊥CD和和结论CM＝＝MD，，联想到等腰三角形想到等腰三角形“三三线合一〞合一〞的性的性质，由此，由此衔接接AC，，AD构造构造等腰三角形．等腰三角形．知知1 1－讲－讲证明：如明：如图，，衔接接AC，，AD. 在在△△ABC和和△△AED中，中， ∴△∴△ABC≌△≌△AED(SAS)．．∴∴AC＝＝AD.又又∵∵AM⊥⊥CD，，∴∴CM＝＝MD.知知1 1－讲－讲总总 结结对于于单一等腰三角形构造一等腰三角形构造““三三线合一〞的根本合一〞的根本图形，作底形，作底边上的高、中上的高、中线还是是顶角平分角平分线，可根，可根据解据解题需求作需求作辅助助线；；对于叠合等腰三角形构造于叠合等腰三角形构造““三三线合一〞的根本合一〞的根本图形，那么需巧作形，那么需巧作辅助助线，下面就，下面就如下几种如下几种图形形阐明巧作明巧作辅助助线的方法：的方法：知知1 1－讲－讲总总 结结知知1 1－讲－讲总总 结结1．如．如图甲的情形，需作底甲的情形，需作底边上的高；上的高；2．如．如图乙的情形，需作乙的情形，需作顶角平分角平分线；；3．如．如图丙的情形，需作中丙的情形，需作中线；；4．如．如图丁的情形，需丁的情形，需衔接接AD并延伸再并延伸再证其是其是“三三线〞即可．〞即可． 〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知1 1－练－练1如如图，在，在△△ABC中，中，AB＝＝AC，，AD⊥⊥BC于点于点D，，DE⊥⊥AB于点于点E，，DF⊥⊥AC于点于点F，以下，以下结论：：①∠①∠BAD＝＝∠∠CAD；；②②DE＝＝DF；；③③BD＝＝CD；；④④假假设点点P在直在直线AD上，那么上，那么PB＝＝PC.其中正确的其中正确的选项是是(　　　　)A．．①①　　　　 B．．①②①②C．．①②③①②③　　　　 D．．①②③④①②③④D2知识点知识点等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角知知2 2－讲－讲操作操作 画一个等腰三角形画一个等腰三角形ABC，如，如图(1).把把边AB叠合到叠合到边AC上，上，这时点点B与点与点C重合，并出重合，并出现折痕折痕AD.知知2 2－讲－讲操作操作如如图(2).察看察看图形：形：△△ADB与与△△ADC有什么关有什么关系？系？图中哪些中哪些线段或角相等？段或角相等？AD与与BC垂直垂直吗？？为什么？什么？等腰三角形是等腰三角形是轴对称称图形，底形，底边上上的中的中线所在的直所在的直线是它的是它的对称称轴. .知知2 2－讲－讲等腰三角形的等腰三角形的边角性角性质：等：等边对等角等角定理定理1：等腰三角形的两底角相等：等腰三角形的两底角相等(简称称“等等边对等角〞等角〞)．．要点精析：要点精析：(1)适用条件：必需在同一个三角形中．适用条件：必需在同一个三角形中．(2)运用格式：在运用格式：在△△ABC中，由于中，由于AB＝＝AC，所以，所以∠∠B ＝＝∠∠C.(3)作用：它是作用：它是证明角相等常用的方法，运用它可省明角相等常用的方法，运用它可省 去三角形全等的去三角形全等的证明，因此更明，因此更简便．便． 知知2 2－讲－讲例例3 知：如知：如图，在，在△△ABC中，中，AB=AC，，∠∠BAC= 120°，点，点 D，，E是底是底边上两点，且上两点，且BD=AD，，CE=AE.求求∠∠DAE的度数的度数.〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知2 2－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕解：解：∵∵AB=AC，〔知〕，〔知〕 ∴∠∴∠B=∠∠C.〔等〔等边对等角〕等角〕 ∴∠∴∠B=∠∠C= 又又∵∵ BD=AD，〔知〕，〔知〕 ∴∠∴∠BAD=∠∠B=30°.〔等〔等边对等角〕等角〕 同理，同理，∠∠CAE=∠∠C=30°. ∴∠∴∠DAE=∠∠BAC-∠∠BAD-∠∠CAE =120°-30°-30°=60°. 知知2 2－讲－讲 本例中去掉本例中去掉AB=AC这个条件，能否求得个条件，能否求得∠∠DAE的度数？的度数？ 此此题给他怎他怎样的启示？的启示？知知2 2－讲－讲例例4 (1)在在△△ABC中，中，AB＝＝AC，假，假设∠∠A＝＝50°，求，求∠∠B；； (2)假假设等腰三角形的一个角等腰三角形的一个角为70°，求，求顶角的度数；角的度数； (3)假假设等腰三角形的一个角等腰三角形的一个角为90°，求，求顶角的度数．角的度数．导引：引：给出的条件中，假出的条件中，假设底角、底角、顶角已确定，可直接运角已确定，可直接运用三角形用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；假求解；假设给出的条件中底角、出的条件中底角、顶角不确定，那么要分角不确定，那么要分两种情况求解．两种情况求解．知知2 2－讲－讲解：解：(1)∵∵AB＝＝AC，，∴∠∴∠B＝＝∠∠C.∵∠∵∠A＋＋∠∠B＋＋∠∠C＝＝180°，，∴∴50°＋＋2∠∠B＝＝180°，解得，解得∠∠B＝＝65°.(2)当底角当底角为70°时，，顶角角为180°－－70°×2＝＝40°.当当顶角角为70°时，，70°即即为所求．因此所求．因此顶角角为40°或或70°.知知2 2－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕(3)假假设顶角角为90°，那么底角，那么底角为假假设底角底角为90°，那么三个内角的和将大于，那么三个内角的和将大于180°，，不符合三角形内角和定理．不符合三角形内角和定理．因此因此顶角角为90°.知知2 2－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕总总 结结 在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角时，要看，要看给出的角能否确出的角能否确定定为顶角或底角．假角或底角．假设已确定，那么直接利用三角已确定，那么直接利用三角形的形的内角和定理求解；假内角和定理求解；假设没有指出所没有指出所给的角是的角是顶角角还是是底角，要分两种情况底角，要分两种情况讨论，并看能否符合三角形内，并看能否符合三角形内角和定理．假角和定理．假设等腰三角形中等腰三角形中给出的一内角是直角出的一内角是直角或或钝角，那么此角必角，那么此角必为顶角．角． 知知2 2－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕例例5 〔广西〔广西贺州〕如州〕如图，在等腰，在等腰△△ABC中，中，AB＝＝AC，，∠∠DBC＝＝15°，，AB的垂直平分的垂直平分线MN交交AC于点于点D，那么，那么∠∠A的度数是的度数是________．．50°知知2 2－讲－讲导引：根据引：根据线段垂直平分段垂直平分线上的点到上的点到线段两端的段两端的间隔隔相等可得相等可得AD＝＝BD，根据等，根据等边对等角可得等角可得∠∠A＝＝∠∠ABD，然后表示出，然后表示出∠∠ABC，再根据等腰三，再根据等腰三角形两底角相等可得角形两底角相等可得∠∠C＝＝∠∠ABC，然后根据，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．三角形的内角和定理列出方程求解即可．知知2 2－讲－讲∵∵MN是是AB的垂直平分的垂直平分线，，∴∴AD＝＝BD，，∴∠∴∠A＝＝∠∠ABD，，∵∠∵∠DBC＝＝15°，，∴∠∴∠ABC＝＝∠∠A＋＋15°，，∵∵AB＝＝AC，，∴∠∴∠C＝＝∠∠ABC＝＝∠∠A＋＋15°，，∴∠∴∠A＋＋∠∠A＋＋15°＋＋∠∠A＋＋15°＝＝180°，，解得解得∠∠A＝＝50°.〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知2 2－讲－讲总总 结结〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕由由线段的垂直平分段的垂直平分线可以得到相等的可以得到相等的线段，段，运用等腰三角形性运用等腰三角形性质可以将同一个三角形中可以将同一个三角形中线段段的相等关系的相等关系转化化为所所对内角之内角之间的相等关系．的相等关系． 知知2 2－讲－讲例例6 知：如知：如图，在，在△△ABC中，中，AB= AC，点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求∠∠A和和∠∠C的度数的度数.〔来自教材〕〔来自教材〕知知2 2－讲－讲解：解：∵∵AB=AC，，BD=BC=AD，〔知〕，〔知〕 ∴∠∴∠ABC=∠∠C=∠∠BDC，，∠∠A=∠∠ABD.(等等边对等角等角〕〕 设∠∠A=x°，那么，那么∠∠BDC=∠∠A+∠∠ABD=2x°. 〔三角形的一个外角等于与它不相〔三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和〕〕 ∵∠∵∠ABC=∠∠C=∠∠BDC=2x°, ∴∴x+ 2x + 2x=180.(三角形内角和等于三角形内角和等于 180°〕〕 解方程，得解方程，得x= 36. ∴∠∴∠A=36°，，∠∠C=72°.〔来自教材〕〔来自教材〕知知2 2－讲－讲例例7 求求证：斜：斜边和一条直角和一条直角边分分别相等的两个直角三角相等的两个直角三角形全等形全等.知：如知：如图(1)，在，在Rt△△ABC和和Rt△△A'B'C '中，中，∠∠C=∠∠C'=90°，，AB=A'B'，，AC=A'C'. 求求证：：Rt△△ABC≌ ≌Rt△△A'B'C'.本例是本例是14.2节中曾中曾经学学过的断定两个直角三角形全的断定两个直角三角形全等的定理等的定理“HL〞的〞的证明明.知知2 2－讲－讲证明：在平面内挪明：在平面内挪动Rt△△ABC和和Rt△△A'B'C'，使点，使点A和和点点A'、点、点C和点和点C'重合，点重合，点B和点和点B'在在AC的两的两侧[图(2)]. ∵∠∵∠BCB'=90°+90°=180°,〔等式性〔等式性质〕〕 ∴∴B，，C，，B'三点在一条三点在一条直直线上上.〔平角的定〔平角的定义〕〕知知2 2－讲－讲证明：在明：在△△ABB'中，中， ∵∵AB=AB'，， (知知) ∴∠∴∠B=∠∠B'.(等等边对等角等角) 在在Rt△△ABC和和Rt△△A'B'C'中，中， ∴∴Rt△△ABC≌ ≌Rt△△A'B'C'. (AAS)〔来自教材〕〔来自教材〕知知2 2－练－练〔来自〔来自< <典中点典中点> >〕〕1(中考中考·盐城城)假假设等腰三角形的等腰三角形的顶角角为40°，那么它，那么它的底角度数的底角度数为(　　　　) A．．40° B．．50° C．．60° D．．70°D知知2 2－练－练(中考中考·湘西州湘西州)如如图，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，AB＝＝AC，，BD平分平分∠∠ABC，，∠∠A＝＝36°，那么，那么∠∠1的度数的度数为(　　　　)A．．36° B．．60° C．．72° D．．108°2〔来自〔来自< <典中点典中点> >〕〕C3知识点知识点等等边三角形的性三角形的性质：每个角都等于：每个角都等于60°60°知知3 3－讲－讲等等边三角形的性三角形的性质1.定定义：三：三边都相等的三角形是等都相等的三角形是等边三角形．三角形． 要点精析：要点精析： (1)它是特殊的等腰三角形，具它是特殊的等腰三角形，具备等腰三等腰三角形的一切性角形的一切性质；；(2)它是特殊的等腰三角形，恣意它是特殊的等腰三角形，恣意两两边都可以作都可以作为腰，恣意一个角都可以作腰，恣意一个角都可以作为顶角．角．知知3 3－讲－讲2．性．性质：：(1)等等边三角形的三三角形的三边都相等；都相等；(2)等等边三角三角形的三个内角相等，每一个内角都等于形的三个内角相等，每一个内角都等于60°.(3)等等边三角形是三角形是轴对称称图形，它有三条形，它有三条对称称轴，分，分别为三三边的垂直平分的垂直平分线；；(4)各各边上的高、中上的高、中线、、对角的平分角的平分线重合，且重合，且长度相等．度相等． 知知3 3－讲－讲例例8 如如图，，△△ABC是等是等边三角形，三角形，D，，E，， F分分别是三是三边AB，，AC，，BC上的点，上的点， 且且DE⊥⊥AC，，EF⊥⊥BC，，DF⊥⊥AB，， 计算算△△DEF各个内角的度数．各个内角的度数．知知3 3－讲－讲导引：导引：要要计算出算出△△DEF各个内角的度数，有两个途径，各个内角的度数，有两个途径，即即证△△DEF 为等等边三角形或直接求各个内三角形或直接求各个内角的度数，由垂直定角的度数，由垂直定义及等及等边三角形的性三角形的性质，，显然直接求各个内角的度数然直接求各个内角的度数较容易．容易． 知知3 3－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕解：由于解：由于△△ABC是等是等边三角形，三角形， 所以所以∠∠A＝＝∠∠B＝＝∠∠C＝＝60°. 由于由于DE⊥⊥AC，，EF⊥⊥BC，，DF⊥⊥AB，， 所以所以∠∠AED＝＝∠∠EFC＝＝∠∠FDB＝＝90°，， 所以所以∠∠ADE＝＝90°－－∠∠A＝＝90°－－60°＝＝30°，， 所以所以∠∠EDF＝＝ 180°－－30°－－90°＝＝60°. 同理可得同理可得∠∠DEF＝＝∠∠EFD＝＝60°. 即即△△DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60°.知知3 3－讲－讲总总 结结〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕利利用用等等边三三角角形形的的性性质求求角角的的度度数数时，，经过利利用用等等边三三角角形形三三个个内内角角都都相相等等，，并并且且每每一一个个内内角角都都为60°的的性性质，，找找出出要要求求角角与与知知角角间的的关关系系来来进展展计算；有算；有时还要要结合全等合全等图形等知形等知识来来处理．理．知知3 3－讲－讲 例例9 如如图，知，知△△ABC，，△△BDE都是都是 等等边三角形．求三角形．求证：：AE＝＝CD.导引：要引：要证AE＝＝CD，可，可经过证分分别含含有有AE，，CD的两个三角形全等的两个三角形全等来来实现，即，即证△△ABE≌△≌△CBD，所需条件可从等，所需条件可从等边三角三角形中去形中去寻觅．．〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知3 3－讲－讲证明：明：∵△∵△ABC和和△△BDE都是等都是等边三角形，三角形， ∴∴AB＝＝BC，，BE＝＝BD，，∠∠ABC＝＝∠∠DBE＝＝60°. 在在△△ABE与与△△CBD中，中，∴△∴△ABE≌△≌△CBD(SAS)．．∴∴AE＝＝CD.〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知3 3－讲－讲总总 结结〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕运运用用等等边三三角角形形性性质证明明线段段相相等等的的方方法法：：把把要要证的的两两条条线段段放放到到一一个个三三角角形形中中证其其为等等腰腰或或等等边三三角角形形或或者者放放到到两两个个三三角角形形中中，，利利用用全全等等三三角角形形的的性性质证明明；；留留意意等等边三三角角形形的的三三个个内内角角相相等等、、三三条条边相等、三相等、三线合一是合一是隐含的知条件．含的知条件． 知知3 3－讲－讲例例3 如如图，，△△ABC是等是等边三角形，分三角形，分别延伸延伸AB至点至点F，，BC至点至点D，，CA至点至点E，使，使AF＝＝3AB，，BD＝＝3BC，，CE＝＝3CA，，求求证：：△△DEF是等是等边三角形．三角形．导引：利用等引：利用等边三角形定三角形定义断定．断定．〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕知知3 3－讲－讲证明：明：∵△∵△ABC是等是等边三角形，三角形， ∴∴AB＝＝BC＝＝CA，，∠∠BAC＝＝∠∠ABC＝＝∠∠ACB＝＝60°，， ∴∠∴∠EAF＝＝∠∠FBD＝＝∠∠DCE＝＝120°. 又又∵∵AF＝＝3AB，，BD＝＝3BC，，CE＝＝3CA，， ∴∴AF＝＝BD＝＝CE，，AE＝＝BF＝＝CD，， ∴△∴△AEF≌△≌△BFD≌△≌△CDE. ∴∴EF＝＝FD＝＝DE.∴△∴△DEF是等是等边三角形．三角形．知知3 3－讲－讲〔来自〔来自< <点拨点拨> >〕〕总总 结结 充充分分发掘掘等等边三三角角形形中中的的有有关关性性质是是处理理问题的的前前提提，，然然后后利利用用三三角角形形全全等等得得到到三三边相相等等，，根据定根据定义证得得△△DEF是等是等边三角形．三角形．知知3 3－练－练如如图，，△△ABC是等是等边三角形，点三角形，点D在在AC边上，上，∠∠DBC＝＝35°，那么，那么∠∠ADB的度数的度数为(　　　　)A．．25° B．．60° C．．85° D．．95°1〔来自〔来自< <典中点典中点> >〕〕D知知3 3－练－练如如图，一，一张等等边三角形三角形纸片，剪去一个角后得到一片，剪去一个角后得到一个四个四边形，那么形，那么图中中∠∠α＋＋∠∠β的度数是的度数是(　　　　)A．．180° B．．220° C．．240° D．．300°2〔来自〔来自< <典中点典中点> >〕〕C1.等腰三角形等腰三角形“三三线合一〞的性合一〞的性质包含三包含三层含含义：：(1)知等腰三角形底知等腰三角形底边上的中上的中线，那么它平分，那么它平分顶角，角，垂直于底垂直于底边；；(2)知等腰三角形知等腰三角形顶角的平分角的平分线，那么它垂直平分，那么它垂直平分底底边；；(3)知等腰三角形底知等腰三角形底边上的高，那么它平分底上的高，那么它平分底边，，平分平分顶角．角．2.等腰三角形等腰三角形“三三线合一〞的性合一〞的性质经常可以用来常可以用来证明角明角相等、相等、线段相等和段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，，尝试作作这条条辅助助线，，经常会有意想不到的常会有意想不到的效果．效果．请完成完成<点点拨训练>P88-89对应习题。