2020年山西省太原市矿机中学高二数学文期末试卷含解析（精编版）.pdf

2020年山西省太原市矿机中学高二数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 用反证法证明命题：“，且，则 a，b，c，d 中至少有一个负数 ” 时的假设为（）A. a，b，c，d 至少有一个正数B. a，b，c，d 全为正数C. a，b，c，d 全都大于等于0 D. a，b，c，d 中至多有一个负数参考答案：C 解：因为用反证法证明命题：“,且,则中至少有一个负数 ” 时的假设为全都大于等于0 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）ABC D 参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图【专题】探究型【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A 和选项 C而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B故选 D【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题3. 为了解某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力状况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5 组的频率成等比数列，设视力在到之间的学生数为，最大频率为，则的值分别为（）A BC D参考答案：B 4. 设（，），（，），（，）是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是A和的相关系数为直线的斜率B和的相关系数在0 到 1 之间C 当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D 直线过点参考答案：D 略5. （5 分）（ 2016 春?福建校级期中）用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3+axb=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程 x3+axb=0 没有实根B方程 x3+axb=0 至多有一个实根C方程 x3+axb=0 至多有两个实根D方程 x3+axb=0 恰好有两个实根参考答案：A【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论【解答】解：用反证法证明命题“设a，b 为实数，则方程x3+axb=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+axb=0 没有实根，故选： A【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题6. 已知两点，向量若，则实数 k 的值为（）A-2 B-1 C1 D2参考答案：B 7. 函数( 其中为自然对数的底数 ) 在的值域为（A）（B）（C ）（D ）参考答案：C 略8. 等于A. 6 B. 5 C. 4 D. 3参考答案：D 9. 两个平面 与 相交但不垂直，直线m在平面 内，则在平面 内( )A一定存在与直线m平行的直线 B一定不存在与直线m平行的直线C 一定存在与直线m垂直的直线 D不一定存在与直线m垂直的直线参考答案：C略10. 若 ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则 x 的取值范围是（）ABC D参考答案：D【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】根据三角形为钝角三角形，得到三角形的最大角的余弦值也为负值，分别设出3和 x 所对的角为 和 ，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为 和 都为钝角，得到其值小于0，则分别令余弦值即可列出关于x 的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x 的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为 x 的取值范围【解答】解：由题意，x的取值范围是，故选 D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，会求一元二次不等式组的解集，是一道综合题学生在做题时应注意钝角三角形这个条件二、 填空题 :本大题共 7 小题,每小题 4分,共 28分11. 已知,：（）,若 p是 q的充分不必要条件，则a的取值范围为 _. 参考答案：12. 已知点 A（1.0 ），B（1，0），若圆（x2）2+y2=r2上存在点 P，使得APB=90 ，则实数r 的取值范围为参考答案：（1，3）【考点】点与圆的位置关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】由题意可得两圆相交，而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为 2，由两圆相交的性质可得|r 1| 2|r+1|，由此求得 r 的范围【解答】解：根据直径对的圆周角为90，结合题意可得以AB为直径的圆和圆（x2）2+y2=r2有交点，检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交而以 AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，圆心距为2，故|r 1| 2|r+1| ，求得 1r3，故答案为：（ 1，3）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题13. 已知 a0，b0，a+b=2，则 y=+的最小值为参考答案：【考点】基本不等式【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值【解答】解： a+b=2 ，=1y=（）（）=+2=（当且仅当b=2a 时等号成立）则的最小值是故答案为：14. 不等式 |x 1|+|x a| 3 恒成立，则a 的取值范围为参考答案：a|a 4，或 a 2【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】由绝对值的意义可得|x 1|+|x a| 的最小为 |a 1| ，故由题意可得 |a 1| 3，解绝对值不等式求得a 的范围【解答】解：由绝对值的意义可得|x 1|+|x a| 表示数轴上的x 对应点到 1 对应点和 a 对应点的距离之和，它的最小为 |a 1| ，故由题意可得 |a 1| 3，即有 a13，或 a1 3，解得 a4，或 a 2，故 a 的范围是 a|a 4，或a 2 ，故答案为： a|a 4，或a 2 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题15. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线 FB与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为 .参考答案：16. 在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A 在 x轴上方若直线l 的倾斜角为60 ，则 OAF 的面积为 _。

参考答案：17. 有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是参考答案：1 和 3【考点】 F4：进行简单的合情推理【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1 和 2，或 1和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1 和 2，或 1和 3；（1）若丙的卡片上写着1 和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和 3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和 3；（2）若丙的卡片上写着1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和 3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；甲的卡片上写的数字不是1 和 2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是1 和 3故答案为： 1 和 3三、 解答题：本大题共5 小题，共 72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12 分）已知椭圆：与抛物线：有相同焦点（）求椭圆的标准方程；（）已知直线过椭圆的另一焦点，且与抛物线相切于第一象限的点，设平行的直线交椭圆于两点，当面积最大时，求直线的方程参考答案：（）由于抛物线的焦点为，得到，又得到（）思路一：设，直线的方程为即且过点，切线方程为由，设直线的方程为，联立方程组由，消整理得设，应用韦达定理得，由点到直线的距离为,应用基本不等式等号成立的条件求得思路二：，由已知可知直线的斜率必存在，设直线由消去并化简得根据直线与抛物线相切于点得到，根据切点在第一象限得；由，设直线的方程为由，消去整理得， 思路同上试题解析：（）抛物线的焦点为，又椭圆方程为（）（法一）设，直线的方程为即且过点，切线方程为因为，所以设直线的方程为，由，消整理得，解得设，则直线的方程为，点到直线的距离为，由，（当且仅当即时，取等号）最大所以，所求直线的方程为：（法二），由已知可知直线的斜率必存在，设直线由消去并化简得直线与抛物线相切于点，得切点在第一象限 设直线的方程为由，消去整理得，解得设，则，又直线交轴于 10 分当，即时，所以，所求直线的方程为 12分考点： 1椭圆、抛物线标准方程及几何性质；2直线与圆锥曲线的位置关系19. 已知函数 f （x）=的定义域为R （1）求实数 m的取值范围；（2）若 m的最大值为n，当正数 a，b满足+=n 时，求 7a+4b的最小值参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用【分析】（ 1）由题意可得 |x+1|+|x1| m 0 恒成立，可设函数g（x）=|x+1|+|x1| ，运用绝对值不等式的性质，可得g（x）的最小值为2，即有 m 2；（2）运用乘 1 法，变形可得7a+4b=（7a+4b）（+）= 2 （3a+b）+（a+2b） （+），展开后运用基本不等式，可得最小值，注意等号成立的条件【解答】解：（ 1）因为函数定义域为R，所以 |x+1|+|x1| m 0 恒成立设函数 g（x）=|x+1|+|x1| ，则 m不大于函数g（x）的最小值又|x+1|+|x1| | （ x+1）（ x1）|=2 ，即 g（x）的最小值为2，所以 m 2故 m的取值范围为（，2 ；（2）由（ 1）知 n=2，正数 a，b 满足+=2，所以 7a+4b=（7a+4b）（+）= 2 （3a+b）+（a+2b） （+）= 5+ （5+2）=，当且仅当 a+2b=3a+b，即 b=2a=时，等号成立所以 7a+4b的最小值为20. 如图，四棱锥PABCD 的底面是直角梯形，AB CD ，AB AD ， PAB 和 PAD是两个边长为 2 的正三角形， DC=4 （I ）求证：平面PBD 平面 ABCD ；（II ）求直线 CB与平面 PDC所成角的正弦值参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（ 1）根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，从图可看出，只要证PO 平面 ABCD 即可（2）设平面 PDC 的法向量为，直线 CB与平面 PDC 所成角 ，求出一个法向量为，可得和夹角的余弦值，即为直线CB与平面 PDC所成角的正弦值【解答】证明：（1）设 O是 BD的中点，连接AO ，PAB和PAD是两个边长为2 的正三角形， PB=PD=2 ，又 BO=OD ，PO BD AB AD ，在 RtABD中，由勾股定理可得，BD=2OB=在 RtPOB中，由勾股定理可得，PO=，在 RtABD中， AO=在PAO中， PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得PO AO 又BD AF=O ，PO 平面 ABCD PO ?平面 PBD ，平面 PBD 平面 ABCD （2）由（ 1）知 PO 平面 ABCD ，又 AB AD ，过 O分别做 AD ，AB的平行线，以它们做x，y 轴，以 OP为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：由已知得： A（1，1，0），B（1，1，0）， D （1， 1，0），C（1，3，0）， P（0，0，）则，设平面 PDC的法向量为，直线 CB与平面 PDC所成角 ，则，即，解得，令 z1=1，则平面 PDC的一个法向量为，又，则，直线 CB与平面 PDC所成角的正弦值为21. 设求的最小值。