第五章群论在量子力学中的应用矩阵元的计算ppt课件.ppt

第五章第五章 群群论在量子力学中的运用在量子力学中的运用§5.1 矩矩阵元的元的计算算矩阵元定理1〔即维格纳一埃伽定理〕：属于两个不同的不可约不等价表示的恣意两个基函数，或属于同一不可约表示的不同列的两个基函数相互正交属于同一不可约么正表示同一行的基函数间的内积与行数无关 属于 的基为 属于 的基为上面定理意为： ——〔*〕其中 ，与 和 无关 = Cjjj显然， Cj与无关如归一， Cj＝1对于哈密顿算符的矩阵元，据PR的么正和H的对易性，有： 两边对R求和: 左边 右边 其中 ，它是与无关的常数∴ ——〔**〕 矩阵元定理2：对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数，哈密顿矩阵元为零，而对于同一个表示的一样列的矩阵元都有一样的值。

〔*〕和〔**〕两式被称为矩阵元定理 ——〔**〕 ——〔*〕 §5.2 §5.2 能量本征能量本征值和本征函数的近似和本征函数的近似计算算 设在S、E ——〔Δ〕中待求的函数 可按知的完好本征函数系列 展开： ——〔□〕代入〔△〕，并将方程的两边与 构成内积得： ——〔△△〕 这是对于未知数 的线性齐次代数方程组其解存在的条件是： ——〔久期方程〕  普通说，上面的求和是无穷级数，为此，只能取其N项作截断近似，而久期方程变为N×N行列式，其根是本征值E，把它代回到〔△△〕式中去，便得复数 。

普通，N越大，结果越准确，但任务量也随之正比于N! 运用矩阵元定理，以上任务可大大简化，关键在于重新编排〔□〕式中的知函数系，使得它们是H的对称群G的不可约表示的基函数 设：H的对称群为G， 前面已证明：哈密顿H的对称群G的基函数即为H的本征函数 因此， 可按各套表示的基函数展开： 〔 求和， j为各表示求和〕 这样，久期方程为：据上节中的矩阵元定理：除了 同时 以外，上式中其他的矩阵元均为零∴久期方程为：其中 是矩阵元，其值： 上式化为： 于是完好的本征值谱可由 即 求得，此式要比原久期方程的求解要简单得多！ 另外，由矩阵元定理可知：矩阵元的值与无关这就使得对每个不可约表示 有 久期方程为： ， …恣意于是对于每个不可约表示 ，只需解一个 的方程就够了，并因此求出的能量本征值是 重简并的。

 以上讨论中，已假定了对于不同的j，其表示只需一个实践中，还能够有这样的情况：即有1个D(1)，2个D(2)，… j个D(j) … 个D() ，这时按上面同样讨论可得久期方程为准对角的行列式方程，其对角元素有些还是矩阵，虽然如此，它的维数要大大小于原久期方程的维数，从而也大大简化了计算，详细计算这里不作讨论 12m1维m2维§5.3 §5.3 微微扰引起的引起的对称性的降低称性的降低 设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H'那么系统哈密顿为： 设群G是H0的对称群 群G'是H'的对称群虽说G'的每个变换都将坚持H0不变，但普通G的每个变换并不都能坚持H'不变 因此， G'通常是G的子群 例：均匀电场 加到氢原子上 即：氢原子的斯塔克效应那么G〔球对称〕→ 〔轴对称〕 的参与将引起电子能量中某些简并能级的劈裂，从而引起谱线的分裂 根据G和 的不可约表示之间的关系可以预言简并能级的分裂:∵ 是G的子群∴相应未被微扰的能级 的不可约表示 普通是 的可约表示即： 其中 是 的不可约表示，共有r个∴对称性降低的作用是将对应表示 的能级劈裂成子能级，子能级的简并重数由 的不可约表示的维数确定。

留意：群论只能预言谱线的分裂，但分裂的详细大小，还要靠详细计算 通常，对应这r个不可约表示的 的本征值，即对应的能量是不同的例：设有量子系统，未微扰前的哈密顿 具有O群〔八面体群〕的对称性： 八面体群，它包括立方体的24个对称转动 24个元素可分成5个类： ①因此它具有5个不可约表示 ②据Burnside定理 独一的解为 因此，该群的不可约表示为： 二个一维表示 一个二维表示 二个三维表示据正交定理得O群的特征标表： 现给体系施加以对称性为点群 的场 时，三重简并 即要分裂设 轴和O群的一个 重合，那么O群的元素E，2 ，3 构成 ,表示 是这个子群的可约表示 下表给出了 的不可约表示的特征标，同时也把O群中相应 元素的 的特征标例于表中： 作为 一个可约表示的分解 这阐明：三重简并能级 在 的对称场作用下劈裂成非简并能级 和二重简并能级 。

但是，在这里我不能给出劈裂值的大小和能级高低的次序，因此，对称性——预言能级能否劈裂和简并的部分消除或全部消除 §5.5 §5.5 系系统对称性和能称性和能级简并度并度 定定义义：：假假设设能能级级E对对应应的的对对称称群群G的的表表示示是是不不可可约约表表示示，，那那么么此此能能级级的的简简并并称称为为正正那那么么简简并并；；假假设设对对应应可可约约表表示示，，那么称偶尔简并那么称偶尔简并定理：〔维格纳定理：〔维格纳-埃伽定理〕埃伽定理〕 属属么么正正的的线线性性变变换换群群PG的的两两个个不不等等价价不不可可约约么么正正表表示示的的函函数数相相互互正正交交，，属属同同一一不不可可约约么么正正表表示示不不同同行行的的函函数数也也相相互互正正交交，，属属同同一一不不可可约约么么正正表表示示同同一一行行的的函函数数间的内积与行数无关间的内积与行数无关 证明： 设 和分属不可约么正表示 行和 行： 那么： 令 那么 由Sohur引理知：∴其中常C是约化矩阵元，它与下标μ无关 PR么正R=单位元讨论：先假定偶尔简并对应的可约表示中包含的不可约表示互不等价。

设体系的哈密顿量为：其中原始哈密顿量为 ，微扰相互作 和 有一样的对称性，称为对称微扰： 本征函数已按以前方法组合成属确定不可约表示 确定行μ的函数 ： 经 作用， 具有一样变换性质： 能量一级微扰由 在 本征函数中的矩阵元决议 对正那么简并，据维格纳—埃伽定理； 能量修正 与μ无关，故能级发生平移但不分裂，即对称微扰不能解除正那么简并 现实上，这是一个非微扰的结论：对称性保证了正那么简并的能级不会分裂，这可了解如下： 设总哈密顿 ，当λ由零到一延续变化时，H的本征函数也由 的本征函数 出发进展延续变化，由于变化过程中对称性一直坚持不变，由维格纳—埃伽定理：在变化过程中H本征函数一直属于同一不可约表示同一行，而架设该表示空间的一切函数都是H同一能级的本征函数，即正那么简并能级不会分裂 对偶尔简并，属同一不可约表示各行的函数，能级挪动一样，能级不会分裂但属于两个不可约表示的函数，能级挪动普通不相等，于是能级分裂了。

 在对称微扰作用下，偶尔简并的能级可以分裂，但最多分裂到正那么简并，而且用对称群不可约表示标志的原始波函数是好的零级波函数假设偶尔简并对应的表示约化时出现两个一样的不可约表示，那么原始波函数中出现两组属同一不可约表示的函数，它们的恣意组合仍属同一不可约表示，此时 在这两组波函数间的矩阵未必对角化，虽然如此，维格纳—埃伽定理说：可以恣意选取确定的μ，计算2×2矩阵 〔 属两组属同一不可约表示的函数〕把此矩阵对角化即可得到好的零级波函数和能量一级微扰，与不运用对称性选择零级波函数的普通方法相比，计算量大大减少了 假设 的对称群 是 对称群G的子群，即使 的能级关于G是正那么简并，关于 仍能够是偶尔简并用 替代G，前面的讨论对如今情况仍适用，在 微扰的作用下，能级最多分裂到关于 的正那么简并 普通说来，假设G包括了H的全部对称变换，能级只能是正那么简并偶尔简并与尚有但还未发现的H的对称性有关。