高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 二 圆内接四边形的性质及判定定理创新应用教学案 新人教A版选修4-1.doc

二 圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180，∠B＋∠D＝180.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例1]　如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.[思路点拨]　本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]　连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90.又EF⊥AB，∠EFA＝90，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，则由∠A＋∠C＝180，可得4x＋5x＝180.∴x＝20.∴∠A＝420＝80，∠B＝320＝60，∠C＝520＝100，∠D＝180－∠B＝120.2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的长．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.∴＝.∵AB＝AC＝3，AD＝2，∴AE＝＝.∴DE＝－2＝(cm).圆内接四边形的判定[例2]　如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E，D，P，F四点共圆．[思路点拨]　可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．[证明]　如图，连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.圆内接四边形的综合应用[例3]　如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]　⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]　如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥PA.∴∠PMC＝∠DAE＝90.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CPCD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60.∴∠DBC＝120.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180－∠A＝120.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP∽△DCB，∴＝.∴CB2＝CPCD.又CB＝AC，∴AC2＝CPCD.6．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P.求证：(1)四点P，D，C，E共圆；(2)AP⊥CP.解：(1)证明：在△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA知：△ABD≌△BCE，即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180，所以四点P，D，C，E共圆．(2)如图，连接DE.在△CDE中，CD＝2CE，∠ACD＝60，由余弦定理知∠CED＝90.由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC＝∠DEC，所以AP⊥CP.[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，②sin A＋sin C＝0，③cos B＋cos D＝0，④cos B＝cos D.其中恒成立的关系式的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　　　 B．2C．3 D．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A＝180－∠C，且∠A，∠C均不为0或180，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40，则∠AOC等于(　　)A．20 B．40C．80 D．100解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(　　)①如果∠A＝∠C，则∠A＝90；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴＝，即＝，∴EF＝3.答案：36．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________.解析：∠ACB＝90，∠ADB＝90.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.又∵CD平分∠ACB.即∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.∴BD＝ ＝5.答案：6　57．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34，则∠AOB＝________，∠ADB＝________.解析：∵∠C和∠AOB分别是所对的圆周角与圆心角，∴∠AOB＝2∠C＝68.∵周角是360，劣弧AB的度数为68，∴优弧AB的度数为292.∴∠ADB＝292＝146.答案：68　146三、解答题8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：E，F，G，H共圆．证明：法一：连接EF、FG、GH、HE.∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC.同理EH∥BD.∴∠HEF＝∠AOB.∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90.同理∠FGH＝90.∴∠HEF＋∠FGH＝180.∴E、F、G、H共圆．法二：连接OE、OF、OG、OH.∵四边形ABCD为菱形．∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA.∵E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，∴OE＝AB，OF＝BC，OG＝CD，OH＝DA.∴OE＝OF＝OG＝OH.∴E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上．故E，F，G，H四点共圆．9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180.故A，B，G，F四点共圆．10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ACB.(2)求△ABD的最大面积．解：(1)连接OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.Rt△。