第5讲简便计算——裂项相消法.doc

第5讲 简便计算（四）一一列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相 加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法列项相消公式(1)1 1 丄n(n 1) n n 1(2)(3)1n(n k)(4)1 『 1nn1 n 2 一 nn11 J (n 十 1)( n+2),2(5)a b 1 1 =— r ——2 2(6)a b b a =— r ——a b a b三：数列（1） 定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列2） 数列中的每一个数叫做这个数列的 项依次叫做这个数列的第一项（首项） 、第二项、、、、、、第n项（末项）3 ）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几四：等差数列（1） 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这 个数列就叫做等差数列而这个常数叫做等差数列的 公差2） 等差数列的和=（首项+末项）X项数吃（3） 等差数列的 项数=（末项-首项）呛差+14）等差数列的 末项=首项+公差X （项数-1 ）三：经典例题 例11X2 2江3 3汇4 4^5 5汇6 6江7 7 汇8（例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式1 =1n(n 1) n1111111+ + + + ++26 12 20 30 4256例2、1 11+3 +5 +76 12111111 1+9 +11 +13 +15 +17 +1920 30 42 56 72 90 1101 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 133 15 35 63 991丄+3丄+5丄+7丄+9丄3 15 35 63 9911111+++ +1 44 77 1010 1313 16例7、例8、+山+2 2+ —2001 2003 2003 20053 5 7 9 11 13 15- + - + - +2 6 12 20 30 42 56例10、35 _ 49 63 _ 77 91 _ 1056 12 20 30 42 56（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个o + b 1 1数相加的和。

可用公式 5 11 19 小 9701 9899例 11、 +-+ + + + 6 12 20 9702 9900（观察到每个分数分母都比分子多 1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的 分子都变为1，可用列项相消法巧算a 汇 b a b例12、7 13 21 31 43 57 73 91+ + + + + + +6 12 20 30 42 56 72 90（观察到每个分数分子都比分母多 1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算2 2 2 2 2例 13、2 + 4 + 6 + 豆+10_1x3 3沢5 5沢7 7汉9 9汉11例14、」 1 —1 2 3 2 3 4 3 4 5（观察到分子都是1，分母是连续的三个数相乘，所以可以用公式(n n+2)丿 22 2 2 2 2 2 2 2例15、1 2 2 3 3 4 小 2001 2002 + + +||| + 1 2 2 3 3 4 2001 2002(观察此题可用公式. a列项凑整，但不能相消 a b四：考题精选111111111++ + + + + ++61220 30 42 56 72 901101、1 1 3111115 7 9 1112 20 30 4213 15615 17217 1901911106 8 8 10十川1998 2000298 1002 2 2 24、2446688 1013995、1-2 丄 3 丄 4— 103 15 35 631-5 + 二_9 + 口上 + 26 12 20 30 42 56「 35 49 63 77 91 1057、 — - — ■ — - — ■— 6 12 20 30 42 568、13 4 5 川 10 11 1211111 1 + + + + + 1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 9 11 9 11 13 11 13 1510、12 312 3 4+ 111 +11 2 3 |1( 201111、222222 2 212 22 22 32 . 32 42 川 19992 20002 2 2 3 3 4 1999 2000。