2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形的面积与定积分课件6 新人教B版选修2-2.ppt

1.4.1 曲边梯形面积与定积分曲边梯形面积与定积分 曲线曲线f(x)与平行于与平行于y轴的直线轴的直线和和x轴所围成的图形，通常称为轴所围成的图形，通常称为曲边梯形曲边梯形 右图为一个特殊的曲边梯形，右图为一个特殊的曲边梯形，是一个是一个曲边三角形曲边三角形（（1））分割：分割：将区间[0，1]等分为n个小区间， 每个小区间的长度为△x= ;（（2））近似代替：近似代替：过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，再分别用每个小区间的左端点的纵坐标 为高，△x= 为底作小矩形，每个小矩形的面积为△Si= （（i=0，，1，，…，，n- -1））（（3））求和：求和：所有小矩形的面积和为 （4）取极限：取极限：所以曲边三角形的面积为 “分割分割”的目的在于更精确地的目的在于更精确地“以直代曲以直代曲”，以，以“矩形矩形”代代替替“曲边梯形曲边梯形”，随着分割的等份数的增多，这种，随着分割的等份数的增多，这种“代替代替”就越精确，当就越精确，当n愈大愈大时，划分就越细，所有的小矩形的面时，划分就越细，所有的小矩形的面积的和就积的和就愈接近愈接近曲边三角形的面积。

曲边三角形的面积 在在”近似代替近似代替“中，是否可以取每个区间的中，是否可以取每个区间的右端点右端点的的 纵坐标为小矩形的高，并且利用所有这些小矩形的面积纵坐标为小矩形的高，并且利用所有这些小矩形的面积的和去逼近曲边三角形的面积呢？的和去逼近曲边三角形的面积呢？思考：思考：将所有这些小矩形的面积的和记为An,则An>S（（1））分割：分割：将区间[0，1]等分为n个小区间， 每个小区间的长度为△x= ;（（2））近似代替：近似代替：分别用每个小区间的右端点的纵坐标 为高，△x= 为底作小矩形，每个小矩形的面积为△Ai= （（i=0，，1，，…，，n- -1））（（3））求和：求和：所有小矩形的面积和为 （4）取极限：取极限：所以曲边三角形的面积为 事实上，在事实上，在”近似代替近似代替“中，可以取每个区间的中，可以取每个区间的左端左端点点或或右端点右端点或或区间上的任一点的区间上的任一点的纵坐标的纵坐标的绝对值绝对值为小矩形为小矩形的高，没有统一的要求，只是的高，没有统一的要求，只是 为了计算方便，通常取一为了计算方便，通常取一些特殊点，并且利用所有这些小矩形的面积的和去逼近曲些特殊点，并且利用所有这些小矩形的面积的和去逼近曲边梯形的面积。

边梯形的面积求曲边梯形的面积的步骤：求曲边梯形的面积的步骤：（（1））分割分割 （（2））近似代替近似代替（（3））求和求和（4）取极限取极限利用曲边梯形的面积的求法解决利用曲边梯形的面积的求法解决变力做功问题变力做功问题（（1））分割：分割：将区间[0，b]n等分， 每个小区间的长度为△x= ;（（2））近似代替：近似代替：当当n很大时很大时，在分段 所用的力约为 ,所做的功为 （（i=0，，1，，…，，n- -1））（（3））求和：求和： （4）取极限：取极限：所以弹簧从平衡位置拉长所以弹簧从平衡位置拉长b所做的功为所做的功为 以上两个问题解决问题的方法和步骤是完全相同的，以上两个问题解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题：问题：曲边三角形或曲边梯形的面积曲边三角形或曲边梯形的面积克服弹簧拉力的变力所做的功克服弹簧拉力的变力所做的功 牛顿等数学家得到解决这类问题的一般方法：牛顿等数学家得到解决这类问题的一般方法：求函数的定积分求函数的定积分 曲边梯形的面积曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数等于其曲边所对应的函数 y=f(x)在区在区间间[a,b]上的定积分，即上的定积分，即例例2中克服弹簧拉力的变力所做的功可以写为中克服弹簧拉力的变力所做的功可以写为例例1的结果可以写为的结果可以写为①①分割分割②②近似代替近似代替③③求和求和④④取极限取极限表示曲边梯形的面积表示曲边梯形的面积表示表示x轴上方和下方的面积的轴上方和下方的面积的代数和代数和注注：运算性运算性质质1：： 运算性运算性质质2：： 运算性运算性质质3：： 运算性运算性质质4：： 定积分的运算性质：定积分的运算性质：图中阴影部分面积用定积分该如何表示？图中阴影部分面积用定积分该如何表示？ 2.用定积分求直线用定积分求直线y=x,x=1,x=2,y=0所围成的梯所围成的梯形的面积。

形的面积几种典型的曲边梯形面积的求法几种典型的曲边梯形面积的求法：曲边梯形的面积为：曲边梯形的面积为：曲边梯形的面积为：曲边梯形的面积为：阴影部分的面积为：阴影部分的面积为：动动脑动动脑。