郭氏数学初中辅助线问题全解.pdf

初中数学作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的二：垂线、分角线，翻转全等连如遇条件中， 有垂线或角的平分线， 可以把图形按轴对称的方法， 并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生其对称轴往往是垂线或角的平分线三：边边若相等，旋转做实验如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形， 这时辅助线的做法仍会应运而生其对称中心，因题而异，有时没有中心故可分“有心”和“无心”旋转两种四:造角、平、相似，和、差、积、商见如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商， 往往与相似形有关在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角； 第二，是把三角形中的某一线段进行平移故作歌诀： “造角、平、相似，和差积商见 ”（托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦六：两圆相切、离，连心，公切线如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线七：切线连直径，直角与半圆如果条件中出现圆的切线， 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线即切线与直径互为辅助线如果条件中有直角三角形， 那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线即直角与半圆互为辅助线八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立如遇平行弦， 则平行线间的距离相等， 所夹的弦亦相等， 距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线九：面积找底高，多边变三边如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图1-1 ：D、E为 ABC内两点 , 求证 :ABAC BD DE CE. 证明：（法一） 将 DE两边延长分别交AB、AC 于 M 、N，在 AMN 中， AM AN MDDE NE;（1）在 BDM 中， MB MD BD ；（2）在 CEN中， CN NECE ；（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： AMAN MB MD CN NE MD DE NE BDCE AB AC BDDE EC （法二：）如图 1-2 ， 延长 BD交 AC 于 F，延长 CE交 BF于 G，在 ABF和 GFC和 GDE中有： AB AF BD DG GF （三角形两边之和大于第三边）（1） GF FC GE CE （同上）（2） DG GE DE （同上）（3）由（ 1）（ 2）（ 3）得： AB AF GF FC DG GE BD DG GFGE CE DE AB AC BDDE EC 。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点，求证：BDC BAC 分析： 因为 BDC与 BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使 BDC处于在外角的位置， BAC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E，这时 BDC是 EDC的外角， BDC DEC ，同理 DEC BAC ， BDC BAC 证法二：连接AD ，并延长交BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD ，同理， CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即： BDC BAC 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1 ：已知 AD为 ABC的中线，且 1 2, 3 4, 求证： BE CFEF分析：要证BE CFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF移到同一个三角形中，而由已知1 2， 3 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF移到同一个三角形中。

证明： 在 DA上截取 DN DB，连接 NE ，NF，则 DN DC ，在 DBE和 DNE中：)()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN DBE DNE （SAS ）BE NE（全等三角形对应边相等）同理可得： CFNF ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图ABCDEFN13图1234在 EFN中 EN FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE CFEF注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形例如：如图4-1 ：AD为 ABC的中线，且1 2， 3 4，求证： BECFEF 证明 ：延长 ED至 M ，使 DM=DE ，连接CM ，MF 在 BDE和 CDM 中，)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBDBDE CDM （SAS ）又 1 2， 3 4 （已知）1 2 3 4180（ 平角的定义 ）3 2=90即：EDF 90FDM EDF 90在 EDF和 MDF 中)()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDEDEDF MDF （SAS ）EFMF （全等三角形对应边相等）在 CMF 中， CFCM MF （三角形两边之和大于第三边）BE CF EF注：上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形例如：如图5-1 ：AD为 ABC的中线，求证：ABAC 2AD 分析：要证 AB AC 2AD ， 由图想到： ABBD AD,AC CD AD ， 所以有 ABAC BDCD AD AD 2AD ，左边比要证结论多BDCD ，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造 2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明： 延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE ，则 AE 2AD AD为 ABC的中线（已知）BD CD （中线定义）在 ACD和 EBD中)()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD ACD EBD （SAS ） BE CA （全等三角形对应边相等）在 ABE中有： AB BE AE （三角形两边之和大于第三边）AB AC2AD 常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC ，AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF2AD 。

六、截长补短法作辅助线例如：已知如图6-1 ：在 ABC中， AB AC ， 12，P为 AD上任一点求证： AB ACPB PC ABCDE15图14图ABCDEFM1234ABCDEF25图分析：要证：AB AC PB PC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB AC ，故可在AB上截取 AN等于 AC ，得 AB AC BN ， 再连接 PN ，则 PC PN ，又在 PNB中， PB PN BN ，即： AB ACPB PC 证明： （截长法）在 AB上截取 AN AC连接 PN , 在 APN和 APC中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN APN APC （SAS ） PC PN （全等三角形对应边相等）在 BPN中，有 PBPN BN （三角形两边之差小于第三边） BP PC AB AC 证明： （补短法）延长 AC至 M ，使 AM AB ，连接 PM ，在 ABP和 AMP 中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB ABP AMP （SAS ）PBPM （全等三角形对应边相等）又在 PCM 中有： CM PM PC(三角形两边之差小于第三边) ABAC PB PC 。

七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知 AC BD，AD AC于 A ，BC BD于 B，求证： AD BC 分析：欲证 ADBC ，先证分别含有AD ，BC的三角形全等， 有几种方案： ADC与 BCD ，AOD与 BOC ， ABD与 BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角证明 ：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E点，AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定义）在 DBE与 CAE中)()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBE CAE （ AAS ）ED EC EBEA （全等三角形对应边相等）ED EA ECEB 即： AD BC 当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决例如：如图8-1：ABCD ，AD BC 求证： AB=CD 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决证明 ：连接 AC （或 BD ）AB CD ADBC （已知） 1 2， 3 4 （两直线平行，内错角相等）在ABC与 CDA中)(43)()(21已证公共边已证CAACABC CDA （ASA ）AB CD （全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

ABCDNMP16图1 2ABCD18图1234ABCDE17图O例如：如图9-1 ：在 RtABC中， AB AC ， BAC 90， 1 2，CE BD的延长于E 求证： BD 2CE 分析： 要证BD2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ABC的平分线垂直，想到要将其延长证明：分别延长BA ，CE交于点 FBE CF （已知） BEF BEC 90 （垂直的定义）在 BEF与 BEC中，)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEF BEC （ ASA ） CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF 901 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中)()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABD ACF （AAS ） BD CF （全等三角形对应边相等）BD 2CE 十、连接已知点，构造全等三角形例如：已知：如图10-1 ；AC、BD相交于 O点，且 AB DC ，AC BD，求证： A D分析： 要证 A D，可证它们所在的三角形。