新高一分班考试-数学-数列.docx

仰高钻坚，覃思精研知识点睛一、数列的基本概念1．数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项（首项），第项，…，第项．数列的一般形式可以写成：或简记为，其中是数列的第项，又称为数列的通项．3．数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个函数式来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．5．数列的前项和数列的前项和定义为：．数列的前项和构成了一个新的数列，且．二、等差数列1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：．等差数列的通项公式为：．【备注】（1）等差数列的公式的推导：累差法等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：．2. 等差数列的性质（1）（2） 在等差数列中，若，则，若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，且．推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可．3. 等差数列的前项和公式：．【备注】等差数列前项和公式的推导：倒序相加，把项的顺序反过来，可将写成：，将这两式相加得：，从而得到等差数列的前项和公式，又，得．三、等比数列1. 等比数列的概念（1） 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母表示．（2） 符号语言：数列中，若（常数），则称为等比数列．（3） 必要条件：对任意的，都有．2. 等比数列的通项公式为：．3. 等比数列的性质（其中公比为）：（1）公比为的等比数列的各项同乘以一个不为零的数，所得数列仍为等比数列，公比仍为；（2）若，则有；若，则有；（3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，为等比数列，公比为．（也就是说：下标成等差数列的项构成等比数列．（4）若等比数列的公比为，则是以为公比的等比数列；（5）若与均为等比数列，则也为等比数列；（6）公比为的等比数列，按项分组，每项之和组成一个新数列，认为等比数列，其公比为（也就是说：，为等比数列，公比为（7）或递增；或递减；为常数列；为摆动数列．4. 等比数列前项和公式： （1）（2）等比数列前项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知，将这个等式的两边分别相加得：，即，整理得，当时，，显然此式对也成立；当时，．法二：，将上式两边同乘以得：，两式相减得：，以下讨论同法一．法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（3）错位相减求和法：非零的等差数列、等比数列构造数列，此数列称为差比数列，求它的前项和可用错位相减法．四、递推公式求通项1. 用观察法（不完全归纳法）求数列的通项．2. 运用等差（等比）数列的通项公式．3. 已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）4. 已知数列前项之积，一般可求，则＝（注意：不能忘记讨论）．5. 已知数列的递推关系，研究与的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列 为等差或等比数列．（1）递推公式为，只要是可求的，就可以用累加法求．（2）递推公式是（为常数），可构造新的等比数列求，（3）递推公式是（为常数），此递推公式，可两边除以，得，引做辅助数列（），得再解．（4）递推公式是，可变形为，就是，则可从，解得于是是公比为的等比数列．（5）递推公式是（ ）数列前项积可求，可用累乘法求．（6）将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换．例题精讲例题精讲一、数列的基本概念【例1】 请写出下面数列的一个通项公式（1）（2）（3）（4）：，，，，…【例2】A． B． C． D．二、等差数列【例3】 在数列中，，则的值为（ ）A．49 B．50 C．51 D．52【例4】 《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人的面包数成等差数列，且使最大的三分之和的是最小的两份之和，则最小1份得大小是________.【例5】 设为等差数列的前项和，若，公差，，则（ ）A．8 B．7 C．6 D．5【例6】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【例7】 已知，（1）设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．（2）设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．三、等比数列【例1】 在等比数列中，，则公比的值为（ ）A． B． C． D．【例1】 在等比数列中，公比，且，则等于（ ）A． B． C． D．【例2】 （2009年辽宁6）设等比数列的前项和为，若，则（ ）A． B． C． D．【例3】 已知：数列满足．（1）求数列的通项；（2）设求数列的前项和四、递推公式求通项1. 观察法【例1】 （1）；（2）；（3）（4）；2. 利用 和的关系：【例2】 数列的前项和，求它的通项公式．【例3】 已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式．3. 累加法（也叫逐差求和法）：（1） 利用（2） 求形如是可求和数列）的形式均可用累差法．【例4】 若在数列中，，，求通项.【例5】 已知数列满足，求数列的通项公式．4. 累乘法（也叫逐商求积法）:（1）利用恒等式（2）形如已知，且是可求积数列）的形式均可用累商法．【例6】 已知数列中，，其中，求【例7】 已知,,求数列通项公式．5. 构造新数列: （1）递推公式是（为常数），可构造新的等比数列求【例8】 已知数列中, ,,求的通项公式．【例9】 在数列中, ，，求的通项公式．【例10】 已知数列满足（1）、证明：数列是等比数列；（2）、求数列的通项公式；（3）递推公式是（为常数），此递推公式，可两边除以，得，引做辅助数列（），得再解．【例11】 已知数列满足，，求数列的通项公式。

4）将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换．【例12】 已知数列中, ,,求数列的通项公式．课后作业【习题1】A．或5 B．或5 C． D ．【习题2】 （1）（2）；（3）【习题3】 已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式．【习题4】 已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项.【习题5】 已知数列满足（1）、令，证明：是等比数列；（2）、求数列的通项公式；新高一.分班考试 《数列》.（学生版） 12。