CH08位移计算.ppt

1,,,静定结构位移计算,虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改变产生的位移计算支座移动产生的位移计算线弹性体互等定理,2,结构位移计算概述,a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础； c）建筑起拱M V N,κγε,,不产生内力，产生变形产生位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变形产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，如,,β,Δ,但最好的方法不是几何法，而是虚功法其理论基础是虚功原理a）荷载作用；,,2、产生位移的原因主要有三种：,计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系即：线弹性体系荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理3,,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移,将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置返回,,,,4,位移的种类,Δ A θ,θ A C,A结点的水平线位移Δ，转角位移θ,结点C左右截面的相对转角位移θ,角位移2) 线位移3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）,5,ΔA ΔB,A B,A、B两点的相对线位移 Δ=ΔA+ΔB,,6,,,,绝对位移和相对位移,,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,7,虚功原理,一、实功与虚功,,实功是力在自身引起的位移上所作的功。

如 T11，T22实功恒为正 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功 如T12，如力与位移同向，虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负,,,,,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比功 dT=P·dΔ,T11=∫dT=SΔOAB =1/2P1·Δ11,再加P2，,P2在自身引起的位移Δ22上作的功,T22=1/2P2·,Δ22,在Δ12过程中，P1的值不变，,T12=P1,Δ12,Δ12与P1无关,ΔKj,位移发生的位置,产生位移的原因,,,,,,,,8,二、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移与力有关因素，称为广义力P；与位移有关的因素，称为广义位移Δ广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功即：T=PΔ1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的线位移在力的方向上的分量P,,Δ,,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β3）若广义力是等值、反向的一对力P,T=PΔA+PΔB,=P（ ΔA+ΔB）,=PΔ,这里Δ是与广义力相应的广义位移表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。

4）若广义力是一对等值、反向的力偶m,Δ,,,,T=mA+mB,=m（  A+ B）,=mΔ,这里Δ是与广义力相应的广义位移表示AB两截面的相对转角9,三. 刚体体系虚功原理静力分析的方法,,基本方法：选分离体，列平衡方程虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系，,又设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，,则主动力在位移上所作的虚功总和恒为零是指约束反力在可能位移上所作虚功恒等于零的约束,作功的双方（平衡力系、可能位移）彼此独立无关,虚功原理的应用,,1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚力原理）,,,1）虚设位移求未知力（虚位移原理）,求杠杆在图示位置平衡时X的值ΔP,ΔX,X,ΔX,－P,ΔP=0,（X－,δX =1，δP=b/a,刚体内力在可能的位移上所作虚功恒为零,ΔX=0,=0,,,,,,,,,10,作出机构可能发生的刚体虚位移图；,应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构，,使原来的约束力X变成主动力2）沿X方向虚设单位虚位移。

利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移3）建立虚功方程，求未知力q,虚功方程为: YC×1,+qa×0.75,－qa2×0.75/a,－q×1.5×3a/2＝0,YC=2.25qa (向上),,,,,11,,,,虚功方程为: QC×1,+qa×0.25,－qa2×0.25/a,－q×(1×2a/2+0.5 ×a/2 )＝0,QC=1.25qa,,,,,12,,,,虚功方程为: MA×1,(上拉),+qa×0.25a,－qa2×0.25,+q×(a×2a/2 － 0.5a ×a/2,MA= － 0.75qa2,)＝0,,,,,13,,,,,2）虚设力系求位移（虚力原理）,,建立虚功方程：PΔ+Rac=0,（↑）,1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。

2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便， 可以随意虚设，如设P=13）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题14,支座位移时静定结构的位移计算,（1）C点的竖向位移,（2）杆CD的转角,,,,,,所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致求解步骤,（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；,（3）解方程得,定出方向2）建立虚功方程,15,,,,,,,,,,虚功方程：,,,B,A,A,例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 16,,例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 由平衡条件：,虚功方程：,当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：,17,结构位移计算的一般公式,——变形体的位移计算,推导位移计算公式的两种途径{,由变形体虚功原理来推导；,由刚体虚功原理来推导－局部到整体一、局部变形时的位移计算公式,基本思路：,,,,,,（1）三种变形：,在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。

18,（2）微段两端相对位移：,续基本思路：设,微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移3）应用刚体虚功原理求位移d —— 即前例的结论或,19,二、结构位移计算的一般公式,,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,20,适用范围与特点：,2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程关于公式普遍性的讨论：,（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形2）变形原因：荷载与非荷载3）结构类型：各种杆件结构4）材料种类：各种变形固体材料1） 适于小变形，可用叠加原理21,位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式K,外虚功：,内虚功：,变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 即：,22,讨论：（1）公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形和支座位移对位移的影响2） 该公式既用于静定结构也用于超静定结构但必须是弹性体系3）公式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。

23,,（4）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,,,,24,三、位移计算的一般步骤:,实际变形状态,虚力状态,(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；,(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题25,荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料重点在于解决荷载作用下应变 的表达式计算步骤：,（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知,k--为截面形状系数,,(3) 荷载作用下的位移计算公式,26,二、各类结构的位移计算公式,（1）梁与刚架 梁和刚架的位移主要是弯矩引起的,（2）桁架,（3）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中计算水平位移时才考虑轴向变形对位移的影响,27,,(a) 实际状态,(b) 虚设状态,AC段,CB段,1）列出两种状态的内力方程：,28,2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算,CB段,29,CB段,设截面为矩形 k=1.2,30,3）讨论,比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。

设材料的泊松比 , 由材料力学公式 31,,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例题 计算屋架顶点的竖向位移32,AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,33,,例题 桁架结构的位移计算,,A D 4 m B C 8 kN,6×4=24m,EA=常数，求：1）B点的竖向位移 2）CD杆的转角 3）AB、BC杆的相对转角∠ABC,2）计算B点的竖向位移时，在B点作用P=1，求出各杆的轴力,,解：1）计算桁架在荷载作用下的各杆内力NP,34,3）计算CD杆的转角时，,D,C,作用力偶，如图，计算各杆的轴力,35,4）计算AB、BC杆的相对转角∠ABC时，,A B C,P=,P=1/d,,P=1/d,P=,在AB杆的杆端作用力偶矩1；在BC杆的杆端作用力偶矩1，,如图所示。

求出,36,例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。