折叠问题的处理技巧.doc

几何精练折叠问题的处理技巧考点动向　折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点．方法范例例１（2005·湖南）如图７－１，已知是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴折成直二面角．　　（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小． 解析　本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答．解法１　（I）证明： 由题设知，．所以是所折成的直二面角的平面角，即． 故可以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关各点的坐标是，，，．从而，，．所以．（II）解：因为，所以，由（I），所以平面，是平面的一个法向量．设是平面的一个法向量，由 取，得． 设二面角的大小为，由、的方向可知，>，所以 ．即二面角的大小是．解法２（I）证明： 由题设知，，所以是所折成的直二面角的平面角，即． 从而平面，是在面内的射影．因为，，所以，，从而，由三垂线定理得．（II）解 由（I），，知平面．设，过点作于，连结（如图７－３），则是在平面内的射影，由三垂线定理得．所以是二面角的平面角．由题设知，所以，，从而， 又，所以 ， 即二面角的大小是．[规律小结]折叠问题往往描述的也是一个运动变化的过程，因此，首先需要能够想象出折叠的过程，并对折叠前后相应的数量关系和位置关系的变化有十分清楚的认识，特别是那些没有变化的量及位置关系，往往对解题起到关键性的作用．考点误区分析解答折叠类问题，最忌没有认识到折叠前后的变化就盲目解答，要加强对比，认识变化产生的解题影响及作用．需要培养读图能力以及动手能力，在平时训练时，需要对折叠问题涉及的图形进行动手演示观察的，就要亲自动手做一下，直到考试时不用动手也可以想到具体情形．同步训练１．（2005·浙江）设是直角梯形两腰的中点，于（如图７－４）．现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则的连线与所成角的大小等于_________．２．（2006·山东）如图７－５，在等腰梯形中，，，为的中点，将与分别沿向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（　　）． 　 　３．（2006·江苏）　在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图７－５）．将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P．（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）［参考答案］１．［解析］如图７－６，可知为二面角的平面角，于是，又可知，则取中点，有，等腰直角三角形中，有，则．［答案］．２．［解析］所求实际为棱长为１的正四面体的外接球的体积，可将正四面体嵌入正方体中，使正四面体顶点恰好是正方体的顶点，则正方体的棱长为，则球半径为．［答案］．３．［答案］（Ⅱ）；（Ⅲ）．。