14函数应用与最值(教师版).doc

如东县马塘中学高一年级数学学科暑假作业7月26日 姓名 学号 函数的应用与最值——最优化是现实中理想的追求,最优化问题就是最值问题,是应用题的焦点一、知识梳理1．函数的最值的定义：函数y=f(y)，定义域为A，若存在y0∈A，使得对任意的y∈A，恒有成立，则称为函数的最小（大）值2.求函数最值的方法（求最值与求值域一般相同,最值问题更具综合性和灵活性）（1）配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题；（2）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x的值；（3）不等式法：利用平均不等式求最值,注意一正二定三等；（4）换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为已知,其中三角代换是重要方法换元后须注意新变量的取值范围；（5）数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值；（6）单调性法：利用函数的单调性求最值；（7）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.3．解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。

3)求解：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程4．常见函数模型(1)二次函数型 (2) “对钩函数”型(3) 分段函数模型 (4) y=N(1+p)y型及数列型二、自我检测1.函数f（y）=的最大值是 2.东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金是 6元 设提价2x元,则获利y=(10+x)(100-10x)= -20(x2-5x-50),x=2或3时最大,x=3时投资小; 3．设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立则x的取值范围是 即f(m)=(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立， 则f(2)<0且f(-2)<0解得x∈（,）;4.函数f(x)=a2+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 5. 设x1、x2为方程4x2－4mx+m+2=0的两个实根， x12+x22的最小值为 6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨． .总费用,当x=20时取等号,费用最小.答:20;7．若x、y∈R，且x2+y2=1，则（1－xy）(1+xy)的最小值是______，最大值是_____ .三角代换,令x=cosα,y=sinα.答案:3/4, 1;8.已知函数f(x)=, x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 解:(1) 当a=时，f(x)=x++2∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一: 在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 设y=x2+2x+a, x∈［1,+∞∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3 解法二:f(x)=x++2, x∈［1,+∞当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3解法分析：（1）中不能用用判别式法求最值, 对也不能用均值不等式求最值，只能用”对钩”函数的的单调性求最值. 9.某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为（1）利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为故总费用∴当且仅当x=12时，y最小=7a(6-1)=35a(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14,则修旧墙的费用为，建新墙的费用为，故总费用设上为增函数，∴当x=14时，所以，采用第一种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省。

特别提醒: 本题要对厂房一边长<、>14两种方案都作讨论.10.某影院共有1000个座位，票价不分等次根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）1）把y表示成x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？解：（1）由题意知当x≤10时，y=1000x-5750, 当x>10时，y=[1000-30(x-10)]x-5750= -30x2+1300x-5750又x∈N,∴6≤x≤38 ∴所求表达式为（2）当当所以每张票价定为22元时净收入最多三.小结与反思:1．熟练掌握求函数最值的几种方法，并能灵活转化运用；2．用不等式求最值时要注意“=”的成立条件;3．不等式恒成立问题转化为最值问题4．解应用题的一般程序:(1)审题 (2)建模;(3)求解;(4)作答。