线性代数：2.3 可逆矩阵.ppt

2.3 可逆矩阵,一、可逆矩阵概念的引入,在矩阵的运算中，单位阵 I 相当于数中的单位 1，,那么，对于矩阵 A，是否存在一个矩阵 B ，,而且，对矩阵 A 又有什么要求呢？,使得,使得,定义,对于 n 阶方阵 A，,则称 B 为 A 的逆矩阵，,否则称 A 是不可逆的 .,二、可逆矩阵的定义,并称 A 为可逆矩阵，或满秩矩阵，或非奇异矩阵 .,若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是惟一的可得,结论,事实上，设矩阵 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，,如果存在 n 阶方阵 B，使得,记作,则有,故 B 是 A 的逆矩阵由于,故 A 不可逆则对任意的二阶矩阵 B，,有,故 A 不可逆有,则对任意的二阶矩阵,(2) 利用伴随矩阵求逆矩阵； ( 本节给出 ),(1) 根据定义采用待定系数法求逆矩阵；,需要探讨的问题,1. 如何判定一个矩阵是否可逆？,2. 如何求逆矩阵？,(3) 利用初等变换求逆矩阵 (2.5 给出 ),三、伴随矩阵,称为 A 的伴随矩阵 .,定义,为 中元素 的代数余子式，,设 n 阶矩阵,则矩阵,三、伴随矩阵,特点,同理有,即,方阵 A 可逆的充要条件是,必要性,充分性,定理,此时，,证明,若 A 可逆，,则存在 B 使得,即得,由此有,当 时，,由 有,按逆矩阵的定义得 A 可逆，,四、矩阵可逆的充要条件,且,因此 A 不可逆.,故 A 可逆，,故 A 可逆，,且,故 A 可逆，,且,因此 A 可逆，,或者较特殊的矩阵；,且,因此它主要用于理论推导与证明。

其中,即,可见，这就是由克莱姆(Cramer)法则得到的结果因此有,证明,推论,(1) 若 (或者 )，则 A 可逆，且,(1) 由 有,即得,于是有,因而 A 可逆，即 存在，,(2) 若 A B 可逆，则 A 可逆且 B 可逆设 A , B 为方阵，,(2) 由 A B 可逆有,因而 A 可逆且 B 可逆即得 且,四、矩阵可逆的充要条件,例: A,B为n阶方阵,AB+B=I,证明BA+B=I,证明:,AB+B=I,(A+I)B=I,由推论知:,B(A+I ) =I,进一步可得:,AB =BA,判断A可逆：,(1) 若 (或者 )，则 A 可逆，且,并且，,故 A 可逆，且,(2) 由 得,故 可逆，且,判断A可逆：,(1) 若 (或者 )，则 A 可逆，且,答案,故 A 可逆，且,得,性质,因为,所以,五、可逆矩阵的性质,易犯错误 ,解,设,求,例:,解:,有,证,即得,。