浅谈解函数应用问题策略.doc

浅谈解函数应用问题策略摘要：函数是贯穿高中数学教学的主线，函数也是解决问 题的基本数学模型函数应用主要反映在两个方面：一是用 函数思想描述、分析、讨论其他的数学内容；二是用函数模 型解决简单的实际问题本文通过对例题的探讨，分析了运 用函数在解决实际问题中可能出现的误区关键词：函数应用问题；数学模型；数学思想方法提高数学素质，核心是要提高学生对数学思想方法的认 识、理解和掌握，贴近社会生产和生活实际的数学应用问题, 体现了数学基本方法的灵活应用和基本数学思想的渗透函 数知识应用十分广泛，利用函数知识解应用问题是数学应用 题的主要类型之一一、解函数应用问题的主要步骤第一步：阅读理解、认真审题读懂题中的文字叙述， 理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概况出来的数学 实质分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，确定自变 量与函数值的意义，尝试问题的函数化审题是要抓住题目 中关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联 想、化归实现应用问题向数学问题的转化第二步：引进数学符号，建立数学模型一般设自变量 为，函数为，根据问题已知条件，建立函数关系式，实现问 题的数学化第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题予以解 答，求的结果。

第四步：转译成具体问题做出解答二、两类函数模型（一）数学模型为无理函数问题例1:有甲、乙两种商品，经营销售这种商品所能获得 的利润依次是P （万元）和Q （万元），它们与投入资金x （万 元）的关系，有经验公式：P=x5, Q=35x,今有3万元资金 投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲乙两种商 品的资金投入分别应为多少？能获得的最大的利润是多 少？分析：应根据题意，建立利润与投入资金之间的函数关 系，求的函数关系式，然后在转化为求函数最大值问题，换 元法是求无理函数最值的常用方法解：设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为（3-x） 万元，总利润y万元，根据题意有y=15x+353-x （0WxW3）令 3-x=t,则 x=3-t2, 0WtW3\y=15 （3-t2） +35t=T5 （t-32） 2+2120, tG [0, 3] 当 t=32 时，ymax=1.05,此时 x=0. 75, 3~x=2. 25由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金 投入应分别为0. 75万元和2. 25万元，获得最大利润1.05 万元二）函数模型为y二ax+bx型例2：某工厂对某种原料的全年需要量是Qt,为保证生 产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完 后可立即购进。

已知每次订购费用是a元，全年保管费用率 是P，它与每次购进的数量xt及全年保管费元S之间的关系 是S=12px问全年订购多少次，才能是订购费用与保管费之 和最少？并求出这个最少费用之和（为简便计算，不必讨论 订购次数是否为整数）解：全年订购费为a・Qx,全年保管费为S=12px,订购 费与保管费之和为y=a • Qx+12pxo由于 a • Qx+12px2212paQ=2paQ,当且仅当a • Qx=12px,即x=2pxQp时取等号，即最优批 量订购量为xO=2aQppt,最少费用之和为ymin=2paQ,全年 最佳订购次数n=QxO=2paQ2a （次）,故全年订购2paQ2a次， 才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为 2paQ 元 o三、函数应用问题中的"误区”（一）忽视从实际出发确定函数的定义域致错例3：某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为 200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不 能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两 条隔壁建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)1) 写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函 数关系式，并指出其定义域。

2) 求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池 的总造价最低？并求出最低总造价错解：(1)污水处理池的长为x米，则宽为200x米， 总造价y=400 (2x+2X200x) +248 X200xX 2+80X200=800 (x+324x) +16000 (0252),则 Q=1000vd+l=1000v312 (vW252) lOOOvl (l+v22500)(v>252),显然，当vW252时，Q是v的增函数，/.v=252 时，Qmax=1000v321=50000231,当 v>252 时， V10001 ( lv+v2500 )W10001 ・ 21v ・ v2500=250001 ,当 且仅当 v=50 时, Qmax=250001,综上所述，当v=50 (km/h)时车流量Q取到 最大值三)结果与事实不符而致错例5： WAP上网每月使用量在500分钟以下(包括 500分钟)，按30元计费；超过500分钟的部分按0. 15/分 钟计费假如上网时间过短(小于60分钟的)，使用量在1 分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/ 分钟计费WAP上网不收通话费和漫游费。

1）写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数 关系式；（2）12月小王WAP上网使用量为20小时，要付多少钱？（3）小王10月份付了 90元的WAP上网费，那么他上 网的时间是多少？错解：（1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用 y关于x的函数关系式为y=0, 0500（2 ）当 x=20X 60=1200 分钟，x>500 , 应付 y=30+0. 15X1200=180 元3） 90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟， 由解析式可得上网时间为600分钟错解分析：此题错解主要是对''超过500分钟的部分按 0. 15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事 实相违的结论，如第（2）小题上了 1200分钟的网，要180 元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多， 与事实不符；又如第（3）小题，用了 90元，几乎是30元 的3倍，而可上网时间才多了 100分钟，与事实不符正解：（1）设上网时间为x分钟，由已知条件所付费用 y关于x的函数关系式为y=0, 500(2) 当 x=20X60=1200 分钟,x>500,应付 y=30+0. 15 (1200-500) =135 元(3) 90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟， 由解析式可得上网时间为900分钟。

函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一 般步骤，注意避免进入以上几个误区参考文献[1] 《普通高中课程标准》.[2] 《普通高中课程标准实验教科书・数学必修一》教 师用书，北京师范大学出版社.[3] 《数学学习方法博览》，现代教育出版社.。