
《高等工程力学》讲义第9章结构弹性稳定计算(正式).doc
36页第四篇 结构弹性稳定计算第9章 结构弹性稳定计算9.1 两类稳定问题概述 在结构设计中,除保证结构必须满足强度条件和刚度条件外,往往还应进行结构稳定性的验算在结构稳定计算中,需要对结构的平衡状态作更深层次的考察从稳定性角度来考察,平衡状态实际上有三种不同的情况:稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态设结构原来处于某个平衡状态,后来由于受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置当干扰消失后,如果结构能够回到原来的平衡位置,则原来的平衡状态为稳定平衡状态;如果结构继续偏离,不能回到原来位置,则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态结构由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态称为中性平衡状态 在结构稳定计算中,通常仍采用小挠度理论,其优点是可以用比较简单的方法得到基本正确的结论如果希望得到更精确的结论,则需要采用较为复杂的大挠度理论随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态这时原始平衡状态丧失其稳定性,简称为失稳结构的失稳有两种基本形式:分支点失稳和极值点失稳下面以压杆为例加以说明9.1.1 分支点失稳 图9-1(a)所示为简支压杆的完善体系或理想体系:杆件轴线是理想的直线(没有初曲率),荷载P是理想的中心受压荷载(没有偏心)。
随着压力P逐渐增大的过程,我们考察压力P与中点挠度Δ之间的关系曲线,称为P-Δ曲线或不平衡路径(图9-1(b))图9-1 分支点失稳(a)理想的中心受压杆;(b)P-Δ曲线 当荷载值Pl小于欧拉临界值时,压杆只是单纯受压,不发生弯曲变形(挠度Δ=0),压杆处于直线形式的平衡状态(称为原始平衡状态)在图9-1(b)中,其P-Δ曲线由直线OAB表示,称为原始平衡路径(路径Ⅰ)如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲,偏离原始平衡状态,则当干扰消失后,压杆仍又回到原始平衡状态因此,当P<Pcr时,原始平衡状态是稳定的也就是说,在原始平衡路径Ⅰ上,点A所对应的平衡状态是稳定的这时原始平衡形式是唯一的平衡形式当荷载值P2大于Pcr时,原始平衡形式不再是唯一的平衡形式,压杆既可处于直线形式的平衡状态,还可处于弯曲形式的平衡状态也就是说,这时存在两种不同形式的平衡状态与此相应,在图9-1(b)中也有两条不同的P-Δ曲线:原始平衡路径Ⅰ(由直线BC表示)和第二平衡路径Ⅱ(根据大挠度理论,由曲线BD表示如果采用小挠度理论进行近似计算,则曲线BD退化为水平直线BD′)进一步还可看出,这时原始平衡状态(C点)是不稳定的。
如果压杆受到干扰而弯曲,则当干扰消失后,压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态,而是继续弯曲,直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态为止因此,当P2>Pcr时,在原始平衡路径Ⅰ上,点C所对应的平衡状态是不稳定的两条平衡路径Ⅰ和Ⅱ的交点B称为分支点分支点B将原始平衡路径Ⅰ分为两段:前段OB上的点属于稳定平衡,后段BC上的点属于不稳定平衡也就是说,在分支点B处,原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存,出现平衡形式的二重性,原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡,出现稳定性的转变具有这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式分支点对应的荷载称为临界荷载,对应的平衡状态称为临界状态分支点失稳又称为第一类失稳图9-2 分支点失稳(a)受结点荷载的刚架;(b)受水压力的圆拱;(c)窄条梁其他结构也可能出现分支点失稳现象,其特征仍然是在分支点P=Pcr处,原始平衡形式由稳定转为不稳定,并出现新的平衡形式例如9-2(a)所示承受结点荷载的刚架,在原始平衡形式中,各柱单纯受压,刚架无弯曲变形;在新的平衡形式中,刚架产生侧移,出现弯曲变形又如图9-2(b)所示承受静水压力的圆拱,在原始平衡形式中,拱单纯受压,拱轴保持为圆形;在新的平衡形式中,拱轴不再保持为圆形,出现压弯组合变形。
再如图9-2(c)所示悬臂窄条梁,在原始平衡形式中,梁处于平面弯曲状态;在新的平衡形式中,梁处于斜弯曲和扭转状态9.1.2 极值点失稳图9-3(a)、(b)分别为具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆,它们称为压杆的非完善体系图9-3 极值点失稳(a)有初弯曲的压杆;(b)偏心荷载压杆;(c)P-Δ曲线 图9-3(a)、(b)中的非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态按照小挠度理论,其P-Δ曲线如图9-3(c)中的曲线OA所示在初始阶段挠度增加较慢,以后逐渐变快,当P接近中心压杆的欧拉临界值Pe时,挠度趋于无限大如果按照大挠度理论,其P-Δ曲线由曲线OBC表示B点为极值点,荷载达到极大值在极值点以前的曲线段OB,其平衡状态是稳定的;在极值点以后的曲线段BC,其相应的荷载值反而下降,平衡状态是不稳定的在极值点处,平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡这种失稳形式称为极值点失稳其特征是平衡形式不出现分支现象,而P-Δ曲线具有极值点极值点相应的荷载极大值称为临界荷载极值点失稳又称为第二类失稳 对工程中的结构而言,多数受压构件均处于偏心受压状态(即压力和弯矩同有的状态),是非完善的压杆体系,它们多属于第二类失稳问题。
最后,对稳定问题与强度问题的区别作一点说明 强度问题是指结构在稳定平衡状态下它的最大应力不超过材料的允许应力,其重点是在内力的计算上对大多数结构而言,通常其应力都处于弹性范围内而且变形很小因此,按线性变形体系来计算,即认为荷载与变形之间呈线性关系,并按结构未变形前的几何形状和位置来进行计算,叠加原理适用,通常称此种计算为线性分析或一阶分析对于应力虽处于弹性范围但变形较大的结构(如悬索),因变形对计算的影响不能忽略,应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算,此时,荷载与变形之间已为非线性关系,叠加原理不再适用,这种计算称为几何非线性分析或二阶分析 稳定问题与强度问题不同,它的着眼点不是放在计算最大应力,而是研究荷载与结构内部抵抗力之间的平衡上,看这种平衡是否处于稳定状态,即要找出变形开始急剧增长的临界点,并找出与临界状态相应的最小荷载(临界荷载)由于它的计算要在结构变形后的几何形状和位置上进行,其方法也属于几何非线性范畴,叠加原理不再适用,故其计算也属二阶分析稳定计算是结构力学中的一个重要专题,本章只讨论完善体系分支点失稳问题,并根据小挠度理论求临界荷载确定临界荷载的方法很多,其中最基本和最重要的是静力法和能量法。
以下就直杆稳定问题对这两个方法分别加以介绍9.2 稳定问题的分析方法—静力法根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法,称为静力法9.2.1 静力法确定有限自由度体系的临界荷载下面结合图9-4(a)的单自由度体系说明解法在图9-4(a)中,AB为刚性压杆,底端A为弹性支承,其转动刚度系数为k图9-4 单自由度失稳(a)原始平衡形式;(b)平衡的新形式在分支点失稳问题中,临界状态的静力特征是平衡形式的二重性静力法的要点是在原始平衡路径Ⅰ之外寻找新的平衡路径Ⅱ,确定二者交叉的分支点,由此求出临界荷载显然,杆AB处于竖直位置时的平衡形式(图9-4(a))是其原始平衡形式现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式(图9-4(b))根据小挠度理论,其平衡方程为 (9-1)由于弹性支座的反力矩MA=kθ,所以 (9-2)应当指出,在稳定分析中,平衡方程是针对变形后的结构新位置写出的(不是针对变形前的原始位置),也就是说,要考虑结构变形对几何尺寸的影响在应用小挠度理论时,由于假设位移是微量,因而对结构中的各个力要区分为主要力和次要力两类。
例如在图9-4(b)中,纵向力P是主要力(有限量),而弹性支座反力矩MA=kθ是次要力(微量)建立平衡方程时,方程中各项应是同级微量,因此对主要力P的项要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化(如式(9-1)中的第一项为主要力P乘以微量位移lθ),而对次要力的项则不考虑几何尺寸的微量变化(见例9-1)式(9-2)是以位移θ为未知量的齐次方程齐次方程有两类解:即零解和非零解零解(θ=0)对应于原始平衡形式,即平衡路径Ⅰ;非零解(θ≠0)是新的平衡形式为了得到非零解,齐次方程(9-2)的系数应为零,即或 (9-3)式(9-3)称为特征方程由特征方程得知,第二平衡路径Ⅱ为水平直线由两条路径的交点得到分支点,分支点相应的荷载即为临界荷载,因此 (9-4)例9-1 图9-5(a)所示是一个具有两个变形自由度的体系,其中AB、BC、CD各杆为刚性杆,在铰结点B和C处为弹性支承,其刚度系数都为k试求其临界荷载Pcr图9-5 两个自由度的体系(a)原始平衡形式;(b)平衡的新形式解:设体系由原始平衡状态(图9-5(a)的水平位置)转到任意变形的新状态(图9-5(b)),设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2,相应的支座反力分别为 同时,A点和D点的支座反力为 注意,本问题中纵向力P是主要力,横向力Y、R为次要力。
因而这里及下面写平衡方程时,主要力的项均考虑了结构变形的微量变化y,而次要力的项则没有考虑几何尺寸的微量变化(跨度仍用l)变形状态的平衡条件为 即 (a)这是关于y1和y2的齐次方程如果系数行列式不等于零,即则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解也就是说,原始平衡形式是体系唯一的平衡形式 如果系数行列式等于零,即 (b)则除零解外,齐次方程(a)还有非零解也就是说,除原始平衡形式外,体系还有新的平衡形式这样,平衡形式即具有二重性,这就是体系处于临界状态的静力特征方程(b)就是稳定问题的特征方程展开式(b),得由此解得两个特征值:其中最小的特征值叫做临界荷载,即将特征值代回式(a),可求得y1和y2的比值这时位移y1、y2组成的向量称为特征向量如将P=kl/3代回式(a),则得y1=-y2,相应的变形曲线如图9-6(a)所示如将P=kl代回式(a),则得y1=y2,相应的变形曲线如图9-6(b)所示图9-6 例9-1的失稳形态(a)第一失稳形态;(b)第二失稳形态9.2.2 静力法确定无限自由度体系的临界荷载前面讨论了有限自由度体系的稳定问题,现在讨论无限自由度体系的稳定问题,压杆稳定为其典型的代表。
静力法的解题思路仍旧是:先对变形状态建立平衡方程,然后根据平衡形式的二重性建立特征方程,最后,由特征方程求出临界荷载 在无限自由度体系中,平衡方程是微分方程而不是代数方程,这是与有限自由度体系不同的⑴ 等截面压杆图1-7所示为一等截面压杆,下端固定,上端有水平支杆,现采用静力法求其临界荷载图9-7 上端铰支下端固定的压杆 在临界状态下,体系出现新的平衡形式,如图中虚线所示柱顶有未知水平反力R,弹性曲线的微分方程为或改写为其中上式的解为常数A、B和未知力R可由边界条件确定 当x=0时,y=0,由此求得A=0当x=l时,y=0和y/=0,由此得 (9-5)因为y(x)不恒等于零,所以A、B和R不全为零。












