高中数学 2.3.2 等差数列前n项和的性质配套课件 新人教A版必修5.ppt

2．3.2 等差数列前 n 项和的性质【学习目标】1．掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题．1．等差数列的最值在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若a1<0，d>0，则 Sn 存在最小值．2．等差数列的单调性d＝0当 等 差 数 列 的 公 差 _____ 时，数 列 为 递 增 数 列；当________时，数列为递减数列；当__________ 时，数列为常数列．n(7－n)练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an}的前 n 项和 Sn＝________，Sn 的最大值为_______．d >0d <012【问题探究】已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn，首项为 a1，则该数列的通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式？题型 1 等差数列的前 n 项和的性质及应用【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为()A．30B．170C．210D．260解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70.∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110.S3＝a1＋a2＋a3＝210.由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210.方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)．∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.方法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝an2＋bn.∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100.答案：C【变式与拓展】1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝()BA．63B．45C．36D．272．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则S6＝()CA．12B．18C．24D．42题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的最大值为________．思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解．∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0.而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0.故当n＝13时，Sn有最大值．方法四：由 d＝－2，得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立点)，图 D4∴当 n＝13 时，Sn 取得最大值 169.答案：169求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式与拓展】3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6项为正，第 7 项为负．(1)求数列的公差；(2)求前 n 项和 Sn 的最大值；(3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值．解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0.又∵d∈Z，∴d＝－4.(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值为：题型 3 等差数列前 n 项和的实际应用【例 3】 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|; (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.思维突破：先求出数列的通项公式an. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13； 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13. ∴an＝－2n＋13(n∈N*)．(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5.又∵n∈N*，∴n≤6.∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27.(2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6－(a7＋…＋a10)＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.(3)由(1)(2)可知：当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2；当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝S6－(Sn－S6)＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|【变式与拓展】4．等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0.(1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；(2)求 d 的取值范围．(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.【例 4】 已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.易错分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0，得n≤5理解为 n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，和．事实上，本题要对 n 进行分类讨论．解：由an＝25－5n≥0，得 n≤5.∴当 n≤5 时，当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)[方法·规律·小结]求等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法如下：(1)利用 an：当 an>0，d<0 时，Sn 有最大值可由 an≥0，且an＋1≤0，求得 n 的值；当 an<0，d>0 时，Sn 有最小值可由 an≤0，且 an＋1≥0，求得 n 的值．最值时 n(n∈N*)的值．。