浅谈数学中的“握手问题”.doc

浅谈数学中的“握手问题”分类：我的文章 2008-01-17 12:57上一篇丨呼下一篇•自文章列表握手是在相见、离别、恭贺或致谢时相互表示情谊、致意的一种礼节，双方往往是先打招呼，后握手致意可你不得不赞叹数学的无 处不在，这样一种礼节性的行为，却被编成了一道数学题，那就是有 名的一一“握手问题”题目是这样的“一位先生说：他与他太太参加了一次宴会，宴会 上共有五对夫妇参加参会的每个人都与其他人握了一次手问：他 的太太共握了几次手？此次宴会所有人共握了几次手？ ”第一问：其实这个问题很好解，不过解决这个问题，主要运用的 是逻辑推理既然宴会上共有1 0人，任何人都不同自己握手，也不 同自己的太太握手，所以任何一个人握手的次数最多只能等于8由 于这位先生已问过各位宾客，得知他们每人握手的次数都不一样，可 见这9个人的握手次数必定是0 , 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 显然握手次数为8的那一位已同除了自己的夫人以外的每个人都握 过手，所以这个人（无法判定这个人是先生还是女士）的配偶必定就 是那个握手次数为0的人由上述方法可以推定，握手次数为7的人 必定与握手次数为1的人是一对夫妇；握手次数为6的人必定与握手 次数为2的人是一对夫妇；如此等等。

最后只剩下握手次数为4的人, 可以断定，此人肯定是提出问题的那位先生的太太，即提出问题的那 位先生的太太共握了4次手第二问：那么如果要求他们一共握了多少次手，该怎样计算呢？其实可以这样分析：假若两点代表两个人，连接两点的线段数目，就表示握手的次数我们可以作一个由点和线段组成的图来分析一下:握手图标握手人数握手次数3=1+26二1+2+310=1+2+3+4N二1+2+3+…+（卩-1）当卩二9时，N= =3 6“握手公式”（求上述“握手总次数”的的公式）便被总结岀来,即设参会人数为P人，即握手总数 并且，这个公式还可以利用到几何题上例如下面两道题：例1•平面上有四个点，其中任意三个点都不在同一支线上，经 过每两点画直线，一共可以画多少条？如果五个点，六个点，n 个点呢？例2.在ZAOB的内部，过顶点0画2条射线，图形中共有几个角？ 画3条射线呢？画n条射线呢？同理，这两道题都可以利用“握手公式”来解决第一题：我们一画就知道了平面上有四个点其中任意三个点 都不在同一支线上，经过每两点画直线，则可以画6条（如图一）； 若5个点，则可以画10条（如图二）；若6个点，则可以画15条（如 图三）……若n个点，则可画条。

图一） （图二） （图三）第二题：同样，我们一画就知道了在ZA0B的内部，过顶点0 画2条射线，则图形中共有6个角（如图四）；在ZA0B的内部，过 顶点0画3条射线，则图形中共有10个角（如图五）；根据规律， 以及“握手公式”，我们可以归纳出：在ZA0B的内部，若过顶点0 画n条射线，则图形中共有个角图四） （图五）通过以上两题，可以得知：“握手公式”不仅可以应用到数学推 理题中，还可以用来解几何问题可见它的广泛性由此我们还可以联想到数角的方法，如下题：例3・数数下图中共有多少个角分析我们在数图形的时候一定要记住一件事情，那就是要有条理.那么在这道题里怎样数才会有条理呢？注意每个角的两条边可以分为上边和下边.（例3图）在ZA1OA2中OAi为上边，0A2为下边.那么我们就可以以上边分类，数一下图形中的角.解答 以OAo为上边的角有ZAoOAi,ZAoOA2, ZAoOAb, ZAoOAi, ZAoOAs 共 5 个以 OAi 为上边的角有ZA1OA2, ZAiOAb, ZAiOAi, ZAiOAa共 4 个以 OA2为上边的角有ZA2 0A3, ZA2OA1, ZA2OA5共 3 个以 0A3为上边的角有ZAbOA-i, ZA3OA5 共2个。

以0A4为上边的角有ZA1OA5 ,共1个则图形中的角共有5+4+3+2+1=15・拓展若ZAoOAn中被分为n个小角，如图则图中的角共有n+(n+l)+…+1二(即“握手公式”)啊！ “握手公式”太奇妙了！回顾这道著名的“握手问题”，它已不单单是一道发散思维题，其“握手公式”已成为解决几何问题的重要公式它的对称性、递归 性、广泛性、消去法都得到了很好的体现，怪不得一些评论家们说“这 样的数学题目，真是太'艺术化’了从“握手问题”中，我懂得了：数学之泉，是永无止境的；探索 数学的路程，是无终点的我还明白了：数学是息息相通的无论是 代数还是几何，内在都有必要的联系性啊！这么广阔无边的世界还需耍我们不断的去探索、发现。