考研数学二真题(1990-2017年)(直接打印版).pdf

- 1 - 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：一、选择题：1~8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数 1 cos ,0 ( ) ,0 x x f x ax b x        在 x=0 连续，则 (A) 1 2 ab  (B) 1 2 ab   (C)0ab (D)2ab （2）设二阶可到函数( )f x满足(1)( 1)1,(0)1fff 且 ( )0fx，则 (A) 1 1 ( )0f x dx    (B) 1 2 ( )0f x dx    (C) 01 10 ( )( )f x dxf x dx    (D) 11 10 ( )( )f x dxf x dx    （3）设数列  n x收敛，则 (A)当limsin0 n n x  时，lim0 n n x   (B)当lim()0 nnn n xxx   时，则lim0 n n x   (C)当 2 lim()0 n n n xx  , lim0 n  (D)当lim(sin)0 nn n xx  时，lim0 n n x   （4）微分方程 2 48(1 cos2 ) x yyyex 的特解可设为 k y  (A) 22 ( cos2sin2 ) xx AeeBxCx (B) 22 ( cos2sin2 ) xx AxeeBxCx (C) 22 ( cos2sin2 ) xx AexeBxCx (D) 22 ( cos2sin2 ) xx AxexeBxCx （5）设( )f x具有一阶偏导数，且在任意的( , )x y，都有 ( , )( , ) 0, f x yf x y xy    则 (A)(0,0)(1,1)ff (B)(0,0)(1,1)ff - 2 - (C)(0,1)(1,0)ff (D)(0,1)(1,0)ff （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线  1 vv t （单位:m/s） 虚线表示乙的速度曲线  2 vvt， 三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3， 计时开始后乙追上甲的时刻记为 0 t（单位:s） , 则 (A) 0 10t  (B) 0 1520t (C) 0 25t  (D) 0 25t  051015202530( )t s (/ )v m s 10 20 （7）设A为三阶矩阵， 123 (,,)P  为可逆矩阵，使得 1 000 010 002 P AP        ，则 123 (,,)A   (A) 12  (B) 23 2 (C) 23  (D) 12 2 （8）已知矩阵 200 021 001 A       ， 210 020 001 B       ， 100 020 000 C       ，则 (A) A 与 C 相似，B 与 C 相似 (B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似 (C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似 二、填空题：二、填空题：9~14 题，每小题题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. （9）曲线  2 1arcsinyxx的斜渐近线方程为 （10）设函数( )yy x由参数方程 sin t xte yt     确定，则 2 02t d y dx  - 3 - （11）  2 0 ln(1) 1 x dx x     = （12） 设函数,fx y具有一阶连续偏导数， 且,1,0,00 yy dfx yye dxxy e dy f， 则,f x y= （13） 11 0 tan y x dydx x   （14）设矩阵 412 12 311 Aa        的一个特征向量为 1 1 2           ，则a 三、解答题：三、解答题：15~23 小题，共小题，共 94 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） 求    0 3 0 lim x t x xte dt x （16） （本题满分 10 分） 设函数,f u v具有 2 阶连续性偏导数，  y, x f ecosx,求 0 dy d x x  , 2 2 0 d y d x x  （17） （本题满分 10 分） 求 2 1 limln 1 n n k kk nn        （18） （本题满分 10 分） 已知函数由方程确定，求的极值 （19） （本题满分 10 分） ( )f x在0,1上具有 2 阶导数， 0 ( ) (1)0, lim0 x f x f x   ，证明 （1）方程( )0f x 在区间(0,1)至少存在一个根 （2）方程 2 ( )( )( )0f xfxfx 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根 （20） （本题满分 11 分） 已知平面区域  22 ,2Dx yxyy，计算二重积分 2 1 D xdxdy  （21） （本题满分 11 分） 设( )y x是区间 3 (0, ) 2 内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线:( )L yy x上的任意一点，L在点P处的切线与y 轴相交于点(0,) P Y，法线与x轴相交于点(,0) P X，若 pP XY ，求L上点的坐标( , )x y满足的方程。

- 4 - （22） （本题满分 11 分） 三阶行列式 123 (,,)A  有 3 个不同的特征值，且 312 2 （1）证明( )2r A  （2）如果 123 求方程组Axb 的通解 （23） （本题满分 11 分） 设 13 222 12321 21 323 ( ,,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下的标准型为 22 1122 yy 求a的值及 一个正交矩阵Q. 2016 年全国硕士研究生年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题入学统一考试数学二试题 一、 选择：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. （1） 设 1 (cos1)axx， 3 2 ln(1)axx， 3 3 1 1ax .当0x  时，以上 3 个无穷小量按照从低阶 到高阶拓排序是 （A） 123 ,,a a a. （B） 231 ,,a a a. （C） 213 ,,a a a. （D） 321 ,,a a a. （2）已知函数 2(1),1, ( ) ln ,1, xx f x xx     则( )f x的一个原函数是 （A） 2 (1) ,1. ( ) (ln1),1. xx F x xxx     （B） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx     （C） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx     （D） 2 (1) ,1. ( ) (ln1) 1,1. xx F x xxx     （3）反常积分 1 0 2 1 x e dx x   ①， 1 + 2 0 1 x e dx x   ②的敛散性为 （A）①收敛，②收敛.（B）①收敛，②发散. （C）①收敛，②收敛.（D）①收敛，②发散. （4）设函数( )f x在(,) 内连续，求导函数的图形如图所示，则 - 5 - （A）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点. （B）函数( )f x有 2 个极值点，曲线( )yf x有 3 个拐点. （C）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 1 个拐点. （D）函数( )f x有 3 个极值点，曲线( )yf x有 2 个拐点. （5）设函数( )(1,2) i f x i 具有二阶连续导数，且 0 ()0(1,2) i f xi，若两条曲线 ( )(1,2) i yf x i在点 00 (,)xy处具有公切线( )yg x， 且在该点处曲线 1( ) yf x的曲率大于曲线 2( ) yfx的曲率， 则在 0 x的某个领域内，有 （A） 12 ( )( )( )f xfxg x （B） 21 ( )( )( )fxf xg x （C） 12 ( )( )( )f xg xfx （D） 21 ( )( )( )fxg xf x （6）已知函数( , ) x e f x y xy   ，则 （A） '' 0 xy ff （B） '' 0 xy ff （C） '' xy fff （D） '' xy fff （7）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A） T A与 T B相似 （B） 1 A与 1 B相似 （C） T AA与 T BB相似 （D） 1 AA与 1 BB相似 （8）设二次型 222 123123122313 ( ,,)()222f x x xa xxxx xx xx x的正、负惯性指数分别为 1,2，则 （A）1a  （B）2a （C）21a  - 6 - （D）1a 与2a  二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。

（9）曲线 3 2 2 arctan(1) 1 x yx x   的斜渐近线方程为____________. （10）极限 2 112 lim(sin2sinsin) n n n nnnn  ____________. （11）以 2x yxe和 2 yx为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________. （12）已知函数( )f x在(,) 上连续，且 2 0 ( )(1)2( )d x f xxf tt  ，则当2n时， ( )(0)n f____________. （13）已知动点P在曲线 3 yx上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标时间的变化率为常数 0 v，则 当点P运动到点(1,1)时，l对时间的变化率是_______. （14）设矩阵 11 11 11 a a a       与 110 011 101       等价，则_________.a  解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分） （16） （本题满分 10 分） 设函数 1 22 0 ( )(0)f xtx dt x  ，求 '( ) fx并求( )f x的最小值. （17） （本题满分 10 分） 已知函数( , )zz x y由方程 22 ()ln2(1)0xyzzxy。