2017年高考理数真题试卷（天津卷）（正式版）.docx

2017年高考理数真题试卷（天津卷）（正式版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（2017·天津）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　） A、{2}B、{1，2，4}C、{1，2，4，5}D、{x∈R|﹣1≤x≤5}2、（2017·天津）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=x+y的最大值为（　　） A、B、1C、D、33、（2017·天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　）A、0B、1C、2D、34、（2017·天津）设θ∈R，则“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的（　　） A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5、（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　） A、=1B、=1C、=1D、=16、（2017·天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A、a＜b＜cB、c＜b＜aC、b＜a＜cD、b＜c＜a7、（2017·天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　） A、ω= ，φ= B、ω= ，φ=﹣ C、ω= ，φ=﹣ D、ω= ，φ= 8、（2017·天津）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） A、[﹣ ，2]B、[﹣ ， ]C、[﹣2 ，2]D、[﹣2 ， ]二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（2017·天津）已知a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则a的值为________． 10、（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 11、（2017·天津）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣ ）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________． 12、（2017·天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________． 13、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________． 14、（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） 三、三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值． 16、（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 17、（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长． 18、（2017·天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）． 19、（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程． 20、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 答案解析部分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、【答案】B 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案． 2、【答案】D 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划 【解析】【解答】解：变量x，y满足约束条件 的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由 可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 3、【答案】C 【考点】选择结构，循环结构，程序框图 【解析】【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N= ≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N= =2≤3成立，输出N=2，故选：C【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 4、【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：|θ﹣ |＜ ⇔﹣ ＜θ﹣ ＜ ⇔0＜θ＜ ，sinθ＜ ⇔﹣ +2kπ＜θ＜ +2kπ，k∈Z，则（0， ）⊂[﹣ +2kπ， +2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣ |＜ ”是“sinθ＜ ”的充分不必要条件．故选：A．【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论． 5、【答案】B 【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则 =1，c=4，则a=b=2 ，∴双曲线的标准方程： ；故选B．【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程． 6、【答案】C 【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大小的比较，对数函数的图像与性质 【解析】【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c 7、【答案】A 【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，∴T=3π，则 ，即 ．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），由f（ ）= ，得sin（φ+ ）=1．∴φ+ = ，k∈Z．取k=0，得φ= ＜π．∴ ，φ= ．故选：A．【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值． 8、【答案】A 【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用 【解析】【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最大值﹣ ；由y=x2﹣ x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值 ，则﹣ ≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥| +a|在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ，即有﹣（ x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（ x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得，﹣ ≤a≤2．故选：A．【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（ x+ ）≤a≤ + ，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围． 二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30