电网络分析2课件.ppt

《《电网络分析电网络分析2 2》》研究生课程主讲人：杨向宇yangxyu@2024/8/31电网络分析第二章顶点（节点）顶点（节点）：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，顶：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，顶点用符号点用符号v表示表示;边（支路）边（支路）：： 连接两个顶点连接两个顶点vi、、 vj的一条线段称为边或支的一条线段称为边或支路边用顶点的无序偶路边用顶点的无序偶e=[vi, vj]表示表示;图（线图）图（线图）：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边连：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边连接于顶点若用接于顶点若用E表示图中所有边的集合，表示图中所有边的集合，V表示图中所有顶表示图中所有顶点的集合，则这个图点的集合，则这个图G可以表示为可以表示为G=（（V，，E））；；有向图有向图：若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图有向边有向边a用其顶点用其顶点vi、、 vj的有序偶的有序偶a=(vi, vj)表示表示若用若用A表示图表示图中所有边的集合，中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集合，则这个图表示图中所有顶点的集合，则这个图Gd可可以表示为以表示为Gd=（（V，，A））第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－1 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语2024/8/31电网络分析第二章F相关联和相邻接相关联和相邻接：如果边联接着两个顶点，则称边与这两：如果边联接着两个顶点，则称边与这两个顶点个顶点相关联相关联；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两个；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两个顶点是顶点是相邻接的顶点相邻接的顶点；如果两条边至少有一个公共顶点，则；如果两条边至少有一个公共顶点，则称两条边为称两条边为相邻接的边相邻接的边。

F顶点的次数（维数）顶点的次数（维数）：与顶点相关联的边的数目与顶点相关联的边的数目孤立顶孤立顶点点的次数为的次数为0，次数为，次数为2的顶点称为的顶点称为简单顶点简单顶点F子图、互补子图：子图、互补子图：子图的每一个顶点和边都是原图的顶点子图的每一个顶点和边都是原图的顶点和边；两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和和边；两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和顶点，这样的两个子图称为互补子图顶点，这样的两个子图称为互补子图第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－1 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语2024/8/31电网络分析第二章F通路通路：由：由m条边和条边和m+1个顶点通过个顶点通过m条边依次连通，且条边依次连通，且m+1个顶点中除始个顶点中除始端和终端是端和终端是1次外，其余各顶点均为次外，其余各顶点均为2次的，这样的子图称为通路通路所次的，这样的子图称为通路通路所包含的支路数包含的支路数m称为通路的长度称为通路的长度F回路和自环回路和自环：通路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回：通路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于回路所包含的节点数；长度为回路所包含的节点数；长度为1的回路称为自回路，即自环。

的回路称为自回路，即自环F连通图连通图：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是非连通图非连通图F完备图完备图：任何一对顶点之间有且仅有一条边任何一对顶点之间有且仅有一条边F可断图可断图：如果一个连通图：如果一个连通图G存在着这样一个存在着这样一个顶点，将该顶点移去后（移去该顶点及相关联顶点，将该顶点移去后（移去该顶点及相关联的边），使的边），使G成为一个非连通图，这样的顶点成为一个非连通图，这样的顶点称为断点，含断点的连通图称为可断图称为断点，含断点的连通图称为可断图第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－1 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语2024/8/31电网络分析第二章F树和树余树和树余：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有1条通路；条通路；在连通图中与树互补的子图称为树余树中所含的边称为树支，在连通图中与树互补的子图称为树余树中所含的边称为树支，树余中所含的边称为连支。

树余中所含的边称为连支F林和余林：在由林和余林：在由s 个分离部分组成的非连通图中，各分离部个分离部分组成的非连通图中，各分离部分的树的集合构成一个包含分的树的集合构成一个包含s 个树的林林的补图称为余林个树的林林的补图称为余林F割集割集：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为2个且仅个且仅有有2个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条边不被移去，该图仍然是连通的边不被移去，该图仍然是连通的F基本割集基本割集：单树支割集单树支割集F基本回路基本回路：单连支回路单连支回路第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－1 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语2024/8/31电网络分析第二章F定理定理2-1：在具有：在具有Nt个顶点，个顶点，B条边的连通图条边的连通图G中，任何中，任何一个树一个树T的树支数为的树支数为N=Nt-1，连支数为，连支数为B-NF定理定理2-2：对于具有：对于具有Nt个顶点，个顶点，B条边的连通图条边的连通图G，， G中中关于任何一个树关于任何一个树T的基本割集数为的基本割集数为N，基本回路数为，基本回路数为B-N。

第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－1 网络的图和图论基本术语网络的图和图论基本术语2024/8/31电网络分析第二章ü网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）与边（支路）、回路与边、割集与边与边（支路）、回路与边、割集与边……的关联性质都可以用矩阵的关联性质都可以用矩阵形式来表示在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地建立向形式来表示在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地建立向量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计一、关联矩阵：一、关联矩阵：Ø增广关联矩阵增广关联矩阵Aa: Aa=[aij] 是一个是一个Nt×B的矩阵的矩阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章F定理定理2-3：一个节点数为：一个节点数为Nt的连通图，其增广关联矩阵的连通图，其增广关联矩阵Aa的秩为的秩为N=Nt-1Ø关联矩阵关联矩阵A：从：从Aa中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩阵阵A。

F定理定理2-4：在增广关联矩阵：在增广关联矩阵Aa中，对应于图中，对应于图G的任一回路的任一回路的列是线性相关的的列是线性相关的F定理定理2-5：连通图：连通图G的关联矩阵的关联矩阵A的一个的一个N阶子矩阵是非奇阶子矩阵是非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图G的一个树的一个树上的树支上的树支 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章二、回路矩阵二、回路矩阵：：Ø增广回路矩阵增广回路矩阵Ba：： Ba=[bij] 是一个是一个L×B的矩阵的矩阵, L为有向连通图为有向连通图G的回路数的回路数 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章F定理定理2-6：对于一个具有：对于一个具有Nt=N+1个节点、个节点、B条支路的连通图条支路的连通图G，其增广回路矩阵的秩为，其增广回路矩阵的秩为B-N。

Ø基本回路矩阵基本回路矩阵Bf：： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点、个节点、B条支路的有向连通图条支路的有向连通图G，在选定，在选定一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一致基本回路矩阵致基本回路矩阵Bf是一个是一个（（B-N））×B矩阵，其元素矩阵，其元素bij定义如定义如下：下：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章 三三、割集矩阵、割集矩阵：：Ø增广割集矩阵增广割集矩阵Qa：： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点、个节点、B条支路、条支路、C个割集的有向连通图个割集的有向连通图G，，选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个C×B矩阵，它的矩阵，它的每一行对应于一个割集，每一列对应于一条支路，其元素每一行对应于一个割集，每一列对应于一条支路，其元素qij定定义如下：义如下：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章F定理定理2-7：具有：具有Nt个节点、个节点、B条支路的有向连通图条支路的有向连通图G，其增广，其增广割集矩阵割集矩阵Qa的秩为的秩为N=Nt-1。

Ø基本割集矩阵基本割集矩阵Qf ：： Qf 是是一个一个N×B矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向一矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向一致，它的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支致，它的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支路，其元素路，其元素qij定义如下：定义如下：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章四、邻接矩阵四、邻接矩阵：： 对于一个具有对于一个具有Nt个节点连通图个节点连通图G，节点之间的邻接关系可以，节点之间的邻接关系可以用邻接矩阵用邻接矩阵D来表示D=[dij]是一个是一个Nt阶方阵，其行列均对应阶方阵，其行列均对应于节点，其中每一元素于节点，其中每一元素dij定义如下：定义如下：Ø 邻接邻接矩阵特点：矩阵特点：F一个无向图一个无向图G，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，其对角线元素为零的对称矩阵；其对角线元素为零的对称矩阵；F每一行（或每一列）所含每一行（或每一列）所含1的个数是相应的节点次数的个数是相应的节点次数第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章五、矩阵五、矩阵A、、Bf、、Qf之间的关系之间的关系：：Ø 矩阵矩阵A与矩阵与矩阵Bf之间的关系之间的关系：： 如果同一有向连通图的如果同一有向连通图的矩阵矩阵A和矩阵和矩阵Bf的列按相同的支路顺序排列，则的列按相同的支路顺序排列，则有：有：证明：令证明：令 ü如果将如果将A和和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路的顺序与对应的的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路的顺序与对应的连支顺序一致。

则连支顺序一致则 ，， ，，第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章 因为因为At为非奇异的，则：为非奇异的，则： 将上式两端取转置，有将上式两端取转置，有 ，因此，因此 因此，如果已知关联矩阵因此，如果已知关联矩阵A，则可由上式写出基本回路矩阵，则可由上式写出基本回路矩阵Bf第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章Ø 矩阵矩阵Bf与矩阵与矩阵Qf之间的关系之间的关系：： 如果同一有向连通图如果同一有向连通图G按照相同的支路顺序排列，则有：按照相同的支路顺序排列，则有：ü证明：令证明：令ü如果矩阵如果矩阵Qf和和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，则有的列按先树支后连支的顺序排列，则有 ，， ，那么，那么第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章 因此：因此： 因此有：因此有：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章Ø 矩阵矩阵A与矩阵与矩阵Qf之间的关系之间的关系：： 因为：因为： 所以：所以： 当已知关联矩阵当已知关联矩阵A时，可根据上式写出基本割集矩阵时，可根据上式写出基本割集矩阵Qf 。

第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－2 图的矩阵表示图的矩阵表示2024/8/31电网络分析第二章一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式Ø 用关联矩阵用关联矩阵A表示的表示的KCL方程方程：： Ø 用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL方程方程：： 如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式F以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络网以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络网络变量是电压、电流；依据：络变量是电压、电流；依据：KCL、、KVL、、VCR2024/8/31电网络分析第二章由于由于At是一个非奇异矩阵，所以有：是一个非奇异矩阵，所以有：由此看出，由此看出，B条支路电流中，只有条支路电流中，只有B-N个连支电流是独立的，个连支电流是独立的，树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电流集合的一个基底流集合的一个基底(basis)。

考虑到矩阵考虑到矩阵Bf与与A的关系，得到的关系，得到 该式就是用基本回路矩阵该式就是用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL方程的矩阵形式方程的矩阵形式 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章Ø 用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL方程方程：： 由于矩阵由于矩阵Qf的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割集的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割集所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含支路所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含支路的电流的代数和为零的电流的代数和为零二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式Ø 用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的表示的KVL方程方程：： Ø用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL方程方程：： 如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则基本回路矩阵顺序，则基本回路矩阵Bf和支路电压向量和支路电压向量ub可分块为：可分块为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章于是：于是：由此看出，由此看出，B条支路电压中，只有条支路电压中，只有N个树支电压是独立的，连个树支电压是独立的，连支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压集合的一个基底集合的一个基底(basis)。

因此可以得到：因此可以得到： 该式就是用基本割集矩阵该式就是用基本割集矩阵Qf表示的表示的KVL方程的矩阵形式方程的矩阵形式 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章Ø 用关联矩阵用关联矩阵A表示的表示的KVL方程方程：： ü式中式中un是以各节点电压为元素的列向量，称为节点电压向量由于每条支路都只与是以各节点电压为元素的列向量，称为节点电压向量由于每条支路都只与两个节点相关联，支路电压可表示为其两端节点电压之差，因此用节点电压可表示全两个节点相关联，支路电压可表示为其两端节点电压之差，因此用节点电压可表示全部支路电压部支路电压三、一般支路电压电流关系的矩阵表示三、一般支路电压电流关系的矩阵表示 本书第三、四、六章中均是用一个元本书第三、四、六章中均是用一个元件表示一条支路件表示一条支路Ø 一般支路形式一般支路形式：： 一个无源二端元件与电压源相串联，一个无源二端元件与电压源相串联，再与电流源相并联，将这种串并联组合再与电流源相并联，将这种串并联组合电路部分规定为电路部分规定为“一般支路一般支路”。

其参考方其参考方向规定：向规定：无源元件为关联参考方向，电无源元件为关联参考方向，电源元件为非关联参考方向源元件为非关联参考方向第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章Ø时域和复频域的电流、电压关系时域和复频域的电流、电压关系：：ü一般支路中电流、电压关系一般支路中电流、电压关系 ü整个网络的时域和复频域电流、电压关系（向量形式）整个网络的时域和复频域电流、电压关系（向量形式）式中式中i和和u分别表示无源元件的电流向量和电压向量；分别表示无源元件的电流向量和电压向量；is和和us分分别表示电流源的电流向量和电压源的电压向量；别表示电流源的电流向量和电压源的电压向量； ib和和ub分别表分别表示支路电流向量和电压向量示支路电流向量和电压向量I(s)、、U(s)、、Is(s)、、Us(s)和和Ib(s)、、Ub(s)则是上述各变量象函数的向量则是上述各变量象函数的向量第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章ü一般支路中基尔霍夫定律表达式一般支路中基尔霍夫定律表达式 ü复频域一般支路，其电流、电压关系（复频域一般支路，其电流、电压关系（VCR)为为Ø用支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式用支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式：： 对于网络中每条支路写出对于网络中每条支路写出VCR方程，并写成矩阵形式方程，并写成矩阵形式第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章ü式中式中Zb(s)为无源元件为无源元件阻抗矩阵阻抗矩阵，设支路编号先后按电感元件、，设支路编号先后按电感元件、电阻元件、电容元件的顺序，则支路阻抗矩阵分块成：电阻元件、电容元件的顺序，则支路阻抗矩阵分块成：式中式中Lp是一个对角方阵。

其第是一个对角方阵其第i个主对角元素是第个主对角元素是第i条支路的自条支路的自感感Li，第，第i行第行第r列的元素是第列的元素是第i条支路与第条支路与第r条支路的互感条支路的互感MirRp是对角阵，它的第是对角阵，它的第j 个主对角元素是第个主对角元素是第j条支路的电阻条支路的电阻RjDp为为对角阵，其主对角元素对角阵，其主对角元素Dk是第是第k条支路的倒电容（即条支路的倒电容（即Dk =1/Ck））下标p代表局部的，代表局部的， Lp 、、 Rp 、、 Dp分别称为分别称为局部电感矩阵局部电感矩阵、、局部电阻矩阵局部电阻矩阵、、局部倒电容矩阵局部倒电容矩阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章ü将每个局部参数矩阵都用零元素扩充到将每个局部参数矩阵都用零元素扩充到Zb(s)矩阵的阶数矩阵的阶数B，，称为称为支路参数矩阵支路参数矩阵，用，用L、、R、、D表示，例如支路阻抗矩阵：表示，例如支路阻抗矩阵：则支路阻抗矩阵可以简单的表示为：则支路阻抗矩阵可以简单的表示为：Ø用支路导纳矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式用支路导纳矩阵表示的支路电压、电流关系的矩阵形式：： 由支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系，可以得到：由支路阻抗矩阵表示的支路电压、电流关系，可以得到：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章ü式中式中Yb(s)为无源元件为无源元件导纳矩阵导纳矩阵：：式中式中 p= Lp-1 、、 Gp=Rp-1 、、Cp= Dp-1分别称为分别称为局部倒电感矩阵局部倒电感矩阵、、局部电导矩阵局部电导矩阵、、局部电容矩阵局部电容矩阵。

ü如果把上述每一个局部参数矩阵都用零元素扩充到如果把上述每一个局部参数矩阵都用零元素扩充到Yb(s)的阶的阶数数B，则：，则：式中式中C、、G和和 分别称为分别称为支路电容矩阵、电导矩阵和倒电感矩阵支路电容矩阵、电导矩阵和倒电感矩阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式关系的矩阵形式2024/8/31电网络分析第二章ü对于具有有对于具有有N+1个节点，个节点，B条支路的网络，直接求解条支路的网络，直接求解B个支路个支路电流或电流或B个支路电压的方法，个支路电压的方法，称为直接分析法称为直接分析法一、阻抗矩阵法（支路电流法）一、阻抗矩阵法（支路电流法）ü对于一个不含受控源的网络，由用基本回路矩阵表示的对于一个不含受控源的网络，由用基本回路矩阵表示的KCL方程及用支路阻抗矩阵表示的方程及用支路阻抗矩阵表示的VCR，可得：，可得：上式代表上式代表B-N个线性独立方程，加上个线性独立方程，加上AIb(s)=0，可合写为：，可合写为：如果如果Ib(s)的系数矩阵为非奇异，则：的系数矩阵为非奇异，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－4 直接分析法直接分析法2024/8/31电网络分析第二章ü求出支路电流向量求出支路电流向量Ib(s)后，则可由用支路阻抗矩阵表示的后，则可由用支路阻抗矩阵表示的VCR求出支路电压向量求出支路电压向量Ub(s) 。

二、导纳矩阵法（支路电压法）二、导纳矩阵法（支路电压法）ü对于一个不含受控源的网络，由用关联矩阵表示的对于一个不含受控源的网络，由用关联矩阵表示的KCL方程方程及用支路导纳矩阵表示的及用支路导纳矩阵表示的VCR，可得：，可得：上式代表上式代表N个线性独立方程，加上个线性独立方程，加上BfUb(s)=0，可合写为：，可合写为：如果如果Ub(s)的系数矩阵为非奇异，则：的系数矩阵为非奇异，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－4 直接分析法直接分析法2024/8/31电网络分析第二章ü求出支路电压向量求出支路电压向量Ub(s)后，则可由用支路导纳矩阵表示的后，则可由用支路导纳矩阵表示的VCR求出支路电流向量求出支路电流向量Ib(s) 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－4 直接分析法直接分析法2024/8/31电网络分析第二章ü直接分析法是以支路电流或支路电压作为网络变量，因而需直接分析法是以支路电流或支路电压作为网络变量，因而需要联立求解的方程数等于支路数，计算工作量大要联立求解的方程数等于支路数，计算工作量大 ü连支电流集是全部支路电流集的基底，树支电压集和节点电连支电流集是全部支路电流集的基底，树支电压集和节点电压集都是支路电压集的基底，所以可以选取压集都是支路电压集的基底，所以可以选取连支电流连支电流、、树支电树支电压压或或节点电压节点电压作为网络变量。

根据网络变量的不同，网络方程作为网络变量根据网络变量的不同，网络方程可分为可分为回路方程回路方程、、割集方程割集方程和和节点方程节点方程ü对于一个具有对于一个具有N+1个节点，个节点，B条支路的电网络，选定一个参考条支路的电网络，选定一个参考节点，绘出其连通图节点，绘出其连通图G，以节点电压，以节点电压Un(s)作为网络变量，可以作为网络变量，可以导出节点方程导出节点方程;在图在图G中选择一个树后，分别写出基本割集矩阵中选择一个树后，分别写出基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵和基本回路矩阵Bf，若以树支电压，若以树支电压Ut(s)作为网络变量，可导作为网络变量，可导出割集方程；若以连支电流出割集方程；若以连支电流Il(s)作为网络变量，则可导出回路作为网络变量，则可导出回路方程第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章一、节点方程一、节点方程ü用关联矩阵用关联矩阵A表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方程为方程为 (1)ü用支路导纳矩阵用支路导纳矩阵Yb(s)表示的表示的VCR方程为方程为 (2)将将(2)代入代入(1)中的第一式，可得：中的第一式，可得：再将再将(1)中的第二式代入上式，经整理可得：中的第二式代入上式，经整理可得：令：令：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章可得：可得：式中，式中，Yn(s)是一个是一个N阶方阵，称为阶方阵，称为节点导纳矩阵节点导纳矩阵，，In(s)是是N维维向量，称为向量，称为节点电源电流向量节点电源电流向量，上式，上式称为节点方程称为节点方程。

ü对于给定网络，由节点方程求出节点电压向量对于给定网络，由节点方程求出节点电压向量Un(s)，再根，再根据据(1)中的第二式和中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路和支路电流向量电流向量Ib(s)二、割集方程二、割集方程ü用基本割集矩阵用基本割集矩阵Qf表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方方程为：程为： (3)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章将将(2)代入代入(3)中的第一式，可得：中的第一式，可得：再将再将(3)中的第二式代入上式，经整理得：中的第二式代入上式，经整理得：令：令：可得：可得：式中，式中，Yc(s)是一个是一个N阶方阵，称为阶方阵，称为割集导纳矩阵割集导纳矩阵，，Ic(s)是是N维向维向量，称为量，称为割集电源电流向量割集电源电流向量，上式，上式称为割集方程称为割集方程。

ü对于给定网络，由割集方程求出节点电压向量对于给定网络，由割集方程求出节点电压向量Ut(s)，再根据，再根据(3)中的第二式和中的第二式和(2)可以分别求出支路电压向量可以分别求出支路电压向量Ub(s)和支路电和支路电流向量流向量Ib(s)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章三、回路方程三、回路方程ü用基本回路矩阵用基本回路矩阵Bf表示的复频域形式的表示的复频域形式的KCL方程和方程和KVL方程方程 (4)ü用支路阻抗矩阵用支路阻抗矩阵Zb(s)表示的表示的VCR方程为方程为 (5)将将(5)代入代入(4)中的第二式，可得：中的第二式，可得：再将再将(4)中的第一式代入上式，经整理可得：中的第一式代入上式，经整理可得：令：令：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章可得：可得：式中，式中，Zl(s)是一个是一个B-N阶方阵，称为阶方阵，称为回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵，，Usl(s)是是B-N维向量，称为维向量，称为回路电源电压向量回路电源电压向量，上式，上式称为回路方程称为回路方程。

ü对于给定网络，由回路方程求出连支电流向量对于给定网络，由回路方程求出连支电流向量Il(s)，再根据，再根据(4)中的第一式和中的第一式和(5)可以分别求出支路电流向量可以分别求出支路电流向量Ib(s) 和支路电和支路电压向量压向量Ub(s) ü割集方程是节点方程的推广形式；回路方程和割集方程互为割集方程是节点方程的推广形式；回路方程和割集方程互为对偶的网络方程对偶的网络方程第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－5 节点方程、割集方程和回路方程节点方程、割集方程和回路方程2024/8/31电网络分析第二章ü问题：在网络中，若存在无伴电压源支路时，由于该支路的问题：在网络中，若存在无伴电压源支路时，由于该支路的导纳为无穷大，给节点方程和割集方程的建立带来困难导纳为无穷大，给节点方程和割集方程的建立带来困难ü解决方案：将无伴电压源支路电流也作为网络变量解决方案：将无伴电压源支路电流也作为网络变量ü求解变量：在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电求解变量：在改进的节点方程中是以节点电压和某些支路电流作为未知量流作为未知量ü说明：某些支路电流除了无伴电压源支路电流外，还可以包说明：某些支路电流除了无伴电压源支路电流外，还可以包括需要直接求解的支路电流。

括需要直接求解的支路电流一、支路划分一、支路划分Ø将网络中的支路划分为三类：将网络中的支路划分为三类：ü第一类为一般支路；第一类为一般支路；ü第二类为无伴电压源支路，以二端元件为一条支路，电压、第二类为无伴电压源支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，电流取关联参考方向，USE(s)为无伴电压源电压；为无伴电压源电压；第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章ü第三类为直接求电流支路，以二端元件为一条支路，电压、第三类为直接求电流支路，以二端元件为一条支路，电压、电流取关联参考方向，电流取关联参考方向，Yx(s)为直接求电流支路导纳为直接求电流支路导纳二、改进节点方程二、改进节点方程Ø将网络中的支路编号按一般支路、无伴电压源支路和直接求将网络中的支路编号按一般支路、无伴电压源支路和直接求电流支路排序，可将网络的关联矩阵写成分块形式：电流支路排序，可将网络的关联矩阵写成分块形式：式中：式中：A0是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵；是反映一般支路与节点之间的关联关系的子阵；AE是是反映无伴电压源支路与节点之间的关联关系的子阵；反映无伴电压源支路与节点之间的关联关系的子阵；Ax是反映是反映直接求电流支路与节点之间的关联关系的子阵。

直接求电流支路与节点之间的关联关系的子阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章Ø将支路电流向量和支路电压向量也按同样顺序分块将支路电流向量和支路电压向量也按同样顺序分块Ø根据根据KCL，有：，有： (2-6-1) (2-6-2)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章Ø根据根据KVL，有：，有： (2-6-3) (2-6-4a) (2-6-4b) (2-6-4c)Ø一般支路、无伴电压源支路、直接求电流支路的一般支路、无伴电压源支路、直接求电流支路的VCR方程为方程为 (2-6-5a) (2-6-5b) (2-6-5c) 第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章Ø改进节点方程改进节点方程ü将将(2-6-4a)代入代入(2-6-5a)，可得：，可得： (2-6-6)ü将将(2-6-4c)代入代入(2-6-5c)，可得：，可得： (2-6-7)ü将将(2-6-6)代入代入(2-6-2)，可得：，可得： (2-6-8)令：令： (2-6-9) (2-6-10)则则(2-6-8)可化简为：可化简为： (2-6-11)第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章ü将将(2-6-11)、、(2-6-4b)和和(2-6-7)合写为一个向量方程，得：合写为一个向量方程，得：上式就是上式就是改进节点方程的一般形式改进节点方程的一般形式。

Ø改进节点法是以增加网络变量数为代价，避开了写无伴电压改进节点法是以增加网络变量数为代价，避开了写无伴电压源支路的支路导纳设网络有源支路的支路导纳设网络有N+1个节点，个节点，p个无伴电压源支路个无伴电压源支路和和r个直接求电流支路，则改进节点法的网络变量数为个直接求电流支路，则改进节点法的网络变量数为N+p+r个，个，系数矩阵为系数矩阵为N+p+r阶方阵虽然系数矩阵维数增加了，但矩阵阶方阵虽然系数矩阵维数增加了，但矩阵时稀疏的，利用稀疏矩阵技术计算仍很方便时稀疏的，利用稀疏矩阵技术计算仍很方便第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－6 改进的节点方程改进的节点方程2024/8/31电网络分析第二章p用零泛器可以描述晶体管、运算放大器等器件的理想化特性，用零泛器可以描述晶体管、运算放大器等器件的理想化特性，零器和泛器总是成对出现的零器和泛器总是成对出现的Ø含零泛器电路的节点方程列写步骤含零泛器电路的节点方程列写步骤ü设网络具有设网络具有N+1个节点，个节点，k对零泛器对零泛器1））把全部零器和泛器把全部零器和泛器都移去（将所有支路都断都移去（将所有支路都断开），剩下的的网络为开），剩下的的网络为2k端口网络，在此情况下，选定参考节点，列写节点方程（为书端口网络，在此情况下，选定参考节点，列写节点方程（为书写简便，省略符号写简便，省略符号s））第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章（（2））将网络中原有零器和泛器逐一接入网络。

若端子将网络中原有零器和泛器逐一接入网络若端子i和和j之间之间接入一个零器，则接入一个零器，则Uni=Unj因此，将节点导纳矩阵中的第因此，将节点导纳矩阵中的第j列元列元素加到第素加到第i列元素中去，并删去第列元素中去，并删去第j列元素及节点电压向量中的变列元素及节点电压向量中的变量量Unj，由此可得：，由此可得：按同样的方式将按同样的方式将k个零器全部接入电路，则节点导纳矩阵变为个零器全部接入电路，则节点导纳矩阵变为N×(N-k)矩阵，这样得到的向量方程组中，方程数矩阵，这样得到的向量方程组中，方程数(N)较变量数较变量数(N-k)多多k个，即有个，即有k个冗余方程个冗余方程第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章（（3））将零器接入网络后，再接入泛器若端子将零器接入网络后，再接入泛器若端子p和和q之间接入一之间接入一个泛器，设此泛器的电流为个泛器，设此泛器的电流为Iqp考虑到该支路的接入对节点的考虑到该支路的接入对节点的影响，上式可变为：影响，上式可变为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章ü根据零泛器的元件特性，根据零泛器的元件特性， Iqp可为任意值，它决定于整个网络可为任意值，它决定于整个网络的约束关系，因此，不希望保留上式中的右端变量向量的约束关系，因此，不希望保留上式中的右端变量向量Iqp 。

将将上述方程组中的第上述方程组中的第q个方程和第个方程和第p个方程相加（将节点导纳矩阵个方程相加（将节点导纳矩阵的第的第q行加到第行加到第p行，并删除第行，并删除第q行），这样既消除了行），这样既消除了Iqp，又可去，又可去掉一个冗余方程，则上式可变为：掉一个冗余方程，则上式可变为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章ü由此看出，在电路中接入一对零泛器，节点导纳矩阵变为由此看出，在电路中接入一对零泛器，节点导纳矩阵变为N-1阶方阵，节点电压向量也变为阶方阵，节点电压向量也变为N-1个元若将个元若将k对零泛器全部接对零泛器全部接入电路，则节点导纳矩阵将变为入电路，则节点导纳矩阵将变为N-k阶方阵，此时节点电压向量阶方阵，此时节点电压向量也只有也只有N-k个元4））若节点若节点i、、j之间的零器一端之间的零器一端j接地，则接地，则Uni=Unj=0，因此，可，因此，可以直接删去节点导纳矩阵中的第以直接删去节点导纳矩阵中的第i列元素和节点电压向量中的列元素和节点电压向量中的Uni。

若节点若节点q、、p之间的一端之间的一端q接地，可直接删去节点导纳矩阵中的第接地，可直接删去节点导纳矩阵中的第p行元素，并同时删去节点电源电流向量中的行元素，并同时删去节点电源电流向量中的Inp第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章Ø含零泛器电路的节点方程列写步骤总结含零泛器电路的节点方程列写步骤总结（（1））移去所有零器和泛器（将其暂时断开）移去所有零器和泛器（将其暂时断开）2））列写网络节点方程，此时节点导纳矩阵为列写网络节点方程，此时节点导纳矩阵为N阶方阵3））逐个接入零器若节点逐个接入零器若节点i、、j之间接入一个零器，设之间接入一个零器，设i、、j二节点均不接地，二节点均不接地，则将节点导纳矩阵中的第则将节点导纳矩阵中的第j列元素加到第列元素加到第i列元素中去，并删去第列元素中去，并删去第j列元素及节列元素及节点电压向量中的变量点电压向量中的变量Unj；如果节点；如果节点j接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中的第的第i列元素和节点电压向量中的列元素和节点电压向量中的Uni。

4））逐个接入泛器若节点逐个接入泛器若节点q、、p之间接入一个泛器，设之间接入一个泛器，设q、、p二节点均不接二节点均不接地，则将节点导纳矩阵中的第地，则将节点导纳矩阵中的第q行元素加到第行元素加到第p行元素中去，并删去第行元素中去，并删去第q行元行元素，而节点电流源向量的第素，而节点电流源向量的第p个元素为个元素为Inp+Inq,同时去掉第同时去掉第q个元素个元素Inq如果节点点q接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中的第接地，则可以直接删去节点导纳矩阵中的第p行元素，同时删去节点电流行元素，同时删去节点电流源向量中的源向量中的Inp第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－7 含零泛器电路的节点方程含零泛器电路的节点方程2024/8/31电网络分析第二章ü前面介绍的网络方程方法中，导纳矩阵法、节点法、割集法前面介绍的网络方程方法中，导纳矩阵法、节点法、割集法要求能写出导纳矩阵；阻抗矩阵法和回路法要求能写出网络阻要求能写出导纳矩阵；阻抗矩阵法和回路法要求能写出网络阻抗矩阵ü某些元件只有导纳参数，例如电压控制电流源；某些元件只某些元件只有导纳参数，例如电压控制电流源；某些元件只有阻抗参数，例如电流控制电压源；有些参数既不具有阻抗参有阻抗参数，例如电流控制电压源；有些参数既不具有阻抗参数，也不具有导纳参数，例如电压控制电压源、电流控制电流数，也不具有导纳参数，例如电压控制电压源、电流控制电流源。

源ü如果网络中出现上述类型的元件（受控源），应用直接分析如果网络中出现上述类型的元件（受控源），应用直接分析法、节点分析法、割集分析法和回路分析法会出现困难法、节点分析法、割集分析法和回路分析法会出现困难ü可用混合变量法来分析含上述元件的网络可用混合变量法来分析含上述元件的网络第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程2024/8/31电网络分析第二章一、混合变量方程一、混合变量方程Ø由于由于树支电压树支电压形成所有支路电压的一个基底集合，用树支电形成所有支路电压的一个基底集合，用树支电压可以表示出全部支路电压；压可以表示出全部支路电压；连支电流连支电流形成所有支路电流的形成所有支路电流的一个基底集合，用连支电流可以表示出全部支路电流因此，一个基底集合，用连支电流可以表示出全部支路电流因此，可以通过选树来选择一组独立的混合变量可以通过选树来选择一组独立的混合变量树支电压和连支电树支电压和连支电流流（既有电压又有电流）作为网络变量，建立混合元件（既有电压又有电流）作为网络变量，建立混合元件VCR方程，以适应各类非源元件方程，以适应各类非源元件VCR表达的需求。

表达的需求Ø对于一个给的的网络，选择一个适当的树后，有对于一个给的的网络，选择一个适当的树后，有Ø式中式中U、、I为非源元件（包括无源元件和受控元件）的电压、为非源元件（包括无源元件和受控元件）的电压、电流，将这些元件按先树支后连支的顺序排列，则：电流，将这些元件按先树支后连支的顺序排列，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程2024/8/31电网络分析第二章第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程1、、根据根据KCL方程：方程：QfIb=0，可得，可得QfI=QfIs，将其中矩阵，将其中矩阵Qf按先按先树支后连支分块后有树支后连支分块后有2、、根据根据KCL方程：方程：BfUb=0，可得，可得BfU=BfUs，将其中矩阵，将其中矩阵Bf按按先树支后连支分块后有先树支后连支分块后有2024/8/31电网络分析第二章第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程ü由于由于Bt=-QlT，则上式可以写成，则上式可以写成3、、非源元件的混合变量非源元件的混合变量VCR向量方程为向量方程为ü式中，式中，Zl为连支阻抗矩阵，为连支阻抗矩阵，Yt为树支导纳矩阵，为树支导纳矩阵，H12中的元中的元素具有电压比性质，素具有电压比性质， H21中的元素具有电流比性质。

上式就中的元素具有电流比性质上式就是将网络中的连支电压和树支电流用连支电流和树枝电压的是将网络中的连支电压和树支电流用连支电流和树枝电压的混合组合表示混合组合表示4、、将非源元件混合变量的将非源元件混合变量的VCR代入前述代入前述KCL和和KVL方程，方程，可得：可得：2024/8/31电网络分析第二章第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程ü将以上二式合为一个向量方程，可得：将以上二式合为一个向量方程，可得：ü上式表示一组以树支非源元件电压和连支非源元件电流作上式表示一组以树支非源元件电压和连支非源元件电流作为网络变量的为网络变量的混合变量方程混合变量方程网络的变量数等于（一般形式）网络的变量数等于（一般形式）支路数ü当网络中不含多端元件时，当网络中不含多端元件时，H12=H21=0，于是上述混合变量，于是上述混合变量方程可以展开成两个独立的方程，将第二式代入第一式可得方程可以展开成两个独立的方程，将第二式代入第一式可得割集方程割集方程，将第一式代入第二式可得，将第一式代入第二式可得回路方程回路方程2024/8/31电网络分析第二章二、树的选择二、树的选择Ø树的选择是列写混合变量方程的关键，非源元件混合变量树的选择是列写混合变量方程的关键，非源元件混合变量VCR方程是选树方程是选树的依据，的依据，元件特性只具有导纳表示式的元件选作树支，元件特性只具有阻抗元件特性只具有导纳表示式的元件选作树支，元件特性只具有阻抗纳表示式的元件选作连支纳表示式的元件选作连支。

ØR、、L、、C元件具有阻抗和导纳两种表示式，因而既可以选作树支，又可以元件具有阻抗和导纳两种表示式，因而既可以选作树支，又可以选作连支选作连支Ø回转器也具有阻抗和导纳两种表示式，但其是一个支路电压与另一个支路回转器也具有阻抗和导纳两种表示式，但其是一个支路电压与另一个支路电流的关系，故两条支流必须均选为树支或均选为连支电流的关系，故两条支流必须均选为树支或均选为连支ØCCVS只有阻抗表示式，两条支路必须均选为连支；只有阻抗表示式，两条支路必须均选为连支； VCCS只有导纳表示只有导纳表示式，两条支路必须均选为树支式，两条支路必须均选为树支VCVS的控制支路选为树支，受控支路选为的控制支路选为树支，受控支路选为连支；连支；CCCS的控制支路选为连支，受控支路选为树支的控制支路选为连支，受控支路选为树支Ø理想变压器和负阻抗变换器具有两支路电压与电压、电流与电流之间的关理想变压器和负阻抗变换器具有两支路电压与电压、电流与电流之间的关系，因此，任选两条支路之一为树支，另一为连支系，因此，任选两条支路之一为树支，另一为连支Ø某些含两个（或以上）多端元件的网络有可能选不出满足上述要求的树，某些含两个（或以上）多端元件的网络有可能选不出满足上述要求的树，这种情况下不能列出混合变量方程。

这种情况下不能列出混合变量方程第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－8 混合变量方程混合变量方程2024/8/31电网络分析第二章Ø撕裂法是分析大型网络的一种方法该方法的基本思撕裂法是分析大型网络的一种方法该方法的基本思想是，把一个大型网络撕裂成若干个较小的子网络想是，把一个大型网络撕裂成若干个较小的子网络对每一个子网络可以单独分析和求解，不必考虑其他对每一个子网络可以单独分析和求解，不必考虑其他部分的存在然后把各子网络的解相互连接构成原网部分的存在然后把各子网络的解相互连接构成原网络的整体解络的整体解Ø由于每一子网络结构简单，求解比较容易由于每一子网络结构简单，求解比较容易Ø对于各子网络可用节点分析、回路分析、割集分析、对于各子网络可用节点分析、回路分析、割集分析、混合分析等方法求解我们只介绍节点分析和混合分混合分析等方法求解我们只介绍节点分析和混合分析，其他分析方法可以自行推导析，其他分析方法可以自行推导第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章一、节点分析（节点电压和撕裂支路电流为网络变量）一、节点分析（节点电压和撕裂支路电流为网络变量）Ø对于图示连通图，当移去支路对于图示连通图，当移去支路b1、、b2、、b3后，原来的连通图成后，原来的连通图成为分离的两个子图。

被移去的支路称为为分离的两个子图被移去的支路称为撕裂支路撕裂支路，其余支路称，其余支路称为为剩余支路剩余支路Ø为了使问题简化，假设同类支路为了使问题简化，假设同类支路之间可存在耦合关系，但撕裂支路之间可存在耦合关系，但撕裂支路与剩余支路之间不存在耦合关系与剩余支路之间不存在耦合关系支路按第三节中规定的一般支路划分支路按第三节中规定的一般支路划分Ø对于具有对于具有N+1个节点、个节点、B条支路的网络，将其支路分为两类，条支路的网络，将其支路分为两类，一类为撕裂支路，用下标一类为撕裂支路，用下标d表示；另一类为剩余支路，用下标表示；另一类为剩余支路，用下标r表示第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章1、、若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子网络的图仍然是连若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子网络的图仍然是连通的，但是可断图，且仅有一个断点通的，但是可断图，且仅有一个断点：：Ø以断点为参考节点，则关联矩阵以断点为参考节点，则关联矩阵A按剩余支路和撕裂支路可按剩余支路和撕裂支路可分块为：分块为：ü设剩余支路形成设剩余支路形成k个子网络。

由于除共同的参考节点外，各子个子网络由于除共同的参考节点外，各子网络既无公共支路，又无公共节点，因此网络既无公共支路，又无公共节点，因此Ar可以写为对角阵形可以写为对角阵形式Ar1，，……，，Ark分别表示各子网络的关联矩阵分别表示各子网络的关联矩阵第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章ü设支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电设支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电压源向量按同样方式分块：压源向量按同样方式分块：ü支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø根据根据KCL：：Ø根据根据KCL：：Ø由一般支路由一般支路VCR：：ü由此可得：由此可得：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø撕裂节点方程撕裂节点方程ü上式称为撕裂节点方程，网络变量为上式称为撕裂节点方程，网络变量为节点电压和撕裂支路电流节点电压和撕裂支路电流。

ü方程式右端上面一个分块是流入各分离部分的等效电流源的电流，下面方程式右端上面一个分块是流入各分离部分的等效电流源的电流，下面一个分块是由撕裂支路中的独立源产生的等效电压源的电压，如撕裂支路一个分块是由撕裂支路中的独立源产生的等效电压源的电压，如撕裂支路不含独立源，该子块为零阵不含独立源，该子块为零阵ü方程式左端矩阵中方程式左端矩阵中ArYrArT是移去撕裂支路后网络剩余部分的节点导纳矩是移去撕裂支路后网络剩余部分的节点导纳矩阵，它具有分块对角阵的形式，位于主对角线上的分块为各子网络的节点阵，它具有分块对角阵的形式，位于主对角线上的分块为各子网络的节点导纳矩阵所以，这种方法实际上是对剩余支路形成的部分网络进行节点导纳矩阵所以，这种方法实际上是对剩余支路形成的部分网络进行节点分析加上撕裂支路电流的作用，撕裂支路电流为对应节点电压差除以（加上撕裂支路电流的作用，撕裂支路电流为对应节点电压差除以该支路阻抗）该支路阻抗）第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章2、、若移去撕裂支路后，剩余支路分裂成两个（或两个以上）若移去撕裂支路后，剩余支路分裂成两个（或两个以上）相互分离的子网络相互分离的子网络：：Ø各子网络中仅有一个含有原网络的参考节点，其余每个子网各子网络中仅有一个含有原网络的参考节点，其余每个子网络另选一参考节点，这些参考节点（另选）的集合用络另选一参考节点，这些参考节点（另选）的集合用nc表示，表示，不属于不属于nc的节点用的节点用n0表示，则关联矩阵表示，则关联矩阵A可分块为：可分块为：ü将支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电将支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量和支路电压源向量均按剩余支路和撕裂支路进行分块：压源向量均按剩余支路和撕裂支路进行分块：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章ü支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵也同样分块为：ü节点电压向量分块为：节点电压向量分块为：ü其中，其中，Unc表示节点集合表示节点集合nc的节点电压向量，的节点电压向量， Un0表示不属于表示不属于n0的节点电压的节点电压向量。

向量Ø根据根据KCL：：Ø根据根据KCL：：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø由一般支路由一般支路VCR：：ü由以上六个方程可得：由以上六个方程可得：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法Ø撕裂节点方程撕裂节点方程ü将以上三式合写为一个向量方程将以上三式合写为一个向量方程ü上式也是撕裂节点方程，更具一般性上式也是撕裂节点方程，更具一般性2024/8/31电网络分析第二章二、混合分析（剩余支路树支电压和撕裂支路连支电流为网络二、混合分析（剩余支路树支电压和撕裂支路连支电流为网络变量）变量）Ø对于网络对于网络N确定撕裂支路后，选择一种树确定撕裂支路后，选择一种树T ，则树支分为两，则树支分为两类，一类属于撕裂支路，另一类属于剩余支路同样，连支也类，一类属于撕裂支路，另一类属于剩余支路同样，连支也有一部分属于撕裂支路，另一部分属于剩余支路。

对应的树有一部分属于撕裂支路，另一部分属于剩余支路对应的树T的基本割集分为含剩余支路的基本割集和含撕裂支路的基本割的基本割集分为含剩余支路的基本割集和含撕裂支路的基本割集两类Ø若支路编号按先剩余支路后撕裂支路排序，则基本割集矩阵若支路编号按先剩余支路后撕裂支路排序，则基本割集矩阵Qf和基本回路矩阵和基本回路矩阵Bf可以分块为：可以分块为：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø为简化方程，选树时使为简化方程，选树时使撕裂树支所定义的基本割集不含剩余撕裂树支所定义的基本割集不含剩余连支连支，则，则qr=0相应地，相应地，剩余连支所定义的基本回路不含撕裂剩余连支所定义的基本回路不含撕裂树支树支，则，则Bd=0于是，上两式可简化为：于是，上两式可简化为：Ø由由BTf Qf=0可得：可得：ü将支路电压向量、支路电流向量、树支电压向量和连支电流将支路电压向量、支路电流向量、树支电压向量和连支电流向量按剩余支路和撕裂支路进行分块，则：向量按剩余支路和撕裂支路进行分块，则：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø 根据用基本割集矩阵表示的根据用基本割集矩阵表示的KCL、、KVL方程方程Qf Ib=0 和和Ub= QTf Ut得：得：Ø 根据用基本回路矩阵表示的根据用基本回路矩阵表示的KCL、、KVL方程方程Bf Ub=0 和和Ib= BTf Il得：得：ü由一般支路的由一般支路的VCR，有：，有：第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø 撕裂混合方程撕裂混合方程ü由上述方程可得：由上述方程可得：ü将上述方程合并为一个向量方程，并考虑到将上述方程合并为一个向量方程，并考虑到br QTr=- bd QTd ，，则有：则有：ü上述方程就是以上述方程就是以剩余支路中的树支电压和撕裂支路中的连支剩余支路中的树支电压和撕裂支路中的连支电流电流作为网络变量的撕裂混合方程。

此方法实质上是对含剩余作为网络变量的撕裂混合方程此方法实质上是对含剩余树支的基本割集进行割集分析，对含撕裂连支的基本回路进行树支的基本割集进行割集分析，对含撕裂连支的基本回路进行回路分析回路分析第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章Ø 撕裂混合方程的实质：撕裂混合方程的实质：ü将网络中的撕裂支路断开后，对剩余支路形成的各个分离部将网络中的撕裂支路断开后，对剩余支路形成的各个分离部分子网络列写割集方程；分子网络列写割集方程；ü将原网络中剩余支路短路后形成的部分网络列写回路方程；将原网络中剩余支路短路后形成的部分网络列写回路方程；ü进行进行“修正修正”修正时，在剩余割集方程中应计入撕裂连支修正时，在剩余割集方程中应计入撕裂连支电流的作用（加上连支电流代数值），在撕裂回路方程中应计电流的作用（加上连支电流代数值），在撕裂回路方程中应计入剩余树支电压的作用（加上树支电压的代数值）入剩余树支电压的作用（加上树支电压的代数值）第二章第二章 网络图论和网络方程网络图论和网络方程 § 2－－9 撕裂法撕裂法2024/8/31电网络分析第二章。