南京师范大学04-考研试卷(高代).doc

南京师范大学研究生研究生招生入学初试试卷高等代数一、 选择题（每题5分，共２０分）1． 设线性方程组的导出组为,必有( ).（A） 当有唯一解，则只有零解;（B） 有解的充要条件是有解；（C） 有非零解则有无穷多解;（D） 有非零解，则有无穷多解.2． 设是数域上对称阵构成的线性空间，则ｄｉm =（　 ）．（Ａ)3， 　 （B)4, 　 （Ｃ)6,　 (D)9. 3.按矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算，下列集合( 　　)构成上的线性空间.(多选）(Ａ）上全体级反对称方阵的集合；(B)上全体级下三角方阵的集合；（C）上全体主对角线元素为零的级方阵的集合；(D）.4.若Ａ是欧氏空间的一种对称变换,则下面（ 　)成立．（A） 属于同一特性值的两特性向量必正交;(B)属于不同特性值的两特性向量正交;(C）属于同一特性值的两特性向量不正交;（D）属于不同特性值的两特性向量不正交.二、(１０分)设个不同的素数.证明：是无理数（).三、（１0分）设,其中是互不相似的数.(1) 由行列式定义，阐明是次多项式.(2) 由行列式性质,求的根.四、（1０分)设向量组的秩为,在(1)中任取个向量，证明向量组(2)的秩.五、(10分)设,而　 ,若的秩分别为和，试证的秩不不小于.六、(1０分)设为一种阶实对称阵，且，证明:必存在实维向量,使.七、（10分）性空间中,1．证明向量组与向量组是的两个基．3． 求中向量在这两个基下的坐标的关系.八、（10分）设是一种秩为的二次型，证明:有的一种维子空间存在(其中为符号差),使对任一，有.九、（1５分)设是维线性空间的线性变换，是的子空间，表达由中向量的象构成的子空间. 证明: 维(）+维（）=维(）.十、(1５分)设是一种五阶矩阵，秩为4,初等因子为 试求的原则形.十一、（１5分）证明:1)欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的.2)运用上述成果,证明有限维欧氏空间均有原则正交基.十二、(15分)用正交线性替代化下面二次型为原则形　 　 ．南京师范大学研究生研究生招生入学初试试卷 　高等代数1、 (15分)　计算行列式2、 (1５分) 已知(1)为有理系数多项式;(2) 有公共根； （３）　在有理数域上不可约。

证明： ３、(15分)已知可由线性表达，　证明线性有关.4、（30分）已知为欧氏空间V的一组标正基,，(１)证明：W是V的子空间2)求W的一组基及维数3）求Ｗ的正交补5、(15分）计算行列式 6、(３０分）用正交变换将二次型替代下面二次型为原则型：7、(30分）某实验生产线每年一月份进行纯熟工也非纯熟工的人数记录,然后将纯熟工支持其她生产部门，其缺额由招收新的非纯熟工补齐，新、老纯熟工通过培训及实践至年终考核有成为纯熟工，设第ｎ年一月份记录的纯熟工和非纯熟工所占比例分别为和,记成向量,（１）求与的关系式并写成矩阵形式:;(２)验证,是A的两个线性无关的特性向量,并求出相应的特性值３)当时,求研究生研究生招生入学初试试卷南京师范大学 　　 高等代数3、 （20分) 求ｋ阶若当块的初等因子、不变因子、最小多项式4、 （2０分) A为ｎ 维线性空间V的线性变换,证明ＡV的维数+A的零度=n． 5、 (20分)（1)论述艾森斯坦因(Ｅiｓensｔein）鉴别法2)证明艾森斯坦因（Ｅｉsenｓtein）鉴别法4、 （３0分) 为５维欧氏空间V的一组标正基，，(1）证明:Ｗ是V的子空间。

2)求W的一组基及维数3）求W的正交补5、（３0分）计算6、（30分)线性方程组 　 　 　 ＝ 　　　 　 = （1） 选择为自由变量解线性方程组2） 若为1，2，3,…,9的置换,求出其所有解。