因式分解典型例题.pdf

1 / 14 典型例题一 例０１ 选择题:对nnpmpm22运用分组分解法分解因式,分组正确的是(） （A）mpnpnm)22((ﻩB))2()2(mpnnpm （Ｃ）)()22(nmmpnm （D）npmpnm)22( 分析 本组题目用来判断分组是否适当A)的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；(B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故(B）不正确；(D)中两组也无公因式可提,故（D）不正确． （C)中第一组可提取公因式 2，剩下因式)(nm;第二组可提取p，剩下因式)(nm，这样组间可提公因式)(nm，故(Ｃ）正确 典型例题二 例 02 用分组分解法分解因式： （1)xxyyx21372；(2)22441yxyx 分析 本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式或分组后运用公式可以达到分解的目的 解 ⑴xxyyx21372 )3()217(2xyyxx（合理分组） )3()3(7xyxx(组内提公因式） )7)(3(yxx(组间提公因式) ⑵22441yxyx )44(122yxyx（注意符号) 2)2(1yx（组内运用公式) )2(1)2(1yxyx（组间运用公式） )21)(21 (yxyx 说明 分组分解法应用较为灵活,分组时要有预见性，可根据分组后“求同”——有公因式或可运用公式的原则来合理分组,达到分解的目的. ﻩ另外在应用分组分解法时还应注意:①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法,通常一个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归． ②分组时要添加带“-"的括号时,各项要注意改变符号,如⑵的第一步． 2 / 14 典型例题三 例０3 分解因式：315523xxx 分析 本题按字母x的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为5，15，1,3。

系数比相等的有31155或31515，因而可分组为)5(3xx 、)315(2x或)155(23xx 、)3(x． 解法一 315523xxx )3()155(23xxx(学会分组的技巧） )3()3(52xxx ) 15)(3(2xx 解法二 315523xxx )315()5(23xxx ) 15(3) 15(22xxx )3)(15(2xx 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！ 典型例题四 例 04 分解因式:xxyyx21372 分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解见前例,可用“系数成比例"的规律来达到合理分组的目的. 解法一 xxyyx21372 )3()217(2xyyxx )3()3(7xyxx )7)(3(yxx 解法二 xxyyx21372 )213()7(2xyxyx )7(3)7(yxyxx )7)(3(yxx 3 / 14 说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解。

要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解．本小题利用“对应系数成比例"的规律进行巧妙分组,可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性,提高了分解的速度． 典型例题五 例 05 把下列各式分解因式： （1）222zyzyxzxy; （2）122222abccba； （3）1424422yxyxyx 分析 此组题项数较多,考虑用分组法来分解. 解法 （1)222zyzyxzxy )2()(22zyzyxzxy 2)()(zyzyx ))((zyxzy （2)122222abccba )2() 12(222cbcbaa 22)() 1(cba )1)(1(cbacba (３）1424422yxyxyx 1)42()44(22yxyxyx 1)2(2)2(2yxyx 2) 12(yx 说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项"为突破口,寻找“相应的平方项"进行分组,这使分组有了一定的针对性，省时提速. 如⑴中,“交叉项”为yz2，相应的平方项为2y、2z；⑵中，“交叉项”为bc2，相应的平方项为2b、2c. 典型例题六 例 06 分解因式: 4 / 14 (1）652 aa；(2)1032 mm． 分析 本题两例属于pqxqpx)(2型的二次三项式,可用规律公式来加以分解． 解 (1）)3()2(6，5) 3()2(， )3()2()32(6522aaaa （2)5210，352, 1032mm)2()5()2(52mm )2)(5(nm. 说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律. 典型例题七 例 07 分解因式： (1)4)(5)(2baba; （２）22127qpqp。

分析 对(１)，利用整体思想,将)(ba 看作一个字母,则运用pqxqpx)(2型分解;对(2），将其看作关于p的二次三项式,则一次项系数为p7，常数项为212q,仍可用pqxqpx)(2型的二次三项式的规律公式达到分解的目的． 解 (1）4)(5)(2baba )4)(1(baba （2）)4()3(122q，q7)4(3， 22127qpqp22127qpqp )4)(3(qpqp. 典型例题八 例０8 分解因式： ⑴ﻩ134xxx; ⑵qpqpqp36522; ⑶) 1)(1() 1)(1(bbbaaa; )3)(2(aa5 / 14 ⑷ccbcbaba222424. 分析 本组题有较强的综合性,且每小题均超过三项,因而可考虑通过分组来分解 解 ⑴法一:134xxx ) 1()(34xxx ) 1() 1(3xxx ) 1)(1(3xx(13x可继续分解，方法很简单:) 1()(3xxx，对于13x方法类似，可以自己探索） ) 1)(1)(1(2xxxx 法二:134xxx )() 1(34xxx ) 1() 1)(1(222xxxx )1)(1(22xxx ) 1)(1)(1(2xxxx 法三：134xxx ) 1()(34xxx ) 1() 1(33xxx ) 1)(1(3xx ) 1)(1)(1(2xxxx ⑵qpqpqp36522 )3()65(22qpqpqp(看作abxbax)(2型式子分解） )3()3)(2(qpqpqp ) 12)(3(qpqp ⑶) 1)(1() 1)(1(bbbaaa ) 1() 1(22bbaa 6 / 14 bbaa33 )()(33baba )())((22babababa ) 1)((22bababa ⑷ccbcbaba222424 )2()44(222cbacbcba )2()2(22cbacba )2()2()2(cbacbacba )2()2)(2(cbacbacba ) 12)(2(cbacba 说明 ⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看,方法二较好,分组既要合理又要巧妙,使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程,降低思维难度. ⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用了abxbax)(2型二次三项式的因式分解 .将2265qpqp看做关于p的二次三项式q3262,2265pppp32)32(2。

⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点,对待此类题目，应采用“先破后立”的方式来解决.即先做多项式乘法打破原式结构,然后寻找合适的方法 ⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破 但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法.②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型,如⑵小题中2265qpqp. 典型例题九 例 09 分解因式: (1)6)2)(1(xxx;(2）)() 1(222baxxab 分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行,达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解. 解 ⑴6)2)(1(xxx 6)23(2xxx 62323xxx(乘法运算，去括号) 7 / 14 )62()3(23xxx（重新分组） )3(2)3(2xxx )2)(3(2xx ⑵)() 1(222baxxab xbxaababx222（乘法运算去括号） )()(222xbabxaabx（重新分组） )()(abxbabxax ))((bxabax 说明 “先破后立，不破不立"。

思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式 典型例题十 例 1０ 分解因式673 aa 分析 因式分解一般思路是:“一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法）” ．即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否可以分组分解;对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解.按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试 解 7176733aaaa )77() 1(3aa ) 1(7) 1)(1(2aaaa )71)(1(2aaa )6)(1(2aaa )3)(2)(1(aaa 说明 当1a时,多项式673 aa值为 0，因而) 1( a是673 aa的一个因式，因此，可从“凑因子” ) 1( a的角度考虑，把 6 拆成71,使分组可行，分解成功. 运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法． 法二：673 aa 663aaa 8 / 14 ) 1(6) 1()66()(23aaaaaa ) 1(6) 1)(1(aaaa )6)(1(2aaa )3)(2)(1(aaa 法三：673 aa 14873aa )147()8(3aa(凑立方项） )2(7)42)(2(2aaaa )742)(2(2aaa )32)(2(2aaa )3)(1)(2(aaa 法四:673 aa 212773aa（与3a凑立方项） )217()27(3aa )3(7)93)(3(2aaaa（套用33ba 公式） )793)(3(2aaa )23)(3(2aaa )2)(1)(3(aaa 法五：673 aa 6343aaa（拆a7项） )63()4(3aaa )2(3)4(2aaa 9 / 14 )2(3)2)(2(aaaa )32)(2(2aaa )3)(1)(2(aaa 法六：673 aa 6293aaa（凑平方差公式变a7项) )62()9(3aaa )3(2)9(2aaa )3(2)3)(3(aaaa )23)(3(2aaa )2)(1)(3(aaa 法七：令1 xa则(1a为多项式一个因式,做变换1 ax） 673 aa6) 1(7) 1(3xx 67713323xxxx（做乘法展开） xxx4323 )4)(1()43(2xxxxxx )31)(21)(11(xxx )3)(2)(1(aaa(还原回a） 说明 以上七种方法中,前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项）,这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的。

凑"时，需思、需悟、触发灵感．第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点 本题还可以如下变形: 673 aa＝)6)(1() 1()67()(2223aaaaaaaa=…… 典型例题十一 例 11 若2542kxx是完全平方式,求k的值 分析 原式为完全平方式，由22)2(4xx ，2525 即知为2)52(x，展开即得k值． 10 / 14 解 2542kxx是完全平方式 应为2)52(x 又25204)52(22xxx， 故20k 说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差,确定k值时不要漏掉各种情况此题为因式分解的逆向思维类，运用222)(2bababa来求解 典型例题十二 例 1１ 把下列各式分解因式： (１）1682 xx； （2）63244914bbaa （3）1)2(6)2(92baba 解:（1）由于 1６可以看作24,于是有 222442168xxxx 2)4(  x; （2）由幂的乘方公式，4a可以看作22)(a，649b可以看作23)7( b,于是有 2332226324)7(72)(4914bbaabbaa 232)7(ba ； （３)由积的乘方公式,2)2(9ba 可以看作2)]2(3[ba，于是有 1)2(6)2(92baba 11)2(32)]2(3[2baba 2] 1)2(3[ba 2) 136(ba 说明(1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于某个字母的二次三项式；②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式,且符号相同；③其余的一项恰是这两数乘积的 2 倍,或这两数乘积 2倍的相反数. 而结果是“和”的平方还是“差"的平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同． （2）在运用完全平方公式的过程中,再次体现换元思想的应用,可见换元思想是重要而且常用思想方法,要真正理解，学会运用. 11 / 14 典型例题十三 例１2ﻩ求证：对于任意自然数n，1322323nnnn一定是１0的倍数． 分析 欲证是 10的倍数，看原式可否化成含 1０的因式的积的形式. 证明 1322323nnnn )22()33(132nnnn )22(2) 13(332nn 102103nn )23(10nn )23(10nn是 10 的倍数， 1322323nnnn一定是１０的倍数． 典型例题十四 例 1３ 因式分解（1）ybxbyaxa2222； （2）nxnmxmx2 解:（1))()(22222222ybxbbaxaybxbyaxa )()(22yxbyxa ))((22bayx 或 )()(22222222ybyaxbxaybxbyaxa )()(2222baybax ))((22yxba; （2）)()(22nxnmxmxnxnmxmx )1 ()1 (xnxmx ))(1 (nmxx 或)()(22nnxnxmxnxnmxmx )()(nmxnmxx 12 / 14 ) 1)((xnmx 说明：(1）把有公因式的各项归为一组,并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关键所在。

因此，分组分解因式要有预见性; （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单； (3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变； （4)实际上，分组只是为实际分解创造了条件,并没有直接达到分解 典型例题十五 例１4 把下列各式分解因式： (1）baba2423； （2）2222babax； （3)aaxaxax22 解：（１))2()4(242222babababa )2()2)(2(bababa ) 12)(2(baba (2))2(2222222babaxbabax 22)(bax )]()][([baxbax ))((baxbax (3）) 1(2323xxxaaaxaxax )]1()[(23xxxa )]1() 1([2xxxa ) 1)(1(2xxa 或 )]1()[(2323xxxaaaxaxax ) 1)(1(2xxa 或 )]() 1[(2323xxxaaaxaxax )]1() 1)(1[(2xxxxxa )1)(1(2xxxxa 13 / 14 ) 1)(1(2xxa 说明:（1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组.如， )2())(()2()(2222222babaxaxbabaxbabax,就会分解不下去了； (2)有公因式时，“首先考虑提取公因式"是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况,预测结果； (3）对于一道题中的多种分组方法,要善于选择使分解过程简单的分组方法，如题中前两种分组显然优于后者。

典型例题十六 例 1５ 把下列各式分解因式 （１)22 xx;（2)1522 xx． 分析(1)22 xx的二次项系数是１，常数项2=2) 1(，一次项系数１=2) 1(,故这是一个pqxqpx)(2型式子 (2)1522 xx的二次项系数是 1，常数项15=3)5(，一次项系数3)5(2 ，故这也是一个pqxqpx)(2型式子 解：（１）因为2=2) 1(,并且 1=2) 1(，所以 22 xx=) 1)(2(xx. （２） 因为15=3)5(,3)5(2,所以 1522 xx=)3)(5(xx 说明：因式分解时常数项因数分解的一般规律： (１)常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同. （2） 常数项是负数时，它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同. 典型例题十七 例 16 将35222 mxxm分解因式 分析:此例不能直接用提公因式法或运用公式法分解因式，用分组分解法又不具备运用分组分解法的题目特点,而用pqxqpx)(2型式子分解因式其二次项系数不是 1,而是2m,故在上述都不能的情况下，想方法将mx看成y,则这个二次三项式就可以化成3522yy，即可符合pqxqpx)(2型式子,故可分解因式. 解：设ymx ，则 14 / 14 原式=3522yy)5)(7(yy)5)(7(mxmx 所以，35222 mxxm)5)(7(mxmx。

说明：今后应细心审题观察题目的特征,若能利用整体换元的思想将多项式化为pqxqpx)(2型的式子即可因式分解． 。