第十二章-全等三角形复习课件ppt.ppt

第十二章第十二章 全等三角形全等三角形八年级数学上（八年级数学上（RJRJ）教学课件）教学课件复习课复习课知识网络知识网络专题复习专题复习 课堂小结课堂小结课后训练课后训练知识网络知识网络全等三角形全等三角形定定义义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性性质质基基本本性性质质对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等重重要要性性质质①①对应高，对应中线，对应对应高，对应中线，对应角平分线相等；角平分线相等；②②周长相等，周长相等，面积相等面积相等判判定定一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形一一般般三三角角形形SSS,SAS,ASA,AASSSS,SAS,ASA,AAS直直角角三三角角形形除上述判定方法之外，还除上述判定方法之外，还有有““HLHL””角平分线的性质定理角平分线的性质定理角平分线的判定定理角平分线的判定定理专题复习专题复习专题一专题一 证明线段相等证明线段相等【【例例1 1】】如图，点如图，点D D、、E E分别段分别段ABAB、、ACAC上，已知上，已知AD=AEAD=AE, ∠, ∠B B= = ∠∠C C, ,H H为线段为线段BEBE、、CDCD的交点，求证：的交点，求证：BH=CHBH=CH. .A AB BC CD DE EH H【【分析分析】】欲证欲证BH=CHBH=CH需证需证△△BDH BDH ≌ △≌ △CEHCEH需证需证BD=CEBD=CE需证需证AB=ACAB=AC需再证需再证△△ABEABE ≌ △ ≌ △ACDACD【【证明证明】】在在△△ABEABE和和△△ACDACD中中, ,A AB BC CD DE EH H∠∠A A= ∠= ∠A A, ,∠∠B B= ∠= ∠C C, ,AEAE= = AD AD, ,∴ △ ∴ △ ABEABE≌≌ △ △ ACDACD(AAS).(AAS).∴∴AB= ACAB= AC, ,∴∴AB-AD= AC-AEAB-AD= AC-AE. .即即BD=CEBD=CE. .在在△△BDHBDH和和△△CEHCEH中中, ,∠∠DHBDHB= ∠= ∠EHCEHC, ,∠∠B B= ∠= ∠C C, ,BD= CEBD= CE, ,∴ △ ∴ △ BDHBDH≌ △≌ △CEHCEH(AAS)(AAS)，，∴∴BH= CHBH= CH. .【【归纳拓展归纳拓展】】利用全等三角形证明线段相等时，首先要确定证利用全等三角形证明线段相等时，首先要确定证明的线段在哪两个三角形中，结合已知条件，寻找新的条件，明的线段在哪两个三角形中，结合已知条件，寻找新的条件，选择合适的判定方法选择合适的判定方法. .【【配套训练配套训练】】如图，已知如图，已知CDCD⊥⊥ABAB于点于点D D，，BEBE⊥⊥ACAC于点于点E E，，BEBE，，CDCD交于点交于点O O，且，且AOAO平分平分∠∠BACBAC．求证：．求证：OB=OCOB=OC．．A AB BC CD DE EO O【【证明证明】】 ∵ ∵AOAO平分平分∠∠BACBAC，，CDCD⊥⊥ABAB于点于点D D，，BEBE⊥⊥ACAC于点于点E E, ∴, ∴OD=OEOD=OE，， ∠ ∠ODBODB= ∠= ∠OECOEC=90 =90 °°. .在在△△BODBOD和和△△COECOE中，中，∠∠ODBODB= ∠= ∠OECOEC=90 =90 °°，，OD=OEOD=OE，，∠∠DOBDOB= ∠= ∠EOCEOC，，∴∴ △ △BODBOD ≌ ≌ △ △COECOE(ASA)(ASA)，，∴∴OB=OCOB=OC. .专题二专题二 证明角相等证明角相等【【例例2 2】】如图，在如图，在△△ABCABC中，中，ADAD平分平分∠∠BAC,CEBAC,CE⊥⊥ADAD于点于点G G, ,交交ABAB于于点点E E, ,EFEF∥∥BCBC交交ACAC于点于点F F, ,求证：求证：∠∠DECDEC=∠=∠FECFEC. .A AB BC CD DF FE EG G【【分析分析】】欲证欲证∠∠DECDEC=∠=∠FECFEC由平行线的性质转化为证明由平行线的性质转化为证明∠∠DECDEC=∠=∠DCEDCE只需要证明只需要证明△△DEGDEG ≌ △ ≌ △DCGDCG. .A AB BC CD DF FE EG G【【证明证明】】 ∵ ∵CECE⊥⊥ADAD, ∴ ∠, ∴ ∠AGEAGE=∠=∠AGCAGC=90 =90 °°. .在在△△AGEAGE和和△△AGCAGC中，中，∠∠AGE AGE =∠=∠AGCAGC，，AG =AGAG =AG，，∠∠EAG EAG =∠=∠CAGCAG，，∴ △∴ △AGEAGE ≌ ≌ △△AGCAGC(ASA)(ASA)，，∴ ∴ GE =GCGE =GC. .在在△△DGEDGE和和△△DGCDGC中，中，EG =CGEG =CG，，∠∠ EGD EGD = ∠= ∠ CGD CGD=90 =90 °°，，DG =DGDG =DG. .∴ △∴ △DGE DGE ≌ ≌ △△DGCDGC(SAS).(SAS).∴ ∴ ∠∠DEGDEG = ∠ = ∠ DCGDCG. .∵∵EF//BCEF//BC, ,∴ ∠∴ ∠FEC FEC = ∠= ∠ECDECD，，∴ ∠∴ ∠DEGDEG = ∠ = ∠ FECFEC. .【【归纳拓展归纳拓展】】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线线的性质等，必要时要想到添加辅助线. .【【配套训练配套训练】】如图，如图，AB=DCAB=DC, ∠, ∠A A=∠=∠D D．． 求证：求证： ∠ ∠ABCABC=∠=∠DCBDCB. .A AB BD DC CA AB BD DC CN NM M【【证明证明】】 取取AD,BCAD,BC的中点的中点N,MN,M，，连接连接BN,CNBN,CN，，MN,MN,则有则有AN=DN,BM=CMAN=DN,BM=CM. .在在△△ABNABN和和△△DCNDCN中，中， AN=DNAN=DN，，∠∠A A= ∠= ∠D D，， ABAB= =CDCD，，∴ △∴ △ABN ABN ≌ ≌ △△DCNDCN(SAS).(SAS). ∴ ∴ ∠∠ABN ABN = ∠ = ∠ DCNDCN, , NB=NCNB=NC. .在在△△NBMNBM和和△△NCMNCM中，中， NB=NCNB=NC，， BM=CMBM=CM，， NM=N NM=NM M，，∴ △∴ △NBMNBM ≌ ≌ △△NCMNCM(SSS).(SSS).∴ ∴ ∠∠NBC NBC = ∠ = ∠ NCBNCB, , ∴ ∴ ∠∠NBCNBC+ ∠+ ∠ABNABN = ∠ = ∠ NCBNCB+ ∠+ ∠DCNDCN, , 即即∠∠ABC ABC = ∠ = ∠ DCBDCB, , 想一想：想一想：本题还有本题还有其他证法吗？其他证法吗？专题三专题三 利用全等三角形解决实际问题利用全等三角形解决实际问题【【例例3 3】】如图，两根长均为如图，两根长均为1212米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？杆底部的距离相等吗？A AB BC CD D【【分析分析】】将本题中实际问题转化为数学将本题中实际问题转化为数学问题就是证明问题就是证明BD=CDBD=CD. .由已知条件可知由已知条件可知ABAB= =AC.ADAC.AD⊥⊥BCBC. .A AB BC CD D【【解解】】相等，理由如下：相等，理由如下：∵∵ADAD⊥⊥BCBC，，∴∠∴∠ADBADB=∠=∠ADCADC=90=90°°. .在在RtRt△△ADBADB和和RtRt△△ADCADC中，中，AD=ADAD=AD，，AB=ACAB=AC，， ∴ Rt∴ Rt△△ADB ADB ≌ Rt≌ Rt△△ADCADC(HL).(HL).∴∴BD=CDBD=CD. .【【归纳拓展归纳拓展】】利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（（1 1）先明确实际问题；（）先明确实际问题；（2 2）根据实际抽象出几何图形；）根据实际抽象出几何图形；（（3 3）经过分析，找出证明途径；（）经过分析，找出证明途径；（4 4）书写证明过程）书写证明过程. .专题四专题四 角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定【【例例4 4】】如图如图, ,∠∠1=∠2,1=∠2,点点P P为为BNBN上的一点，上的一点，∠∠PCBPCB+ ∠+ ∠BAPBAP=180 =180 °°，，求证求证: :PA=PCPA=PC. .B BA AC CN N) )) )1 12 2P P【【分析分析】】由角平分线的性质易想到过点由角平分线的性质易想到过点P P向向∠∠ABCABC的两边作垂线段的两边作垂线段PEPE、、PFPF，，构造构造角平分线的基本图形角平分线的基本图形. .E EF F【【证明证明】】过点过点P P作作PEPE⊥⊥BA,PFBA,PF⊥⊥BCBC, ,垂足分别为垂足分别为E,FE,F. .B BA AC CN N) )) )1 12 2P PE EF F∵∠1=∠2,∵∠1=∠2,PEPE⊥⊥BA,PFBA,PF⊥⊥BCBC, ,垂足分别为垂足分别为E E, ,F F. .∴∴PE=PFPE=PF, ∠, ∠PEAPEA=∠=∠PFCPFC=90 =90 °°. .∵∵ ∠∠PCBPCB+ ∠+ ∠BAPBAP=180 =180 °°, ,又知又知∠∠BAPBAP+∠+∠EAPEAP=180 =180 °°. .∴ ∠∴ ∠EAPEAP=∠=∠PCB.PCB.在在△△APEAPE和和△△CPFCPF中，中， ∠ ∠PEAPEA=∠=∠PFCPFC=90 =90 °°，，∠∠EAPEAP=∠=∠FCFCP P，， PE=PF PE=PF，，∴ △∴ △APEAPE ≌ ≌ △△CPFCPF(AAS)(AAS)，，∴ ∴ AP=CPAP=CP. .【【证法证法2 2思路分析思路分析】】由角是轴对称图形，其对称轴是角平由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形. .方法是在方法是在BCBC上截取上截取BD=ABBD=AB, ,连接连接PDPD（如图）（如图）. .则有则有△△PABPAB≌≌△△PDBPDB, ,再证再证△△PDCPDC是等腰三角形即可获证是等腰三角形即可获证. .A AC CN N) )) )1 12 2P PB B证明过程请同学们自行完成！证明过程请同学们自行完成！D D【【归纳拓展归纳拓展】】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。

应角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法应用时要依托全等三角形发挥作用用时要依托全等三角形发挥作用. .作辅助线有两种思路，一种作作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形. .【【配套训练配套训练】】如图如图, ,∠∠1=∠2,1=∠2,点点P P为为BNBN上的一点，上的一点， PA=PCPA=PC ，求，求证证: :∠∠PCBPCB+ ∠+ ∠BAPBAP=180 =180 °°. .B BA AC CN N) )) )1 12 2P PE EF F【【证明证明】】过点过点P P作作PEPE⊥⊥BA,PFBA,PF⊥⊥BCBC, ,垂足分别为垂足分别为E,F.E,F.∵∠1=∠2,∵∠1=∠2,PEPE⊥⊥BA,PFBA,PF⊥⊥BCBC, ,垂足分别为垂足分别为E,FE,F. .∴∴PE=PF,PE=PF, ∠ ∠PEAPEA=∠=∠PFCPFC=90 =90 °°. . PA=PCPA=PC，， PE=PF PE=PF，，在在RtRt△△APEAPE和和RtRt△△CPFCPF中，中，∴ Rt∴ Rt△△PAEPAE ≌ Rt ≌ Rt△△PCFPCF(HL).(HL).∴ ∠∴ ∠ EAP EAP= ∠ = ∠ FCPFCP. .∵∵ ∠∠BAPBAP+∠+∠EAPEAP=180 =180 °°，，∴ ∠∴ ∠PCBPCB+ ∠+ ∠BAPBAP=180 =180 °°. .想一想：想一想：本题如果不给图，条本题如果不给图，条件不变，请问件不变，请问∠∠PCBPCB与与∠∠PABPAB有有怎样的数量关系呢？怎样的数量关系呢？课堂小结课堂小结全全等等三三 角角 形形性性质质基基本本性性质质和和其其他他重重要要性性质质判判定定判判定定方方法法基基本本思思路路作作用用是是证证明明两两条条线线段段相相等等和和角角相相等等的的常常用用方方法法寻寻找找现现有有条条件件（（包包括括图图中中隐隐含含条条件件））选选定定判判定定方方法法证证明明准准备备条条件件角角的的平平分分线线的的性性质质定定理理角角的的平平分分线线的的判判定定定定理理证证明明两两条条线线段段相相等等证证明明角角相相等等辅辅助助线线添添 加加 方方 法法课后训练课后训练1.1.如图如图, ,已知已知AC=BDAC=BD, ,要使得要使得△△ABCABC≌≌△△DCBDCB只需要增加一个条件只需要增加一个条件是是 . .AB=DCAB=DC或或∠∠ACBACB=∠=∠DBCDBC 2.2.如图：在如图：在△△ABCABC中，中，∠∠C=90C=90°°，，ADAD平分平分∠∠BACBAC，，DEDE⊥⊥ABAB交交ABAB于于E E，，BCBC=30=30，，BDBD：：CDCD=3=3：：2 2，则，则DE DE = = . .A AB BC CD DO O第第1 1题题A AB BC CD DE E第第2 2题题12123.3.已知已知: :△△ABCABC和和△△ECDECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B B，，C C，，D D在一条直在一条直线上线上. .求证：求证：BE=ADBE=AD. . E ED DC CA AB B【【证明证明】】∵ △∵ △ABCABC和和△△ECDECD都是等边三角形都是等边三角形, ,∴∴ AC=BCAC=BC，，DC=ECDC=EC，，∠∠BCABCA=∠=∠DCEDCE=60=60°°. .∴ ∠∴ ∠BCABCA+∠+∠ACEACE=∠=∠DCEDCE+ ∠+ ∠ACEACE. .即即∠∠BCEBCE=∠=∠DCADCA. .在在△△ACDACD和和△△BCEBCE中，中， AC=BCAC=BC，， ∠ ∠BCEBCE=∠=∠DCADCA，， DCDC= =ECEC，，∴ △∴ △ACDACD≌△≌△BCEBCE (SAS) (SAS)，， ∴ ∴ BE=ADBE=AD. .4.4.如图如图, ,在在△△ABCABC中中, ∠, ∠ACBACB=90=90°°, ,AOAO是角平分线是角平分线, ,点点D D在在ACAC的延的延长线上长线上, ,DEDE过点过点O O且且DEDE⊥⊥ABAB, ,垂足为垂足为E E. .(1) (1) 请你找出图中一对相等的线段请你找出图中一对相等的线段, ,并说明它们相等的理由并说明它们相等的理由; ; （（2 2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来. . (1)(1)解：解：∵∠∵∠ACBACB=90=90°°，， ∴ ∴BCBC⊥⊥ACAC. . ∵∵AOAO平分平分∠∠BACBAC，， 又又DEDE⊥⊥ABAB，，BCBC⊥⊥ACAC. .∴∴OE=OCOE=OC（（角平分线上的点到角角平分线上的点到角两边的距离相等）两边的距离相等）. .(2)6(2)6对对. . AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.A AC CD DO OB BE E。