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第三章 正交函数集及信号在正交函数集上的分解3.1 3.1 信息分解的物理意义信息分解的物理意义3.2 3.2 正交函数集正交函数集3.3 3.3 信号在正交函数集上的分解信号在正交函数集上的分解3.4 3.4 举例举例3.5 3.5 应用及小结应用及小结3.1 分解的物理意义1、现实生活中可类比的事例n n衡量钢材的质量，需要分析它的强度、韧性、衡量钢材的质量，需要分析它的强度、韧性、弹性等指标弹性等指标n n衡量学习情况，要看多门功课的成绩衡量学习情况，要看多门功课的成绩n n水是由水是由H H和和O O组成的组成的n n………………………………………………2、几何学中的例子XYPn n平面坐标系平面坐标系3、启示n n自然界中存在着一些能够组成各种事物的基本单元n n不同的事物可以由这些基本单元通过不同的配比构成n n数学上，可类比的现象为“线性表出线性表出” 即A=b1·B1+b2·B2+…+bn·Bn Bn被称为基元，bn被称为系数3.2 正交函数集1、正交集示例n n二维坐标系二维坐标系XYPn n三维坐标系三维坐标系XZPY2、由坐标系统得到的启示n n系统中存在多个轴（向量集合）系统中存在多个轴（向量集合） 对二维坐标系统，存在X，Y两坐标轴 对三维坐标系统，存在X，Y，Z三坐标轴n n轴之间彼此两两垂直（向量正交）轴之间彼此两两垂直（向量正交） 对二维坐标系统，X轴与Y轴垂直（正交） 对三维坐标系统， X轴、Y轴、Z轴彼此两两垂直（正交）3、正交集合n n正交集合是由一系列元素组成的 坐标系统中的元素是向量 正交函数集合的元素是函数n n元素是彼此正交的 坐标系统中向量彼此正交 正交函数集合中的函数彼此正交正交建立在点积的基础上如果两个元素的点积为0，则两元素正交4、矢量点积5、函数点积-111tf1(t)11tf2(t)函数点积定义在一个区间之上11tf1(t) f2(t)5、函数点积-26、正交集定义7、正交函数集定义-17、正交函数集定义-28、“正交”与“垂直”n n正交的概念更为广泛，而垂直一般而言是正交在几何学中的反映n n正交与垂直是等价的概念9、正交集举例11tf1(t)11tf2(t)11tf3(t)n n类比理解正交函数集类比理解正交函数集 一个正交函数集可以类比成一个正交函数集可以类比成一个坐标系统一个坐标系统 正交函数集中的每个函数均正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的的一个轴类比成该坐标系统中的的一个轴 在该坐标系统中，一个函数在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点可以类比成一个点 点向这个坐标系统的投影点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。

个坐标系统中的坐标{f1(t), f2(t), f3(t)}构成正交函数集3.3 信号在正交函数集上的分解1、正交集上的分解-1从高等数学和线性代数的知识可知：从高等数学和线性代数的知识可知：n nC1=[1C1=[1，，0 0，，0] C2=[00] C2=[0，，1 1，，0] C3=[00] C3=[0，，0 0，，1]1] 可以构成了三维矢量空间上的正交集可以构成了三维矢量空间上的正交集 也就是三维坐标空间上的三个正交轴也就是三维坐标空间上的三个正交轴n n向量间点积的定义为：向量间点积的定义为：C1C1• •C2=C1C2=C1T TC2C2n n三维坐标系三维坐标系XZPY1、正交集上的分解-2n n任意一个三维矢量（三维空间中的一点）都可以任意一个三维矢量（三维空间中的一点）都可以由上述三个正交矢量（正交轴）线性表出：由上述三个正交矢量（正交轴）线性表出： P P（（x,y,zx,y,z））= x·C1 + y·C2 + z·C3= x·C1 + y·C2 + z·C3 其中：其中： x=P x=P• •C1C1 y=P y=P• •C2C2 z=P z=P• •C3C3n n上述过程即为三维矢量空间或称为三维坐标空间上述过程即为三维矢量空间或称为三维坐标空间中的正交集上的分解中的正交集上的分解1、正交集上的分解-3n n如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。

的，否则称该正交集是不完备的n n不完备的情况，比如：不完备的情况，比如： 值空间为三维线性空间值空间为三维线性空间 C1=[1 C1=[1，，0 0，，0]0]，，C2=[0C2=[0，，1 1，，0]0]，， C3=[0 C3=[0，，0 0，，1]1] 所构成的正交集是完备的所构成的正交集是完备的 而而C1=[1C1=[1，，0 0，，0]0]，，C2=[0C2=[0，，1 1，，0]0] 所构成的正交集是不完备的所构成的正交集是不完备的1、正交集上的分解-4n n不完备情况下，一般要以一定的准则来完成元素的分解最常用的是均方误差准则）n n例如： 矢量D=[2，3，9]要在上述的正交函数集上分解，显然可以分解成： 2C1+3C2 令其为D1，则 D1 =[2，3，0]1、正交集上的分解-5n n此时的均方误差定义为： |D1-D|2=|[0，0，9]|2=02+02+92=81n n尽管误差很大但已经是可能的最小的均方误差了n n所以在此正交集上的分解有： D 2C1+3C21、正交集上的分解-7n n最小均方误差的几何意义正交函数集中的矢量C1正交函数集中的矢量C2C1，C2通过线性加权所可能获得的矢量可以构成一个平面最小方差准则下的最优分解D1YXZ值空间中的一个矢量D2、正交函数集上的分解-12、正交函数集上的分解-22、正交函数集上的分解-32、正交函数集上的分解-4n n最终得到求解系数的公式为：最终得到求解系数的公式为：1、方波的分解-1n n将下列方波信号将下列方波信号f(t)f(t)在的正交函数集在的正交函数集{sint{sint，，cost}cost}上分解上分解0tf(t)1、方波的分解-22、周期信号的付里叶级数-1n n高等数学中我们知道，一个周期信号可以表示为：上述的结果是如何来的呢？先看一个例子2、周期信号的付里叶级数-2信号叠加举例： W0=10Hz2、周期信号的付里叶级数-3由上例可以看出由上例可以看出n nf(t)f(t)可以由可以由f f1 1(t)(t)，， f f2 2(t)(t)，， f f3 3(t)(t)经过线性叠加得到。

经过线性叠加得到 n n如果将如果将f f1 1(t)(t)，， f f2 2(t)(t)，， f f3 3(t)(t)看做基本信号，则看做基本信号，则f(t)f(t)包含包含1 1份份f f1 1(t)(t)，，2 2份份f f2 2(t)(t)，，3 3份份f f3 3(t)(t)，这对于分析，这对于分析f f (t)(t)的性质是很有好处的的性质是很有好处的 是不是任何信号均可以由是不是任何信号均可以由是不是任何信号均可以由是不是任何信号均可以由 一系列基本信号经过线性叠加得到呢？一系列基本信号经过线性叠加得到呢？一系列基本信号经过线性叠加得到呢？一系列基本信号经过线性叠加得到呢？2、周期信号的付里叶级数-42、周期信号的付里叶级数-5n n基本函数的选择：正交的三角函数集基本函数的选择：正交的三角函数集2、周期信号的付里叶级数-6n n下面解决第二个问题：求解对应的系数下面解决第二个问题：求解对应的系数 采用前面介绍的正交函数集的理论采用前面介绍的正交函数集的理论2、周期信号的付里叶级数-72、周期信号的付里叶级数-83.5 应用及小结1、应用n n正交函数集可类比为一个坐标系统正交函数集可类比为一个坐标系统n n分解形成的系数可类比为点在坐标系统各轴上的分解形成的系数可类比为点在坐标系统各轴上的投影，这组系数即可以作为特征用于模式识别也投影，这组系数即可以作为特征用于模式识别也可以作为权值进行评价和决策可以作为权值进行评价和决策n n由正交函数集理论推导出的付里叶变换、由正交函数集理论推导出的付里叶变换、DCTDCT变变换等还广泛用于各类信息处理过程，包括音频、换等还广泛用于各类信息处理过程，包括音频、图象、视频的处理，以及各类数值的分析图象、视频的处理，以及各类数值的分析2、小结n n正交集、正交函数集、标准正交集、标准正交函数集的概念。

n n完备正交集的概念n n信号在正交函数集上的分解方法，该方法的几何意义以及所遵循的最小方差原则n n信号在正交函数集上分解的物理意义以及周期信号付里叶级数的由来。